1 第七讲 数列求和 ★★★高考在考什么 【考题回放】

1.设4710310()22222()nfnnN，则()fn等于（ D ）

A.2(81)7n B.12(81)7n C.32(81)7n D.42(81)7n 2. 等差数列{an}中，a1=1,a3+a5=14，其前n项和Sn=100,则n=（ B ） A．9 B．10 C．11 D．12

3.）数列{}na的前n项和为nS，若1(1)nann，则5S等于（ B ） A．1 B．56 C．16 D．130 4.设Sn是等差数列｛an｝的前n项和，若S3S6＝13，则S6S12＝ A.310 B.13 C.18 D.19

解析:由等差数列的求和公式可得31161331,26153SadadSad可得且0d 所以6112161527312669010SaddSadd,故选A 5.已知数列}{na、}{nb都是公差为1的等差数列，其首项分别为1a、1b，且511ba，*11,Nba

．设nbnac（*Nn），则数列}{nc的前10项和等于（ ）

A．55 B．70 C．85 D．100

解：数列}{na、}{nb都是公差为1的等差数列，其首项分别为1a、1b，且511ba，*11,Nba

．设nbnac（*Nn），则数列}{nc的前10项和等于

1210bbbaaa=11119bbbaaa，111(1)4baab，∴ 11119bbbaaa

=4561385，选C.

6.对正整数n，设曲线)1(xxyn在x＝2处的切线与y轴交点的纵坐标为na，则数列}1{n

an

的前n项和的公式是 2

解：1(1)nnynxnx，曲线y=xn(1-x)在x=2处的切线的斜率为k=n2n-1-(n+1)2n 切点为（2，-2n）,所以切线方程为y+2n=k(x-2),令x=0得 an=(n+1)2n,令bn=21nnan.数列1na

n

的前n项和为2+22+23+…+2n=2n+1-2 ★★★高考要考什么 1．直接用等差、等比数列的求和公式求和。

dnnnaaanSnn2)1(2)(11 







)1(1)1()1(11qq

qa

qnaSnn

公比含字母时一定要讨论

(理)无穷递缩等比数列时，qaS11 2．错位相减法求和：如：.,,2211的和求等比等差nnnnbabababa 3．分组求和：把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，再求和。

4．合并求和：如：求22222212979899100的和。 5．裂项相消法求和：把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。

常见拆项：111)1(1nnnn )121121(21)12)(12(1nnnn ])2)(1(1)1(1[21)2)(1(1nnnnnnn !)!1(!nnnn

)!1(1!1)!1(nnnn

6．公式法求和 6)12)(1(12nnnknk 213]2)1([nnknk 7．倒序相加法求和 ★★ 突 破 重 难 点

【范例1】设数列na满足211233333nnnaaaa…，a*N． （Ⅰ）求数列na的通项； （Ⅱ）设nnnba，求数列nb的前n项和nS． 3

解 (I)2112333...3,3nnnaaaa221231133...3(2),3nnnaaaan 1113(2).333nnnnan 1(2).3nnan

验证1n时也满足上式，*1().3nnanN (II) 3nnbn，23132333...3nnSn ① ② ①-② ：

231233333nnnSn

1133313nnn



，111333244nnnnS

【变式】已知二次函数()yfx的图像经过坐标原点，其导函数为'()62fxx，数列{}na的前n项和为nS，点(,)()nnSnN均在函数()yfx的图像上。（Ⅰ）、求数列{}na的通项公式；

（Ⅱ）、设11nnnbaa，nT是数列{}nb的前n项和，求使得20nmT对所有nN都成立的最小正整数m； 点评：本小题考查二次函数、等差数列、数列求和、不等式等基础知识和基本的运算技能，考查分析问题的能力和推理能力。 解：（Ⅰ）设这二次函数f(x)＝ax2+bx (a≠0) ,则 f`(x)=2ax+b,由于f`(x)=6x－2,得 a=3 , b=－2, 所以 f(x)＝3x2－2x.

又因为点(,)()nnSnN均在函数()yfx的图像上，所以nS＝3n2－2n. 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝（3n2－2n）－)1(2)132nn（＝6n－5. 当n＝1时，a1＝S1＝3×12－2＝6×1－5，所以，an＝6n－5 （nN）

（Ⅱ）由（Ⅰ）得知13nnnaab＝5)1(6)56(3nn＝)161561(21nn， 故Tn＝niib1＝21)161561(...)13171()711(nn＝21（1－161n）. 因此，要使21（1－161n）<20m（nN）成立的m,必须且仅须满足21≤20m，即m≥10，所以满足要求的最小正整数m为10.

23413132333...3nnSn 4

【范例2】已知数列na中的相邻两项212kkaa，是关于x的方程2(32)320kkxkxk

的两个根，且212(123)kkaak≤，，，．

（I）求1a，2a，3a，7a； （II）求数列na的前2n项和2nS；

（Ⅲ）(理)记sin1()32sinnfnn，(2)(3)(4)(1)123456212(1)(1)(1)(1)ffffnnnnTaaaaaaaa…， 求证：15()624nTn*N≤≤． （I）解：方程2(32)320kkxkxk的两个根为13xk，22kx， 当1k时，1232xx，，所以12a； 当2k时，16x，24x，所以34a； 当3k时，19x，28x，所以58a时； 当4k时，112x，216x，所以712a．

（II）解：2122nnSaaa2(363)(222)nn2133222nnn． （III）证明：(1)123456212111(1)fnnnnTaaaaaaaa， 所以112116Taa，2123411524Taaaa． 当3n≥时，(1)3456212111(1)6fnnnnTaaaaaa，345621211116nnaaaaaa≥ 2311111662622n≥111

6626n

，

同时，(1)5678212511(1)24fnnnnTaaaaaa5612212511124nnaaaaaa≤ 31511112492922n≤515

249224n

． 5

综上，当nN*时，15624nT≤≤． 【变式】在数列na中，12a，1431nnaan，n*N． （Ⅰ）证明数列nan是等比数列； （Ⅱ）求数列na的前n项和nS； （Ⅲ）证明不等式14nnSS≤，对任意n*N皆成立． 解、（Ⅰ）证明：由题设1431nnaan，得1(1)4()nnanan，n*N． 又111a，所以数列nan是首项为1，且公比为4的等比数列． （Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知14nnan，于是数列na的通项公式为14nnan．

所以数列na的前n项和41(1)32nnnnS． （Ⅲ）证明：对任意的n*N， 1141(1)(2)41(1)443232nnnnnnnnSS



2

1(34)02nn≤

．

所以不等式14nnSS≤，对任意n*N皆成立． 【点睛】本题以数列的递推关系式为载体，主要考查等比数列的概念、等比数列的通项公式及前n项和公式、不等式的证明等基础知识，考查运算能力和推理论证能力． 【范例3】已知a1=2，点(an,an+1)在函数f(x)=x2+2x的图象上，其中=1，2，3，… 证明数列｛lg(1+an)｝是等比数列； 设Tn=(1+a1) (1+a2) …(1+an)，求Tn及数列｛an｝的通项；

记bn=211nnaa，求｛bn｝数列的前项和Sn，并证明Sn+132nT=1. 解：（Ⅰ）由已知212nnnaaa， 211(1)nnaa 12a 11na，两边取对数得

1lg(1)2lg(1)nnaa，即1lg(1)2lg(1)nnaa

{lg(1)}na是公比为2的等比数列.