练习
➢求下列各函数的导数
(1) y (3x 5)3(5x 4)5
(2) y ln x ln x
(3) y ( x 4)2 x3
(4) y 1 tan2 x lncos x 2
2020/4/12
25
计算机 数学
1.4.5 隐函数求导法
凡是因变量y用自变量x的表达式表示的 函数y＝f(x)称为显函数。前面介绍的求 导法适用于显函数。但有时两个变量之 间的函数关系由一个方程F(x,y)＝0确定 ，这种由方程所确定的函数称为隐函数 。有些隐函数可以变换为显函数，但也 有不能变换为显函数的。对隐函数求导 就是把其中的一个变量看成另一个变量 的函数（虽然并没有用显式表示）。
计算机 数学
1.4 求导方法
➢ 本节内容
1.4.1 按定义求导数
1.4.2 导数的四则运算法则
1.4.3 复合函数的求导法则
1.4.4求导例题
1.4.5 隐函数求导法
2020/4/12
1
计算机 数学
1.4.1 按定义求导数
例1-23 求函数f(x)＝sin x的导数。
解
f ( x) lim sin(x x) sin(x)
对括号的若干次方这一类函数求导用复 合函数求导法则最简便，一般不要把括 号展开。
2020/4/12
22
计算机 数学
1.4.4
求导例题（续三）
（3）y at at
解
dy at ln a at ln a (t ) (at at ) ln a dt
（4） y ln(x x2 a2 )
13
计算机 数学
1.4.3 （续一）
显然，复合函数求导法则（1-26）或 （1-27）可以推广到多个函数复合的情形。 例如，如果y＝f(u)，u＝g(v) ， v＝h(x)， 满足定理1-8的条件，则有 dy dy du dv dx du dv dx 上式右端按y →u →v →x的顺序求导，通 常称为链式法则。
1 x2
1 x2
(13)
(arctan x)
1 1 x2
(14)
(arc
cot
x
)
1
1 x
2
2020/4/12
19
计算机 数学
1.4.4 求导例题
例1 求下列函数的导数（其中只有x、t
是自变量）：
（1）y
x3
5x2 x2
x3
（2） f ( x) (3x2 2x 3)3
（3） y a t a t
2
4
整理后得
3x 4 y 12 2 0
30
计算机 数学
1.4.4
隐函数求导法（续四）
续解
将 x2
2, y 3 2 2
代入上式得
y
3
x2 2,y3 2
4
2
将有关数据代入切线方程（1-20）得
y 3 2 3 ( x 2 2)
2
4
整理后得
3x 4 y 12 2 0
31
计算机 数学
16
计算机 数学
练习
➢求下列函数的导数：
(1) y ( x2 4x 7)6
(2) y etan x
(3) y ln x2 1
2020/4/12
17
计算机 数学
基本初等函数的导数公式
(1) c 0 (c为常数) (2) ( x ) x 1
(3) (a x ) a x ln a (5) (ln x) 1
y 5x 1 x2
y 2x sin x
➢例4: y cosx ln x
2020/4/12
8
计算机 数学
例5 求 f (x) tan x 的导数。
2020/4/12
9
计算机 数学
课堂练习
➢求下列函数的导数
(1) y 3x2 x 5
(2) y 2 x 1 4 3 x
(3)
y
sin 2
-
+
f(x)
38
计算机 数学
作业
➢P39页
➢1-12 （3）（4）（5）（6）
➢1-13
➢P39-1-15
➢补充：1、讨论下列函数的单调性
f (x) 2x3 9x2 12 x
2020/4/12
39
2020/4/12
26
计算机 数学
1.4.4
隐函数求导法（续一）
例1 求由方程xy＋y－x－8＝0所确定的函
数的导数。
解 方法1 变换为显函数 y 1 7 ，
因此
y
(
x
7 1)2
x1
（a）
方法2 原方程两边分别对求导（注意： y是x的函数），得
( xy) y x y xy y 1 0
因此
y y 1 x1
（b）
2020/4/12
27
计算机 数学
1.4.4
隐函数求导法（续二）
例1-32 用隐函数求导法求函数y＝arcsinx的 导数。
解 将y＝arcsinx改写成x＝siny ，两边对x求 导，得
1 cos y y
因为函数y＝arcsinx的定义域是[－1,1]，值域
5
计算机 数学
1.4.2
导数的四则运算法则
定理1- 7 设函数u＝u(x)和v＝v(x)在点x 处都可导，则
(u v) u v
（1-21）
(uv) uv uv
（1-22）
( u)
注意v：
uv uv v2
(v( x) 0) （1-23）
(uv) uv
( u ) u v v
2020/4/12
解
y ( x x2 a2 ) x x2 a2 x
1 x2 a2
1
(1
x2 a2
2
2x )
x2 a2
2020/4/12
23
计算机 数学
1.4.4
求导例题（续四）
例2 （1） y ln x 1 1，求 y(1。)
解 y [ln(
x11
x 1 1)] [ln( x 1 1)]
x
(4) (ex ) ex
(6)
(loga
x)
1 x lna
2020/4/12
18
计算机 数学
（续）
(7) (sinx) cos x
(8) (cos x) sin x
(9) (tan x) sec2 x
(10) (cot x) csc2 x
(11) (arcsin x) 1 (12) (arccos x) 1
1.4.3
复合函数的求导法则
定理1-8 设y＝f(u)，u＝g(x) ，且u＝g(x) 在点x处可导， f(u)在相应的点u处可导， 则复合函数y＝f[g(x)]在点x处可导，且
( f [g( x)]) f (u)g( x（) 1-26）
或写成
dy dy du （1-27）
dx du dx
2020/4/12
2
即
f ( x) 0
函数单调递减。
x
34
计算机 数学
例 1 判断函数
y sin x在
[
2
,
2
]上的单调性。
解 在 ( , )内， y cos x 0
22
所以由定理可知，函数
y
sin
x在
[
,
]
上单调增加。
22
例2
f (x)
1
，
x
f
(
x
)
1 x2
0，
在(,0) 和(0,)内函数单调减少。
6
计算机 数学
1.4.2 （续四）
特别地，如果法则（1-22）中v(x)＝c
（c是常数），因 (c) 0，有
(cu) cu
（1-24）
如果法则（1-23）中u(x)=1，有
(
1 v
)
v v2
（1-25）
2020/4/12
7
计算机 数学
➢例1:
➢例2:
➢例3
求下列函数的导数.
y x5 1 56 x
补充：导数的应用
➢一、函数单调性的应用
➢ 由导数的几何意义知 f ( x0 ) tan a（其中
a为曲线f(x)在点x0处的切线与x轴正向的夹角）
。
➢由图可知，若f’(x0)>0，则曲线切线的倾角a都
是锐角，函数f(x)单调递增； 若f’(x0)<0,则曲线
切线的倾角a都是钝角，函数f(x)单调递减。
➢因此，可以利用导数的正负来判断函数的单调 性。
32
计算机 数学
y y f (x) B
A
oa
bx
在 (a,b)内，切线与x 轴正方向
的夹角0 a ，斜率为正，
2
即
f ( x) 0
函数单调递增。
33
计算机 数学
y
A
y f (x)
B
o
a
b
在 (a,b)内，切线与x 轴正方向
的夹角
a
，斜率为负，
x ln a x0 x
x
x
1 lim ln1 x x 1 • ln e 1
x ln a x0 x x ln a
x ln a
2020/4/12
4
计算机 数学
1.4.1
按定义求导数（续三）
续解 即对任意x＞0，
(loga
x)
1 x lna
特别地，对任意x＞0，
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(ln x) 1 x
2020/4/12