1 tA T
)
1 T tA e T
1
tB- tA=T
3-3二阶系统分析 1. 数学模型
d 2 c(t ) dc(t ) 2 2 2 c ( t ) n n n r (t ) 2 dt dt
C ( s) n ( s ) 2 2 R( s ) ( s 2n s n
。
ξ>1称过阻尼，由上知，s1 ，s2为两个不等的负实根
ξ=1 称临界阻尼，s1 ，s2为一对相等的负实根-ωn 0<ξ<1 称为欠阻尼，特征根将为一对实数部为负的 共轭复数。 ξ=0称0阻尼，s1 ，s2由上可看出为一对虚实部的特 征根 ξ<0则称负阻，系统将出现正实部的特征根。
1.
过阻尼二阶系统的单位阶跃响应
（2）上升时间 t r 的计算
h(t r ) 1 e ntr 1 2 sin( n 1 2 tr ) 1 sin( n 1 2 t r ) 0
tr d 1 2 n
（3）峰值时间 t p 的计算
( 2) n K
(3)

1 K 2 K
100%, ln( 1/ p ) 1 0.456 )2
p % e
/ 1 2
(ln
2
p
(4)
n Biblioteka t p 1 2 3.53 (rad / s)
(5) K n 12.46
3-2 一阶系统分析 1. 数学模型
图3.3一阶系统典型结构
一阶系统微分方程
dc (t ) T c(t ) r (t ) dt
Φ （s）=C(s)/R(s)=1 / (Ts+1)
一． 单位阶跃响应
1 1 c( s) ( s ) R( s) Ts 1 s
1 t 1 1 1 1 1 T h(t ) L [ ] L [ ] 1 e Ts 1 s s s 1 T 1
且
0
(t )dt 1
4正弦asinω t
L[ a sin t ] a s2 2
三 典型时间响应
1. 单位阶跃响应 Φ （s）*R(s)=Φ (s)*1/s h(t)=L-1 [Φ (s)*1/s]
2. 单位斜坡响应 Ct(s)= Φ （s）*R(s)= Φ (s)*1/s² Ct (t)=L-1 [Φ (s)*1/s2]
/
1 2
100 %
0.4 ~ 0.8
% 25.4% ~ 1.5%
P.83 图3-13 给出了欠阻尼二阶系统阻尼比与超调量之间 的关系。 （5）调节时间 t s 的计算 为了简化调节时间的计算，一般用包络线来代替实 际响应估算调节时间。
在 0.8 ，误差带 0.05 5% 时，可用以下近似 估算公式： 3 .5 ts n 1 1 4 ln 2% n 2 1 也可以用以下公式估算： ts 1 1 3 ln 5% 2 n 1 4 2% n ts (0 0.9) 3 5% n
h(t d ) 0.5
2 sin( 1 2 n t d arc cos ) 1
2
ntd
1

ln
在绘制出 ntd 和 之间的关系曲线，利用曲线拟合 方法，当阻尼比在欠阻尼时
1 0.6 0.2 2 td n
或
1 0.7 td n
（2）指示仪表、记录仪表系统，既要无超调、时间 响应尽可能快。 另外，有些高阶系统可用过阻尼二阶系统近似。
过阻尼
1
e t / T1 e t / T2 h(t ) 1 T2 / T1 1 T1 / T2 1
(t 0)
动态性能指标：延迟时间、上升时间、调节时间
因为求上述指标，要解一个超越方程，只能用数值 方法求解。利用曲线逆合法给出近似公式 （1）延迟时间


)


二．典型外作用
1 单位阶跃1（t）
1(t )
1 t>=0 0 t<0
L[1(t )]
1 s
图3.1 典型外作用
2.单位斜度t*1(t)
t t>=0
t*1(t)=
0 t<0
L[t 1(t )]
]
1 s2
3.单位理想脉冲
0
δ （t）= L[δ (t)]=1
∞ t=0 0 t ≠0
%
h(t p P h() h() 100%
３、调节时间ts 指当c（t）和c（∞）之间误差达到规定允许值（ 一般取c（∞）的±５％，有时取±２％）并且以后不 再超过此值所需的最小时间。
４、稳态误差еss 对单位负反馈系统，当时间 t 趋于无穷大时，系 统的单位阶跃响应的实际值（即稳态值）与期望值（ 即输入量１（t））之差，定义为稳态误差，即 еss =1-с(∞)
nt p
1 2
sin( n 1 t p ) 1
2
2
e
/ 1 2
1 2
/ 1 2
sin( )
sin( ) 1
h(t p ) 1 e
根据超调量的定义，并考虑到 h() 1
% e
实际上，上述各项性能 指标之间的存在矛盾， 例如上升时间（响应速 度）和超调量（阻尼程 度或相对稳定性）
2%
(0 0.9)
5%
p % 20%, t p 1 (s)
td tr ts
K
K s ( s 1)
1 s

C ( s)
R( s )
C ( s) K (1) ( s) 2 R( s) s (1 K ) s K
2
2 n 1 0.178 K
(6) arc cos 1.097 (rad)
d n 1 2 3.14 (rad / s)
1 0.7 td 0.374 ( s) n
tr 0.651(s) d 1 2 n
本章重点
通过本章学习，应 重点掌握典型输入信号 的定义与特征、控制系 统暂态和稳态性能指标 的定义及计算方法、一 阶及二阶系统暂态响应 的分析方法、控制系统 稳定性的基本概念及稳 定判据的应用、控制系 统的稳态误差概念和误 差系数的求取等内容。
３.1 典型响应和性能指标
一.典型初状态
c (0 ) c (0 c (0 ) 0
2 s1, 2 n n 2 1
h(t ) 1
2 n
( s1 s2 ) s1 0.5
e
s1t

2 n
( s2 s1 ) s2 e (
e s2t 1 0.5 e (
2 1 ) n t
2 1 ) n t
2 2 1 1
第3章 线性系统的时域分析法
◆本章主要内容与重点 ◆ 典型响应的性能指标 ◆一阶系统的时域分析 ◆二阶系统的时域分析 ◆ 控制系统的稳定性和代数判据 ◆稳态误差的分析和计算
本章主要内容
本章介绍了控制 系统时域性能分析法 的相关概念和原理。 包括各种典型输入信 号的特征、控制系统 常用性能指标、一阶 、二阶系统的暂态响 应、脉冲响应函数及 其应用、控制系统稳 定性及稳定判据、系 统稳态误差等。
4 2.485 ( s) n ts 3 1.864 ( s) n
2% 5%
过阻尼二阶系统的动态过程分析
过阻尼系统响应缓慢，对于一般要求时间响应快的 系统过阻尼响应是不希望的。
但在有些应用场合则需要过阻尼响应特性：
例如（1）大惯性的温度控制系统、压力控制系统等。
3. 单位脉冲响应 K(s)= Φ （s）*R(s) =Φ （s）*1=Φ （s） K(t)=L-1[Φ (s)]
四．阶跃响应的性能指标
图3.2 单位阶跃响应曲线及性能指标
１、峰值时间tp 指输出响应超过稳态值而达到第一个峰值所 需时间。 ２、超调量σ% 指暂态过程中输出响应的最大值超过稳态值 的百分数。
欠阻尼二阶系统的动态性能分析
在图中称为阻尼角
h(t ) 1 e
nt 2
cos

j
n
n 1 2
1
sin( n 1 2 t )
(t 0)
0 n
无零点欠阻尼二阶系统的动态性能 指标计算公式 （1）延迟时间 t d 的计算
2
1.
单位阶段响应h(t)的一般式
n
2
C ( s ) ( s ) R( s )
s 2n s n
2
2
1 s
-
则单位阶跃响应一般式
h(t ) L1 [C ( s )] L1 [
2 n
1 n ] 2 s ( s 2 2 n s n
图３.７二阶系统动态结构
图3.4一阶系统单位阶跃响应曲线
响应曲线的初始斜率
dh(t ) 1 | e dt t 0 T
1 t T
1 | T t 0
三 性能指标 σ%=0 ts=3T(对应5%误差带) ts=4T(对应2%误差带)
ess=1-h(∞)=1-1=0
例3.1 一阶系统如图所示，试求系统单位阶跃响应的调 节时间ts.如果要求ta=0.1秒，试问系统的反馈系统应调整 为何值？
dh(t ) dt
t t p

n
1 2
e
n t p