第十六章 二次根式
知识点：
1、二次根式的概念：形如（a ≥0）的式子叫做二次根式。

“”＝ “”，叫做二次根号，简称根号。

根号下面的整体“a ”叫做被开方数。

2、二次根式有意义的条件：a ≥0； 二次根式没有意义的条件：a 小于0； 例1、 a +1表示二次根式的条件是______。

例2、已知y=2x -+2x -+5，求x y
的值。

例3、若1a ++1b -=0，求a 2004+b 2004的值。

例4、 当x ______时，12--x 有意义，当x ______时，3
1+x 有意义。

例5、若无意义2+x ，则x 的取值范围是______。

例6、（1）当x 是多少时，31x -在实数范围内有意义？
（2）当x 是多少时，
2x 在实数范围内有意义？3x 呢？ 3、二次根式的双重非负性：
≥0；a ≥0 。

例1、 已知＋
＝０，求ｘ，ｙ的值． 例2、 若实数ａ、ｂ满足
＋＝０，则２ｂ－ａ＋１＝＿＿＿．
例3、 已知实ａ满足，求ａ-2010的值．
例４、 在实数范围内，求代数式
的值． 例5、 设等式＝在实数范围内成立，其中ａ、ｘ、ｙ是两两不同的实数，求的值．
例6、已知9966
x x x x --=--，且x 为偶数，求（1+x ）22541x x x -+-的值． 4、二次根式的性质：
(3)
例1、(1) ()25.1=________ (2) ()252 =________
(3) ()2
2.0-=________ (4) 272⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=________ 例2、化简 （1）9=_____ （2）2(4)-=_____ （3）25=_____ (4)2
52⎪⎭⎫ ⎝⎛--=_____ （4）2(3)- =_____ 例3.（1）若2a =a ，则a 可以是什么数？
（2）若2a =-a ，则a 是什么数？
（3）2a >a ，则a 是什么数？
例4.当x>2，化简2(2)x --2(12)x -．
5、积的算术平方根的性质
(a ≥0，b ≥0)即两个非负数的积的算术平方根，等于积中各因式的
算术平方根的积。

，
6、商的算术平方根的性质
(a ≥0，b ＞0) 商的算术平方根，等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根。

例1、计算 （1）57 （2139（3927 （412
6 例2、化简
（1916⨯（21681⨯（3229x y （4）54
例3、判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：（1）(4)(9)49
-⨯-=-⨯-
（2）
12
4
25
×25=4×
12
25
×25=4
12
25
×25=412=83
例4、计算：（1）12
3
（2）
31
28
÷
（3）11
416
÷（4）
a2
8
例5、化简：
（1）3
64
（2）
27
75
（3）
2
9
64
x
y
（4）
2
2
4c
b
a
7、最简二次根式：
如果二次根式的被开方式中都不含分母，并且被开方式中不含有能开得尽方的因式，这样的二次根式称为最简二次根式。

(1)被开方式中不含分母；
(2)被开方式中不含能开得尽方的因数或因式．
例1、已知实数a、b在数轴上的位置如图．
化简：．
例2、化简下列二次根式：
例3、若x为实数，化简下列各式
（1）（2）
例4、已知x、y为实数，且实数m适合关系式
，试确定m的值．。