x&2
r
2
x1
u
2rx2
x1 k 1 x1 k hx2 k
x2
k
1
x2
k
h
r
2
x1
k
u
k
2rx2
k
上式只是能无超调的跟踪输入信号，但是还不是最快 地跟踪输入信号。 为此寻求快速最优控制综合函数。
19
针对二阶积分器串联对象
x&1 x&2
x2 u,
|
u
|
r
以原点为终点的快速最优控制综合函数为
只需根据系统带宽要求确定或在线整定 o
对于一阶、二阶、三阶对象来说分别将特征值配置成
s o 2 , s o 3 , s o 4 即可
38
目录
• ADRC的产生 • ADRC的结构 • 安排过渡过程TD • 扩张状态观测器 • 非线性反馈 • 参数整定方法 • 应用
39
五、非线性反馈
• 线性组合 • 非线性组合
27
目录
• ADRC的产生 • ADRC的结构 • 安排过渡过程TD • 扩张状态观测器 • 非线性反馈 • 参数整定方法 • 应用
28
四、扩张状态观测器(ESO)
• 线性扩张状态观测器 • 非线性扩张状态观测器 • ESO参数整定
29
• 根据测量到的系统输入（控制量） 和系统输出（部分状态变量或状 态变量的函数）来确定系统所有 内部状态信息的装置就是状态观 测器。
因为连续函数的最优函数不再是该函数离散化后的最优函数。
22
改进的算法fhan
u fhan x1, x2, r, h
d rh
d0 hd
y
x1
hx2
a0 d 2 8r y
a
x2
a0
2
d
sign
y
x2
y h
fhan
rsign
r
a d
a,
,
a a
d d
, y d0 , y d0
z1
z1
h
z2
01e
z2 z2 h
zbu
z3
z3
h 03
fe1
仿真表明，ESO中带有模型内部动 态信息时，ESO有更好的观测效果。
35
ESO的参数整定方法
一些经验公式
（斐波那契数列）
1
1
2
5
8
13
34
55
……
1
3
8
13
21
34
55
89
……
若使系统无超调，则满足 a1 r 2 , a2 2r
即 kd 2 a1 kp a2
11
举例 a1=2, a2 =2
Output
1
kp=2,kd=2
0.9
kp=14,kd=6
kp=62,kd=14 0.8
0.7
增大比例项，同时增大微分系数
0.6
，快速性提高同时无超调。
0.5
0.4 0.3
01
1 h
,
02
1 3h2
, 03
2 82 h3
, 04
5 133 h4
,L
36
带宽调参法
对于线性扩张状态观测器
e x1 z1
z&1
z2
01e
z&2
z3
02e
b0u
z&3 03e
其特征方程为 D s s3 01s2 02s 03
37
令 D s s o 3
即 01 3o 02 3o2 03 o3
可以把任意 a1, a2
的系统无超调跟踪阶跃响应
0.2
0.1
0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 Time(s)
12
利用正弦函数来安排过渡过程
trns T0,t
1
2
1
sin
t
T0
1 2
,
t
T0
1
, t T0
T0 是过渡时间
Output
Transition process 1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Time(s)
13
trns T0,t
1 2
1 sin
t
T0
1 2
,
t
T0
1
, t T0
dtrns T0,t
2T0
cos
t
T0
1 2
,
t
T0
0
,t T0
&x&
a1
x
v0
a2
x&
y x
40
e1 v1 z1, e2 v2 z2
u0 1e1 2e2
u0 u0
1 fal e1,1, 2 fhan e1, e2 , r, h1
fal
e2 ,2 ,
,0
1
1 2
u0 fhan e1, ce2 , r, h1
u
fsg
a,
d
23
离散化后的最速函数：
fh
x1 k
fhan
1
x1 x1
k k
uk, hx2 k
x2
k
,
r
,
h
x2
k
2
x2
k
hfh
从非零值出发，按这个差分方程递推，就能以 有限步到达原点并停止不动。
24
解决了高频振荡的问题， 但是进入稳态的时刻，速 度曲线有一点超调。
当输入信号被噪声污染的 时候，这种超调现象就会 加剧对微分信号的噪声放 大效应。
f
x1, x2 bu
y
x1
当函数 f x1, x2 和 b 已知时可以建立如下状态观测器
e1 x1 y
x&1
x2
l1e1
x&2
f
x1, x2 l2e1
bu
32
对非线性系统
x&1 x2
x&2
f
x1, x2 bu
y
x1
e1 z1 y
z&1
z&2
z2 z3
2. 安排过渡过程使误差反馈增益(P)和误差微 分反馈增益(D)的选取范围扩大，从而参 数整定更为方便。
3. P和D能适应对象参数范围扩大，即控制 器的鲁棒性更强。
那么，怎么来安 排过渡过程呢？
16
跟踪微分器的前世今生
• 经典微分器
y
w(s)v
s Ts 1
v
1 T
v
1 Ts
1
v
y
2
1 1
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Time(s)
安 排 过 渡 过 程 微 分 信 号 的 PD控 制 1.4
kp=10,kd=12
kp=100,kd=12
1.2
kp=1000,kd=12
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Time(s)
15
小结
1. 安排过渡过程可以有效解决超调和快速性 矛盾。
7
为什么要安排过渡过程
1.直接以e=v-y的方式产生原始误差不太合理。 PID控制的精髓是基于误差反馈来消除误差。 初始时刻 y 0 ，误差很大，很容易使系统产生超调。
8
&x&
a1
x
v0
a2
x&
y x
&x&
r
2
x
v0
2rx&
y x
当对象参数取值为 a1 r2, a2 2r, r 0 时，其过渡过程没有超调。
PID的缺陷 1.直接以e=v-y的方式产生原始误差不太合理 2.产生误差信号e的微分信号没有太好的方法，只能近似实现 3.线性组合不一定是最好的组合方式 4.误差信号e的积分的引入有很多负作用。大量工程实践表明， 误差积分反馈的引入，使闭环变得迟钝，容易产生振荡，积分 饱和引起的控制量饱和等。
4
二、ADRC的结构
01e1 02 e1
1 2
sign
e1
bu
1
z&3 03 e1 4 sign e1
x&1 x2
x&2
x3
bu
x&3
w
t
y x1
z1 t x1 t z2 t x2 t
z3 t x3 t f x1 t , x2 t
33
为了避免高频颤振现象的出现把 e signe 改成原点附近具有线性段 的连续的幂次函数
1.4 a1=2,a2=1 a1=2,a2=2
1.2 a1=2,a2=3
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 Time(s)
10
施加PD控制
&x&
a1
x
v0
a2
x&
y x