第六章二次根式的知识点、典型例题及相应的练习1、二次根式的概念:1、定义：一般地，形如a%）的代数式叫做二次根式。
当 a%时，Va表示a 的算术平方根，当a 小于0时，非二次根式（在一元二次方程中，若根号 下为负数，则无实数根）概念：式子a%）叫二次根式。
a%）是一个非负数。
题型一：判断二次根式_ 1（1）下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：、、2、3 3、丄、、、x （x>o ）、x.0、4 2、-2、（2）在式子店 xf 0 ,72, J y 1 y中，二次根式有（）2、一^上有意义，则 _________________________ ;3、若i 卜 2 fx 2成立，贝y x 满足 ___________________ 。
v 3 x J 3 x典型练习题：1、当x 是多少时，、2 3+丄 在实数范围内有意义？____ x 12 、当x 是多少时， _ +^在实数范围内有意义？xx y （x 为，y?为）•2 、当 __________ 时，41 2x 有意义。
A. 2 个B. 3个 C. 4 个（3）下列各式一定是二次根式的是（ D. 5)个A... ~7 B.1 22m C..a 2 1 D.b2、二次根式有意义的条件题型二：判断二次根式有没有意义1、写出下列各式有意义的条件(1) 3x 4 (2) 18a (3) .m 2 4(4)2 , J 2x x p 0 ,73, 1, x y4 、使式子..(x 5)2有意义的未知数x有()个.A .0B .1C .2D .无数5 、已知y=..亍匸+、丁P+5,求x的值.y6 、若—+ ~3有意义，则= ________________ .7、若、、一m 丄有意义，则m的取值范围是。
m 18 、已知x 2 22 x，则x的取值范围是。
9 、使等式.x 1 x 1 •. x—1g..x—1成立的条件是10、已知...x3 3x2= —x x 3，则( )(A) x< 0 (B) x< — 3 (C) x > — 3 (D)—3< x< 011、若x v y v0，贝U x2 2xy y2+ x2 2xy y2=( )(A) 2x (B) 2y (C)—2x ( D)—2y12、若0v x v 1,贝，(x 1)2 4 —一. (x 1)2 4 等( )V x \ x2 2(A) 2(B)— - (C)—2x (D) 2xx x13、化简----- (a v0)得( )a(A), a (B)— a (C)——・ a (D) .. a3、最简二次根式的化简最简二次根式是特殊的二次根式，他需要满足：（1）被开方数的因数是整数，字母因式是整式；（2）被开方数中不含能开的尽方的因数或因式.那么如何将一个二次根式化为最简二次根式呢？题型一：判断下列是不是最简二次根式:■■■. a2b 2ab2 b3、题型二：不同类型二次根式的化简成最简二次根式一、被开方数是整数或整数的积例 1 化简：（1）.162 ; （2）32 75 .解：(1)原式=-81 2= 92 2 =、92、..2=9'.2 ;(2)原式=16 2 2 5 3 =.42 52 6 = . 42.. 52, 2 = 20 -6.温馨提示：当被开方数是整数或整数的积时，一般是先分解因数，再运用积 的算术平方根的性质进行化简•二、被开方数是数的和差温馨提示：当被开方数是数的和差时，应先求出这个和差的结果再化简 三、被开方数是含字母的整式 例 3 化简：(1) 18x 4y 3 ；( 2) a 2b 2ab 2 b 3 .解：(1)原式32 (x 2)2 y 2 2 y=3x 2y 、2y ； (2)原式=.b(a 2 2ab b 2) = ..b(a b)2 =(a b)、、b . 温馨提示：当被开方数是单项式时，应先把指数大于2的因式化为(a m )2或(a m )2 a 的形式再化简；当被开方数是多项式时，应先把多项式分解因式再化简, 但需注意，被移出根号的因式是多项式的需加括号 •四、被开方数是分式或分式的和差 例4化简：(1),年(2) y xV 8a 2b\ x y解:( 1)原式=¥ 2b =—x =6bx = x 6bx ；V 8a 2b 2b (42a 2b 2 2ab(2)原式=[□!=丿丄牡=丄而TV? • V xy V x y xy温馨提示：当被开方数是分式时，应先把分母化为平方的形式，再运用商的 算术平方根的性质化简；当被开方数是分式的和差时，要先通分，再化简 • 典型练习题： 1 、把二次根式 f (y>0)化为最简二次根式结果是().A .上x ( y>o )B . . (y>0)C .山 (y>0)D .以上都不对.y y2 、化简 ~x 2y 2 = _________ . (x > 0)3 、a 化简二次根式号后的结果是__________ .例2化简：•(；)24、已知xy 0,化简二次根式x ...；-y 的正确结果为4、同类的二次根式1、 以下二次根式：①.12 :②...:③2 :④「27中，与、3是同类二次根 式的是（）•A.①和② B .②和③C .①和④D .③和④2、 在适、1 ,75a 、J 、9a 、，125、2、3、. 0.2、-2 . 1 中，与；3a 是同3 3a\8类二次根式的有 ________3、、-'ab 、— £ a'b 、―讣一是同类二次根式. …（）3xYb4、若最简根式3a b 4a 3b 与根式•一 2ab 2 b 3 6b 2是同类二次根式，求a 、b 的值.5、若最简二次根式2~—与n ^4m 2~10是同类二次根式，求 m n 的值.35、二次根式的非负性1 .若、、厂+、、h=o ,求 a 2004+b 2004 的值.2. 已知.x y 1 + .x 3=0,求 x y 的值.3. 若x y y 2 4y 4 0，求 xy 的值。
4.若 Jx 1 + ____________________________ = 0,则(x — 1)2+ (y +3)2 = .5、已知a b 、c 为正数,d 为负数, 化简ab c 2d 2—4厂c 2d 25. 已知a,b为实数，且、、1 a b 1 -、1 b 0，求a2005b2006的值a a》06、聘a的应用a a v 01. a >0时，、.a2、( a)2、- .O7，比较它们的结果，下面四个选项中正确的是()•A . 、、a2= . ( a)2>- . a2B . a2> ( a)2 >-、、a2C .a2< . ( a)2 <- . a2D . - . a2 > . a2二.(a)22 •先化简再求值：当a=9时，求a+ ..1 2a a2的值，甲乙两人的解答如下：甲的解答为：原式二a+\(r~ar =a+ (1-a) =1 ；乙的解答为：原式=a^. (Ca)2 =a+ (a-1 ) =2a-仁17.两种解答中，_______ 的解答是错误的，错误的原因是___________ .3. 若 | 1995-a | + . a 2000 =a，求a-19952的值.(提示：先由a-2000 >0,判断1995-a?的值是正数还是负数，去掉绝对值)4. 若-3 <x<2 时，试化简 | x-2 | + .. 厂3)2 +「X2—血―25。
5. 化简a*. 的结果是().A . aB . J aC . - aD . - a6. 把(a-1 ) J ——中根号外的(a-1 )移入根号内得().耳a 17、求值问题1. 当x= .15^.7 ,y= 15- . 7 ,求x2-xy+y 2的值2 .已知a=3+^/2，b=3-2 运，贝U a2b-ab2= _________ .3.已知a=、, 3-1,求a3+2a2-a 的值j-乡4 .已知4x2+y2-4x-6y+10=0，求(2^9x +y2) - (x2J丄-5x )的值.3 V x y x5.已知馬迄236，求(.80- , 14) - (, 31 +4 .45 )的值.(结果精确到0.01 )■■ 5 1 5 56. 先化简，再求值.(6x J*jxy3) - (+ J36xy),其中x=| , y=27.7. 当x= J 时，求X 1'x_x+x的值.（结果用最简二次根式v2 1 x 1 J x2 x x 1 J x2 x 表示）（注：设分子分母分别为a、b，求出a+b与a-b）8. 已知x23x 1 0，求、x2；2的值9、已知x = _伞 ,y= 华，求—x3笃—亍的值.（先化简xy,V3 v2 V3 v2 x y 2x y x y再化简分式，求值）10、当x= 1- .2 时,x2a2x x2a22x x2a22 2 2 x x\ x a■ x2a2的值.11、若 x , y 为实数，且 y = Ji 4x +—1 + -.求—2 — - — 2 —2 v y — V y — 的值.8比较大小的问题1、 设 a=. 3、、2，b=2.3 , c= 5 2，则 a b 、c 的大小关系是2、 3、5与2 . 6比较大小。
3、 化简：（7 - 5 盪）2000 • - 7 -5 V2） 2001 =___________ .4、9. 2・、3和3,2的大小关系是（ ）9、二次根式的整数部分、小数部分的问题1、 x , y 分别为8—^6的整数部分和小数部分，贝U 2xy - y 2= ____________ .2、 已知ab 分别是6- 13的整数部分和小数部分,那么2a-b 的值为多少？3、 9.已知11 1的整数部分为a ,小数部分为b ,试求11 a b 1的值。
10、二次根式的化简计算1、当 a v 0，b v 0 时，一a + 2 ab - b 可变形为( (A ) (、a b)2(B ) - ( .a . b)2 (C ) (、a2、（亦罷 J2） B /5 的逅）；35 ________ 4 _______ .4 '11 11 、7 3 •: TA.2、.3f 3.2 B.2、、3p 2 C. 2.33 2 D.不能确定■. b)2 (D ) ( . a . b)2精品文档-ab ... mn + - m)- a2b2m m . na、ab (a*b) •4、精品文档7、 10、6、 -3 8、 )(m>0 n>0)3m 2 3n 2"ax 、y y x x 、_y y x11(a>0)a . ba i ab b i ab b ab。