数 学
(本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分100分，考试时间90分钟)
注意事项：
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2. 答案一律写在答题卡上，写在本试卷上无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

3. 回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

参考公式：球的表面积公式S R =π24（其中R 为球的半径）。

一、 选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合{},,,A =1234，{}B x x x =--=220，则A B =( )
A.{}1
B. {}2
C. {}3
D. {},12
2.已知命题:,p x R x x ∀∈++>2230，那么p ⌝是( )
A. ,x R x x ∃∈++>2000230
B. ,x R x x ∀∈++≤2
230 C. ,x R x x ∃∈++≤2000230 D. ,x R x x ∀∈++≠2
230 3. x >3是x >2的( )
A. 充分而不必要条件
B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
4.函数()f x =( )
A. (,][,)-∞-+∞13
B. [,]-13
C. [,]-31
D. (,][,)-∞-+∞31
5.甲,乙,丙三名学生随机站成一排,则甲站在中间的概率为( )
A.
16 B. 13 C. 12 D. 23
6.如果a b >>0,那么下列不等式一定成立的是 ( )
A. c a c b ->-
B. a b >11
C. ()()a b >1122
D. ln ln a b > 7.某校数学教研组为了解学生学习数学的情况,采用分层抽样的方法从高一600人、高二780人、高三n 人中,抽取35人进行问卷调查.已知高二被抽取的人数为13人,则n 等于( )
A. 660
B. 720
C.780
D. 800
8.已知sin α=α是第三象限的角,则tan α2的值为( ) A. -43 B. 43 C. -45 D. 45
9.函数()()log x f x x =-313
的零点个数为( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
10.设M 是ABC ∆边BC 的中点，若AM AB AC =λ+μ,则λ+μ的值为( )
A.
14 B. 12
C. 1
D. 2 11.如果棱长为2的正方体的八个顶点都在同一个球面上，那么这个球的表面积是( )
A. B. π3 C. D. π12
12.如图给出了红豆生长时间t (月)与枝数y (枝)的散点图,用下列哪个函数模型拟合红豆生长时间与枝数的关系最好( )
A. 指数函数:
t y =2 B.
对数函数: log y t =2 C. 幂函数:y t =3 D. 二次函数:y t =2
二、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分。

13.计算: lg
lg +5222= . 14.已知向量(,),(,)==-2411a b ，则⋅a b = .
15.在平面直角坐标系xOy 中,角α与角β均以Ox 为始边,它们的终边关于x 轴对称.若
sin α=35
, 则sin β= .
16.设,x y 为正数，则()()x y x y ++14的最小值为 . 三、解答题：本大题共5小题，共52分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17. (本小题满分10分)
已知向量(,),(,).==a x b 224
（Ⅰ）若//a b ，求实数x 的值； （Ⅱ）若+=a b 6，求实数x 的值.
18. (本小题满分10分)
在ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且a b c >>sin b C -=20. （Ⅰ）求角B 的大小;
（Ⅱ）若b a ==2,求c .
19. (本小题满分10分)
如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是正方形，AC 与BD 交于点O ，E 为PB 的中点.
（Ⅰ）求证：EO ∥平面PDC ;
（Ⅱ）求证：AC DE ⊥.
20. (本小题满分10分)
某学校随机抽取部分新生调查其上学所需时间(单位:分钟),并将所得数据绘制成频率分布直方图(如图).已知上学所需时间的范围是[0,100],样本数据分组为[0,20),[20,40),[40,60),[60,80),[80,100] .
（Ⅰ）求直方图中x的值;
（Ⅱ）如果上学所需时间在[60 ,100]的学生可申请在学校住宿,请估计该校800名新生中有多少名学生可以申请住宿.
21. (本小题满分12分)
如图,某市拟在长为8km的道路OP的一侧修建一条运动赛道,赛道的前一部分为曲线段OSM,该曲线段为函数sin(,)
00,[,]
x∈04的图象,且图象的最高点为
=ω>ω>
y A x A
S323;赛道的后一部分为折线段M N P.为保证参赛运动员的安全,限定(,)
∠=120.
M N P
（Ⅰ）求点M的坐标;
（Ⅱ）应如何设计,才能使折线段赛道MNP最长?
数 学（三）答案
一、选择题
BCACBDBABCDA
二、填空题 13.1 14.2 15.-35 16.9
三、解答题
17.解：（Ⅰ）因为//a b ，
所以x =44，
所以x =1.…………………………………………………………5分
（Ⅱ）因为(,)+=+a b x 26，
所以+=a b
=6，
解得=-x 2.………………………………………………10分
18.解：（Ⅰ） 因为
c-2b sin C=0, 所以sin C-2sin B sin C=0.
因为0<C<π,所以sin C ≠0,
所以sin B=.
因为0<B<π,且a>b>c ,
所以B=.…………………………5分
（Ⅱ）因为b=
,a=2, 所以由余弦定理b 2=a 2+c 2-2ac cos B , 得()2= c 2+4-2 c×2×,即c 2
-2 c +1=0. 所以 c=1.…………………………10分
19.（Ⅰ）证明：∵，点分别是，中点， ∴
， ∵平面PDC ，平面PDC ，
∴EO ∥平面PDC .…………………………5分 （Ⅱ）证明：∵四边形
是正方形， ∴
， 又∵底面，底面， ∴
， ∵，，平面， ∴平面，
∵DE ⊂平面
，
⊥.…………………………10分
∴AC DE
20.解：（Ⅰ）由直方图可得到20x+0.025×20+0.0065×20+0.003×2×20=1.
所以x=0.0125.…………………………5分
（Ⅱ）由直方图可知,新生上学所需时间在[60 ,100]的频率为0.003×2×20=0.12.所以估计全校新生上学所需时间在[60 ,100]的概率为0.12.
因为800×0.12=96.
所以800名新生中估计有96名学生可以申请住宿.…………………………10分
21.解：（Ⅰ）由题意知A=2,=3,
∵T=,∴ω=,
∴y=2sin x.
当x=4时,y=2sin=3,
∴M(4,3). …………………………6分
（Ⅱ）连接MP,如图所示.
又∵P(8,0),∴MP==5.
解法一:在△MNP中,∠MNP=120°,MP=5.
设∠PMN=θ,则0°<θ<60°,
∵.
∴NP=sinθ,MN=sin(60°-θ).
∴NP+MN=sinθ+sin(60°-θ)
=sin(θ+60°).
∵0°<θ<60°,
∴60°<θ+60°<120°,
∴5<sin(θ+60°)≤.
∴当θ=30°时,折线段赛道MNP最长.
所以将∠PMN设计为30°时,折线段赛道MNP最长.…………………………12分
解法二:.
在△MNP中,∠MNP=120°,MP=5,
由余弦定理知cos∠MNP=,
即MN2+NP2+MN·NP=25.
所以(MN+NP)2-25=MN·NP≤,
所以(MN+NP)2≤25,即MN+NP≤,当且仅当MN=NP时取等号.
所以将赛道设计为MN=NP时,折线段赛道MNP最长.…………………………12分。