∴大正方形的边长为 5 5 ，小正方形的边长为 5，
∴ 5 5 cos 5 5 sin 5 ，
∴ cos sin 5 ， 5
∴ sin cos 2 1 ．
5
故选：A． 【点睛】 本题考查了解直角三角形、勾股定理的证明和正方形的面积，难度适中，解题的关键是正
确得出 cos sin 5 ． 5
【详解】
如图所示，
过 A 作 AE⊥CP 于 E，过 B 作 BF⊥DQ 于 F，则
Rt△ACE 中，AE= 1 AC= 1 ×54=27（cm）， 22
同理可得，BF=27cm， 又∵点 A 与 B 之间的距离为 10cm， ∴通过闸机的物体的最大宽度为 27+10+27=64（cm）， 故选 C． 【点睛】 本题主要考查了特殊角的三角函数值，特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数 进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多．
5．如图，点 E 从点 A 出发沿 AB 方向运动，点 G 从点 B 出发沿 BC 方向运动，同时出发 且速度相同， DE GF AB （ DE 长度不变， F 在 G 上方， D 在 E 左边），当点 D 到 达点 B 时，点 E 停止运动．在整个运动过程中，图中阴影部分面积的大小变化情况是
（）
∵∠DEB=90°，∴BD= DE 2 3 ． sin60 3
故选 B． 【点睛】 本题考查了解直角三角形，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形斜边的中 线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
9．公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”如图所示， 它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面
30°．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为( )
A．(54 3 +10) cm B．(54 2 +10) cm C．64 cm
D．54cm
【答案】C
【解析】
【分析】
过 A 作 AE⊥CP 于 E，过 B 作 BF⊥DQ 于 F，则可得 AE 和 BF 的长，依据端点 A 与 B 之间的
距离为 10cm，即可得到可以通过闸机的物体的最大宽度．
10．如图，在平面直角坐标系中，四边形 ABCD 是菱形，点 B 的坐标是（0，4），点 D 的
坐标是（8 3 ，4），点 M 和点 N 是两个动点，其中点 M 从点 B 出发，沿 BA 以每秒 2 个
单位长度的速度做匀速运动，到点 A 后停止，同时点 N 从点 B 出发，沿折线 BC→CD 以每 秒 4 个单位长度的速度做匀速运动，如果其中一个点停止运动，则另一点也停止运动，设 M，N 两点的运动时间为 x，△BMN 的面积为 y，下列图象中能表示 y 与 x 的函数关系的图 象大致是（ ）
【详解】
由题意知， C1A1 1 ， C1A1B1 60 ，
则 C1B1A1 30 ， A1B1 A2B2 2 ， C1B1 C2B2 C3B3 3 ， 结合图形可知，三角形在 x 轴上的位置每三次为一个循环，
2019 3 673 ，
OC2019 673(1 2 3) 2019 673 3 ，
所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角， 90 的圆周角所对的
弦是直径．也考查了解直角三角形．
7．如图，菱形 ABCD 的两个顶点 B、D 在反比例函数 y= 的图象上，对角线 AC 与 BD 的交 点恰好是坐标原点 O，已知点 A（1，1），∠ABC=60°，则 k 的值是（ ）
A．（2018+672 3 ，0）
B．（2019+673 3 ，0）
C．（ 4035 +672 3 ， 3 ）
2
2
D．（2020+674 3 ，0）
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意可知三角形在 x 轴上的位置每三次为一个循环，又因为 2019 3 673 ，那么
C2019 相当于第一个循环体的 673个C3 即可算出.
A．
B．
C．
D．
【答案】D 【解析】 【分析】 根据两个点的运动变化，写出点 N 在 BC 上运动时△BMN 的面积，再写出当点 N 在 CD 上 运动时△BMN 的面积，即可得出本题的答案； 【详解】 解：当 0<x⩽2 时，如图 1：
连接 BD，AC，交于点 O′，连接 NM，过点 C 作 CP⊥AB 垂足为点 P， ∴∠CPB=90°，
解：由三视图可知：该几何体是一个圆锥，其轴截面是一个高为 3 的正三角形．
∴正三角形的边长 3 2 ． sin 60
∴圆锥的底面圆半径是 1，母线长是 2，
∴底面周长为 2 ∴侧面积为 1 2 2 2 ，∵底面积为 r2 ，
2 ∴全面积是 3 ．
故选：C． 【点睛】 本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题 的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．
∴tan40°=
DG AG
167 y 120
0.84
解得：y=78.8 故选：C 【点睛】 本题是三角函数的考查，注意题干中的坡度指的是斜边与水平面夹角的正弦值.
3．图 1 是一个地铁站入口的双翼闸机．如图 2，它的双翼展开时，双翼边缘的端点 A 与 B 之间的距离为 10cm，双翼的边缘 AC＝BD＝54cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA＝∠BDQ＝
解：连接 BD ，如图，
AB 为直径，
ADB ACB 90 ， AD CD，
DAC DCA，
而 DCA ABD ，
DAC ABD ， ∵DE⊥ AB ， ABD BDE 90 ，
而 ADE BDE 90 ， ABD ADE ， ADE DAC ，
FD FA 5 ， 在 RtAEF 中， sin CAB EF 3 ，
∵四边形 ABCD 是菱形，其中点 B 的坐标是(0，4)，点 D 的坐标是(8 3 ，4)，
∴BO′=4 3 ，CO′=4，
∴BC=AB= OB2 OC2 8，
A． 3 3
B． 2 3 3
C．6 3
D．3 3
【答案】B 【解析】 【分析】 证明△OBE 是等边三角形，然后解直角三角形即可． 【详解】 ∵四边形 ABCD 是菱形，∴OD=OB，CD=BC． ∵DE⊥BC，∴∠DEB=90°，∴OE=OD=OB． ∵∠DOE=120°，∴∠BOE=60°，∴△OBE 是等边三角形，∴∠DBC=60°．
C2019(2019 673 3,0) ， 故选 B .
【点睛】 考查解直角三角形，平面直角坐标系中点的特征，结合找规律.理解题目中每三次是一个循 环是解题关键.
2．在课外实践中，小明为了测量江中信号塔 A 离河边的距离 AB ，采取了如下措施：如 图在江边 D 处，测得信号塔 A 的俯角为 40，若 DE 55米， DE CE ， CE 36米， CE 平行于 AB ， BC 的坡度为 i 1: 0.75，坡长 BC 140 米，则 AB 的长为( )（精确 到 0.1 米，参考数据： sin 40 0.64 ， cos 40 0.77 ， tan 40 0.84 ）
积是 125，小正方形面积是 25，则 sin cos 2 ( )
A． 1 5
【答案】A 【解析】
B． 5 5
C． 3 5 5
D． 9 5
【分析】
根据正方形的面积公式可得大正方形的边长为 5 5 ，小正方形的边长为 5，再根据直角三
角形的边角关系列式即可求解．
【详解】
解：∵大正方形的面积是 125，小正方形面积是 25，
∵BC 的坡度为 1:0.75 ∴设 CF 为 xm，则 BF 为 0.75xm ∵BC=140m
∴在 Rt△BCF 中， x2 0.75x2 1402 ，解得：x=112
∴CF=112m，BF=84m ∵DE⊥CE，CE∥AB，∴DG⊥AB，∴△ADG 是直角三角形 ∵DE=55m，CE=FG=36m ∴DG=167m，BG=120m 设 AB=ym ∵∠DAB=40°
人教版初中数学锐角三角函数的图文解析
一、选择题
1．如图，已知△A1B1C1 的顶点 C1 与平面直角坐标系的原点 O 重合，顶点 A1、B1 分别位于 x 轴与 y 轴上，且 C1A1＝1，∠C1A1B1＝60°，将△A1B1C1 沿着 x 轴做翻转运动，依次可得到 △A2B2C2，△A3B3C3 等等，则 C2019 的坐标C．﹣3
【答案】C
【解析】
分析：根据题意可以求得点 B 的坐标，从而可以求得 k 的值．
详解：∵四边形 ABCD 是菱形，
∴BA=BC，AC⊥BD，
∵∠ABC=60°，
∴△ABC 是等边三角形，
∵点 A（1，1），
∴OA= ，
∴BO=
，
∵直线 AC 的解析式为 y=x， ∴直线 BD 的解析式为 y=-x， ∵OB= ， ∴点 B 的坐标为（− ， ），
1
= DE·AB·sinB
2
∵DE、AB 和∠B 都为定值
∴S 阴影也为定值
故选 B．
【点睛】
此题考查的是锐角三角函数和求阴影部分的面积，掌握利用锐角三角函数解直角三角形和
三角形的面积公式是解决此题的关键．
6．如图，四边形 ABCD 内接于 O ， AB 为直径， AD CD ，过点 D 作 DE AB于点 E ，连接 AC 交 DE 于点 F .若 sin CAB 3 ， DF 5 ，则 AB 的长为( )
AF 5 EF 3 ，
AE 52 32 4 ， DE 5 3 8， ADE DBE ， AED BED ，
ADE∽DBE ， DE : BE AE : DE ，即 8: BE 4 :8 ， BE 16 ， AB 4 16 20． 故选：D． 【点睛】 本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧