以原点为终点的快速最优控制综合函数为： (2)
u ( x1 , x2 ) r sign( x1
将式(3)代入式(2)可得：
x1 x2 x2 r sign( x 1 v0 (t )
x2 x2 ) 2r
(3)
x2 x2 2r
)
(4)
这个系统的解的分量
x1 (t )
在加速度
(7)
扩张状态观测器对被观测系统有较好的跟踪能力， 响应速度快， 估计精度高， 但是对总扰动的实时估计受到某些条件的限制。当外扰频率较高时，扩张状态观 测器对于总扰动的跟踪能力较差。
3.3 自抗扰控制律
在韩京清先生的《自抗扰控制技术》第五章中，介绍了改进过的非线性 PID 与由线性跟踪微分器以及状态观测器实现的“线性 PID”。并且谈及了为给定安 排过渡函数，以及按不同误差组合构成的“非线性 PID”。而之后的“自抗扰控 制器”是跟踪微分器和扩展状态观测器产生的状态变量估计之间的误差的非线 性组合，并且与扩张状态观测器对总扰动的补偿量一起组成控制量：
5
参考文献
[1] 韩京清. 控制理论—–模型论还是控制论 [J]. 系统科学与数学, 1989, 9(4): 328 – 335. [2] 韩京清. 线性控制系统的结构与反馈系统计算 [C] //全国控制理论 及其应用论文集. 北京: 科学出版社, 1981: 43 – 55. [3] 韩京清. 控制系统的鲁棒性与 Gö del 不完备性定理 [J]. 控制理论与 应用, 1999, 16(增刊): 149 – 155. [4] 韩京清. 抗扰控制技术—–估计补偿不确定因素的控制技术 [M]. 北 京: 国防工业出版社, 2008. [5] HAN Jingqing. From PID to active disturbance rejection control [J]. IEEE Transactions on Industrial Electronics, 2009, 56(3): 900 – 906. [6]杨晟萱. 四旋翼飞行器自抗扰控制方法研究[D].大连理工大学,2014. [7]朱晓光. 航天器交会对接逼近段自抗扰控制研究[D].吉林大学,2015. [8]吴丹,赵彤,陈恳. 快速刀具伺服系统自抗扰控制的研究与实践[J]. 控制理论与 应用,2013,12:1534-1542. [9] 马幼捷 ,刘增高 , 周雪松 ,王新志 . 基于自抗扰控制技术的发电机励磁控制系统 [J]. 控制工程,2008,06:627-629+695. [10]TIAN G, GAO Z Q. Benchmark tests of active disturbance rejection control on an industrial motion control platform [C].Proceedings of the 2009 American Control Conference. St. Louis, MO: IEEE, 2009:5552 – 5557 [11] Achieve improved motion and efficiency for advanced motor control designs in minutes with TI’s new InstaSPIN(TM)–MOTION technology, The Wall Street Journal, April 18, 2013 at http: ///article/PR – CO – 20130418 – 907338.html ? mod = googlenews_wsj. [12] 李 海 生 , 朱 学 峰 . 自 抗 扰 控 制 器 参 数 整 定 与 优 化 方 法 研 究 [J]. 控 制 工 程 ,2004,11(5):419-423. [13] 张文革 . 时间尺度与自抗扰控制器 [D]. 北京 : 中国科学院系统科学研究 所 ,1999.
v(t ) v(t 1 ) v(t 2 ) , 0 1 2 2 1
(1)
式(1)中实际上采用了两个不同的惯性延迟环节来近似信号的不同时滞后的 信号。延迟的信号可以分别由两个时滞不同的惯性环节得到。这样，就能够较好 地抑制噪声。考虑二阶积分器串联型系统
x1 x2 x2 u,| u | r
3.2 扩张状态观测器
在控制工程历史上曾经出现过两个原理： 即“绝对不变性原理”与“内模原 理”。 前者消除扰动影响是基于直接测量扰动的基础上；后者则是基于知道生成 扰动的模型的基础上。 如果扰动并不能反映在系统的输出里，即扰动并不能影响 系统的输出， 那么也就不存在消除扰动的问题，因为这样的扰动对需要的输出信 号并没有影响；反之，如果扰动能够反映在系统的输出里，那么就能够通过观察 扰动来估计其作用， 就有可能用补偿的办法来消除其影响。在工程中常常采用的 前馈控制措施实际上就是一种扰动补偿。 扩张状态观测器借用了状态观测器的概 念， 但是实际上与状态观测器不同。扩张状态观测器把能够影响被控输出的扰动 作用扩张成新的状态变量，用特殊的反馈机制建立能够观测“被扩张”的状态。 这类状态观测器是一种通用而实用的扰动观测器， 并不依赖于生成扰动的具 体数学模型。 扩张状态观测器是自抗扰控制器的核心环节。控制器仅需要系统的 输入与输出作为信号来源，通过扩张状态观测器就能够得到各个状态变量的估 计， 而且能够估计出不确定模型和外扰的实时作用量，进而可以在反馈中加以补 偿。 设有未知外扰作用下的不确定对象：
1
3 发展现状
3.1 非线性跟踪微分器
自抗扰控制目前主要包括三方面的内容：非线性跟踪微分器，扩张状态观测 器以及一系列自抗扰控制律的设计。 非线性跟踪微分器能够抑制噪声信号的放大效应，得到较好的微分近似信 号。 经典微分器的主要思想是利用惯性环节对信号进行一定时间延迟，进而求出 信号的微分近似信号。然而实际工程中，由于信号会受到噪声的干扰，经典微分 器的输出叠加了噪声信号的微分，往往导致微分信号不可用。如果换成另外一种 微分近似公式：
目录
目录 目录 ........................................................... 1 1 绪论 ......................................................... 1 2 问题描述 ..................................................... 1 3 发展现状 ..................................................... 2 3.1 非线性跟踪微分器........................................ 2 3.2 扩张状态观测器.......................................... 3 3.3 自抗扰控制律............................................ 4 3.4 参数整定问题............................................ 4 4 未来展望 (15 分) .............................................. 4 5 结论 ......................................................... 5 参考文献 ....................................................... 6
4 未来展望 (15 分)
实践与数值仿真证明， 自抗扰控制技术确实具有较高的工程应用价值。然而 在该技术刚刚提出之时， 收到了理论界的极大反对与排斥。韩京清先生的论文也
4
很少能够投到理论性很强的刊物上。 这很大程度上也是因为自抗扰控制技术更多 的偏向于技术实践， 而不是严谨缜密的数理证明。而正是这一点使自抗扰控制技 术能够很好地适应一些具体的工程应用。 而自抗扰控制技术中更珍贵的也许是韩 京清先生对于控制理论本身的理解， 而其中衍生出的控制技术值得我们去发展与 探索。 未来相当一段时间，围绕自抗扰控制技术应当有以下两方面的主题：一、严 格的理论证明，在既有的理论框架下进行延展与创新；二、具体的围绕自抗扰控 制技术的控制思想的新的控制技术的提出与发展。
则 (6)
z2 n 1ຫໍສະໝຸດ 是对总扰动f ( x, x,..., x ( n 1) , t ) w(t ) (b b0 )u
b 的实时估计， 0 为 b 的估
计值，非线性函数一般选用如下形式：
3
z sgn( z ), z fal ( z, , ) 1 z / , z
x( n ) f ( x, x,..., x( n1) , t ) w(t ) bu
(5)
式(5)中， f ( x, x,..., x
( n 1)
, t ) 为未知函数， w(t ) 为未知外扰， x(t ) 为可量测量，
u 为控制量。扩张状态观测器的形式如下：
z21 z22 21 g1 (e) ... z2 n z2 n 1 2 n g n (e) b0u z2 n 1 2 n 1 g n 1 (e) e z21 x(t )
u0 k1 fal (1 , , ) ... kn fal ( n , , )
(8)
根据 fal 函数的特点与现场运行经验，适当地选择非线性因子 ，将明显地 改变控制效果，使比例微分发挥各自功效。
3.4 参数整定问题
自抗扰控制的三个主要部分——跟踪微分器、扩张状态观测器、非线性自抗 扰控制律满足“分离性原理” ，即参数整定可以相互独立运行，互不影响。文献 [12]提出了基于遗传算法的自抗扰控制参数自整定以及优化的具体方法；文献 [13]提出了应用单纯形法进行参数整定的方法。 以上方法可以使调参脱离人的经 验，获得满足特定指标参数。另一方面，在理解了自抗扰控制的思想本质后，调 参也较为容易，也有一些参数选用固定的值即可。