17、螺旋线x=2cost,y=2sint,z=2t在点（1，0，0）的法平面是y+z=0,
彳b
18设给出c类曲线：r =r(t) ,a G兰b.则其弧长可表示为fjr\t)dt
19、已知r ={cos'x,sin'x,cos2x}, 0 ：： x，{则一{3e!S,4x
25
20、曲面的在曲线，如果它上面每一点的切点方向都是渐近方向， 则称为渐进曲线。
在原点处t =0
r(0)二{0,0,0},r (0) ={0,1,1},r (0) = {2,0,2}.
在原点处切平面的方程为：
(R-r(0),r (0),r(0)) =0
0 1 1
34、求曲面z=x3-y3的渐近曲线。
解设r ={u,v, u3-v3}
则賈={1,0,3『},2={0,1,-3/}, j口=4=4{-3u2,3v2,1}
|陰5|J9u4+9v4+1
44 H 4
ruu二{0,0,6u},ruv=°,rvv二{0,0, -6v}
6u
L = n Gu ：-4,M = n g=0,
J9u4+9v4+1
因渐近曲线的微分方程为
Ldu22Mdu dv Ndv2二0
即udu2二vdv2或udu二'一vdv二0
3333
渐近曲线为『=v「G或(-叮=v「C2
三、综合题
33.求曲线x=tsint,y =tcost,z =tet在原点的密切平面，法平面，切线方程。
解：r二{tsin t,tcost,tet},
r (t) ={si nt t cost,cost -ts in t,ettet},
r (t) ={2cost -t si nt,-2s in ^tcost,2ettet}
26若曲线(c)用自然参数表示r=r(t),则曲线(c)在P(s°)点的密切平面的方程是
(R -r(s°), r(s0),r(s0))=0
30、（ Coh n-Voeeen定理）两个卵形面之间如果存在一个保长映射，则这个映射一定是R3中的合同或对称。
31、球面上正规闭曲线的全挠率等于零。
32、—个曲面为可展曲面的充分必要条件为此曲面为单参数平面族的包络
微分几何
—、判断题
1、两个向量函数之和的极限等于极限的和（V）
2、二阶微分方程A（u,v）du22B（u,v）dudv B（u,v）dv2=0总表示曲面上两族曲线•（）
3、若r（t）和s（t）均在［a,b］连续，贝U他们的和也在该区间连续（V）
4、 向量函数詞具有固定长的充要条件是对于t的每一个值，
21、旋转面r=｛ ®(t)cos日,d(t)sin日严(t)｝，他的坐标网是否为正交的?是
傾“是”或“不是”).
22、过点平行于法方向的直线叫做曲面在该点的线线.
23、任何两个向量p,q的数量积p-q= p|qcos(pq)
24、 保持曲面上任意曲线的长度不便的变称为等距(保长)变换__.
25、 圆柱螺线的曲率和挠率都是常数_数(填“常数”或“非常数”).
因而得到
n- -(Rcos2却2Rd J)
37.如果曲面的第一基本形式ds2源自du2dv2(u2v2c)2
计算第二类克力斯托费尔符
解:因为
E=(u2V2旷
F =0,
1
2 2 2(u V c)
所以
29
(u v c) 2u
(u2+v2+c)4
-4u
(u2v2c)3
Gu
Ev
2 2
-2(u v c) 2v
(u2v2c)4
（X ）
10、曲线上的正常点的切向量是存在的（V）
11、曲线的法面垂直于过切点的切线（V）
12、单位切向量的模是1 （V）
13、 每一个保角变换一定是等距变换（X）
14、 空间曲线的形状由曲率与挠率唯一确定.（）
15、 坐标曲线网是正交网的充要条件是F= 0，这里F是第一基本量.（）
、填空题
16、曲面上的一个坐标网，其中一族是测地线
36计算球面r =(Rcos^cos ,Rcos^sin , Rsin〒)的第二基本形式
解：
r ={Rcosncos , Rcosnsin ,Rsin r), r二{- Rcos^sin , Rcosr cos ,C},
\-{-Rsinvcos ,-Rsinsin ,Rcos)},
由此得到
E = r：r = R2cos), F = r：；.q-0,
T
s（t）的微商与s（t）平行（X）
5、等距变换一定是保角变换.（）
6、 连接曲面上两点的所有曲线段中，测地线一 」定是最短的.（）
7、常向量的微商不等于零（X）
8螺旋线x=cost,y=sint,z=t在点（1, 0, 0）的切线为X=Y=Z（X）
9、对于曲线s=S（t）上一点（t=t。），若其微商是零，则这一点为曲线的正常点
35求双曲抛物面r二{a(u • v),b(u-v),2uv}的第一基本形式
解:r ={a(u v),b(u -v),2uv},r^{a,b,2v},r={a,-b,2u}.
E=4h=a2b24v2,F兀=a2_b24uv,
G二rvrv二a2b24u2.
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
I = (a b 4v )du 2(a-b 4uv)dudv (a b 4u )dv
={cos ^cos , cos^sin ,sin ^},
又由于
r二{-Rcosjcos:,-Rcosnsin ,0},
r j-{Rsi nr sin，-Rs in ^cos ,0},
q-{-Rcos^ cos「，-Rcosin \ - Rsin ^},
所以
L = r]]n二-Rcos2(T),M二r n =0, N二q n = - R,
-4v
(u2v2c)3
所以
■i1i
Eu
-2u
2E
2
11
2v
■i1
Ev
2E
-2v2 _
22," 12_
u v c 2G
-2u
~22
u v c
2u
2E
Gv_-'2v
2G一u2v2c