解三角形练习
题一：在△ABC中，若∠A＝60°，∠B＝45°，BC＝32，则AC＝(). A．43B．2 3
C. 3
D.
3 2
题二：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝23，c＝22，1＋tan A tan B＝
2c
b，则C ＝().
A．30°B．45°
C．45°或135°D．60°
题三：在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c.若b＝2a sin B，则角A的大小为________．
题四：在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(2b－c)cos A－a cos C＝0.求角A的大小.
题五：在△ABC中，内角A，B，C依次成等差数列，AB＝8，BC＝5，则△ABC外接圆的面积为________．
题六：在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sin B(tan A＋tan C)＝tan A tan C. 求证：a，b，c成等比数列.
题七：某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，轮船位于港
口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇．
(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？
(2)为保证小艇在30分钟内(含30分钟)能与轮船相遇，试确定小艇航行速度的最小值．
题八：如图，在△ABC中，已知B＝π
3，AC＝43，D为BC边上一点．若AB＝AD，则△ADC的
周长的最大值为________．
题九：如图，在△ABC中，点D在BC边上，AD＝33，sin∠BAD＝5
13，cos∠ADC＝
3
5.
(1)求sin∠ABD的值；
(2)求BD的长．
题十：如图，在湖面上高为10 m处测得天空中一朵云的仰角为30°，测得湖中之影的俯角为45°，则云距湖面的高度为(精确到0.1 m)().
A．2.7 m B．17.3 m
C．37.3 m D．373 m
题十一：在△ABC中，若sin2A＋sin2B < sin2C，则△ABC的形状是().
A．锐角三角形B．直角三角形
C．钝角三角形D．不能确定
题十二：在△ABC中，a＝2b cos C，则这个三角形一定是(). A．等腰三角形B．直角三角形
C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形
解三角形参考答案
题一： B.
详解：由正弦定理得：BC sin A ＝ AC sin B ，即32sin 60° ＝ AC sin 45° ，所以AC ＝ 323
2×22 ＝2 3. 题二： B.
详解：由1＋tan A tan B ＝2c b
和正弦定理， 得cos A sin B ＋sin A cos B ＝2sin C cos A ，
即sin C ＝2sin C cos A ，
所以cos A ＝12
，则A ＝60°. 由正弦定理得
23sin A ＝ 22sin C ， 则sin C ＝ 22
， 又c < a ，则C < 60°，故C ＝ 45°.
题三： 30°或150°
详解：由正弦定理得sin B ＝2sin A sin B ，因为sin B ≠ 0，所以sin A ＝ 12
，所以A ＝30°或A ＝150°. 题四： A ＝π3
. 详解：由(2b －c )cos A －a cos C ＝0及正弦定理，
得(2sin B －sin C )cos A －sin A cos C ＝0，
所以2sin B cos A －sin(A ＋C )＝0，即sin B (2cos A －1)＝0.
因为0 < B < π，所以sin B ≠ 0，
所以cos A ＝ 12
. 因为0 < A < π，所以A ＝ π3
. 题五： 49π3
. 详解：记△ABC 的外接圆半径为R .依题意得2B ＝A ＋C ，又A ＋C ＋B ＝π，因此有B ＝ π3
，所以AC ＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B ＝7.又2R ＝
AC sin B ＝ 7sin 60°，即R ＝ 73，故△ABC 的外接圆的面积是πR 2＝ 49π3. 题六： 见详解.
详解：在△ABC 中，由于sin B (tan A ＋tan C )＝tan A tan C ，
所以sin B ()sin A cos A ＋sin C cos C ＝sin A cos A ·sin C cos C
， 因此sin B (sin A cos C ＋cos A sin C )＝sin A sin C ，
所以sin B sin(A ＋C )＝sin A sin C .
又A ＋B ＋C ＝π，
所以sin(A ＋C )＝sin B ，
因此sin 2B ＝sin A sin C .
由正弦定理得b 2＝ac ，
即a ，b ，c 成等比数列．
题七： (1) 303；(2) 小艇航行速度的最小值为1013 海里/小时． 详解：(1)设相遇时小艇航行的距离为S 海里， 则S ＝900t 2＋400－2·30t ·20·cos (90°－30°)＝900t 2－600t ＋400
＝ 900()t －132
＋300， 故当t ＝ 13时，S min ＝103，v ＝ 1031
3
＝303， 即小艇以303海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小．
(2)设小艇与轮船在B 处相遇，如图所示．由题意可得：(vt )2＝202＋(30t )2－2·20·30t ·cos(90°－30°)，化简得： v 2＝400t 2－600t ＋900＝400()1t －342
＋675. 由于0 < t ≤ 12，即1t ≥ 2，所以当 1t
＝2时，v 取得最小值1013， 即小艇航行速度的最小值为1013海里/小时．
题八： 8＋4 3.
详解：因为AB ＝AD ，B ＝ π3
，所以△ABD 为正三角形， 在△ADC 中，根据正弦定理，可得AD sin C ＝ 43sin 2π3 ＝ DC sin ()
π3－C ， 所以AD ＝8sin C ，DC ＝8sin ()π3－C ，
所以△ADC 的周长为AD ＋DC ＋AC
＝8sin C ＋8sin ()π3－C ＋4 3
＝8⎝⎛⎭
⎫sin C ＋32cos C －12sin C ＋4 3 ＝8⎝⎛⎭
⎫12sin C ＋32cos C ＋4 3 ＝8sin ()
C ＋π3＋43，
因为∠ADC ＝ 2π3，所以0 < C < π3，所以π3 < C ＋π3 < 2π3，
所以当C ＋π3 ＝ π2，即C ＝ π6
时，△ADC 的周长的最大值为8＋4 3. 题九： (1) 3365
.(2) 25. 详解：(1)因为cos ∠ADC ＝ 35
， 所以sin ∠ADC ＝1－cos 2∠ADC ＝ 45
. 又sin ∠BAD ＝ 513
， 所以cos ∠BAD ＝1－sin 2∠BAD ＝
1213. 因为∠ABD ＝∠ADC －∠BAD ，
所以sin ∠ABD ＝sin(∠ADC －∠BAD )
＝sin ∠ADC cos ∠BAD －cos ∠ADC sin ∠BAD
＝ 45 × 1213 － 35 × 513 ＝ 3365
. (2)在△ABD 中，由正弦定理得BD sin ∠BAD ＝ AD sin ∠ABD
， 所以BD ＝ AD ×sin ∠BAD sin ∠ABD
＝ 33×5133365
＝25. 题十： C.
详解：在△ACE 中，tan 30°＝
CE AE ＝ CM －10AE . 所以AE ＝ CM －10tan 30°
. 在△AED 中，tan 45°＝
DE AE ＝ CM ＋10AE ， 所以AE ＝
CM ＋10tan 45°， 所以CM －10tan 30° ＝ CM ＋10tan 45°
， 所以CM ＝ 10(3＋1)3－1
＝10(2＋3)≈37.3(m)． 题十一： C.
详解：由正弦定理得a 2＋b 2 < c 2
，所以cos C ＝ a 2＋b 2－c 2
2ab < 0，所以C 是钝角，故△ABC 是钝角三角形． 题十二： A.
详解：由余弦定理知cos C ＝ a 2＋b 2－c 2
2ab
， 所以a ＝2b ·a 2＋b 2－c 22ab ＝ a 2＋b 2－c 2
a
， 所以a 2＝a 2＋b 2－c 2，所以b 2＝c 2，所以b ＝c .。