圆锥曲线的切线、切点弦推论总结归纳1、椭圆切线推论：已知椭圆C 方程22221x y a b+=（a>b>0），C 上一点P （00,y x ），过点P 且与C 相切的切线L 方程为：12020=+byy a x x 。

12222=+by a x'2'2()()1x y +=推导：如图所示，当切线'L 斜率存在且不为0时（即切线L 斜率存在且不为0），设'OP 、'L 的斜率分别为1k ，2k ，0010000y ay b k x bx a-==-，由圆的切线性质易知'OP ⊥'L ，即121k k ⋅=-，∴02101bx k k ay -==-，∴由点斜式易得'L 方程为：''0000()y bx xy x b ay a -=--，又'',x yx y a b ==，∴ 0000()y bx x y x b b ay a a-=--，即为椭圆切线L 方程，化简如下：0000y y bx x x b ay a --=-⋅，000022()()y y y x x x b a --=-，2200002222x x y y x y a b a b +=+，又点P(00,y x )是椭圆上一点，∴2200221x y a b +=，即切线L 方程化简后为：0022x x y ya b+=1；易知当切线L 斜率为0时，P （0,b ±），切线L 方程为：y b =±，满足上式；当切线L 斜率不存在时，P （,0a ±）切线L 方程为：x a =±，也满足上式。

综上，推导完毕。

2、直线与椭圆位置关系判定推论：已知椭圆C 方程12222=+by a x （a>b>0），一直线L 方程为：0Ax By C ++=,则L 与C 相交⇔2222A a B b +>2C ；L 与C 相切⇔2222A a B b +=2C ；L 与C 相离⇔2222A a B b +<2C 。

12222=+by a x '2'2()()1x y +=推导：如图所示，在右图中根据点到直线的距离公式，易求得圆心O （0，0）到直线''':0L Aax Bby C ++= 的 距 离 d ==。

直线L 与椭圆C 相交⇔直线'L 与单位圆相交⇔d =<1⇔2222A a B b +>2C直线L 与椭圆C 相切⇔直线'L 与单位圆相切⇔d ==1⇔2222A a B b +=2C直线L 与椭圆C 相离⇔直线'L 与单位圆相离⇔d =>1⇔2222A a B b +<2C推导完毕。

3、椭圆切点弦推论：已知椭圆C 方程12222=+by a x （a>b>0），C 外一点P （00,y x ），过点P 作与C的切线，切点分别为A ，B ，则切点弦AB 所在直线方程为：12020=+byy a x x12222=+by a x'2'2()()1x y +=推导：如图所示，设椭圆切点1,122(),(,)A x y B x y ，转换后为圆上切点''1122(,(,x y x yA B a b a b。

当直线'OP 斜率存在且不为0，设直线'OP 、''A B 的斜率分别为1k ，2k ，易知'''OP A B ⊥，即121k k ⋅=-，1k =∴02101bx k k ay -==-，又切点弦经过点'11(,x y A a b ''A B 所在直线方程为：''0110()bx y xy x b ay a-=--，又'',x yx y a b==，∴椭圆切点弦AB 所在直线方程为：0110(bx y x y x b b ay a a-=--，化简得：0001012222x x y y x x y y a b a b +=+；又'00(,x y OP a b =，'11(,)x y OA a b =，''0011x y x y OP OA a a b b ⋅=⋅+⋅=010122x x y y a b +；又易知'OA =1，在''AOP Rt ∆中，''''cos OA A OP OP ∠=='1OP ，∴''''''cos OP OA OP OA AOP⋅=⋅⋅∠='1OP ⋅⋅'1OP =1，即''OP OA ⋅=010122x x y y a b +=1。

∴ 0001012222x x y y x x y y a b a b+=+=1。

当直线'OP 斜率1k =0，即'P 在'x 轴上时（即P 在x 轴上，00y =），P 0(,0)x ，转换后'0(,0)x P a，如下左图所示，设切点弦''A B 交'x 轴于点N ，在'AON Rt ∆与''AOP Rt ∆中，易知''''cos ON OA A ONOA OP ∠==，又易知'1OA =，'0x OP a =，故0aON x =，易知''A B ⊥'x 轴，∴圆的切点弦''A B 所在直线方程为：'0a x ON x ==又'xx a =，∴椭圆的切点弦AB 所在直线方程0x a a x =，整理得021x x a =，00y =，∴满足推论；同理，当直线'OP 斜率不存在，即'P 在'y 轴上时（即P 在y 轴上，00x =），0(0,)P y ，转换后'0(0,)y P b，如上右图所示，设切点弦''A B 交'y 轴于点E ，在'AOE Rt ∆与''AOP Rt∆中，易知''''cos OE OA A OE OA OP ∠==，又易知'1OA =，'0y OP b =，故0b OE y =，易知''A B ⊥'y 轴，∴圆的切点弦''A B 所在直线方程为：'0b y OE y ==又'yy b =，∴椭圆的切点弦AB 所在直线方程：0y b b y =，整理得021y y b =，00x =，∴也满足推论。

综上，推导完毕。

4、双曲线切线推论：已知双曲线C 方程221a b-=（a >0，b >0），C 上一点P （00,y x ），过点P且与C 相切的切线L 方程为：00221x x y ya b-=。

22221x y a b-= '2'2()()1x y +=推导：如图所示，当切线'L 斜率存在且不为0时（即切线L 斜率存在且不为0），设'OP 、'L 的斜率分别为1k ，2k ，0010000y ay ib k x ibx a-==-，由圆的切线性质易知'OP ⊥'L ，即121k k ⋅=-，∴02101ibx k k ay -==-，∴由点斜式易得'L 方程为：''0000()y ibx xy x ib ay a-=--，又'',x yx y a ib==，∴双曲线切线L 方程为：000()y ibx x y x ib ib ay a a -=--，化简如下：0000y y ibx x x ib ay a--=-⋅，0000222()()y y y x x x i b a --=-， 220000222222x x y y x y a i b a i b +=+，又21i =-，即2200002222x x y y x y a b a b -=-；P(00,y x )是双曲线上点，∴2200221x y a b -=，即切线L 方程为：0022x x y ya b-=1； 当切线L 斜率不存在时，易知P （,0a ±），即0x a =±，此时切线L 方程为：x a =±，易知满足上式；当切线L 斜率为0，则L 与x 轴重合或平行，此时L 与双曲线C 便有两个交点，不满足相切条件，故切线L 斜率不可能为0；综上，推导完毕。

5、双曲线切点弦推论：已知双曲线C 方程221a b-=（a>0，b>0），C 外一点P （00,y x ），过点P作与C 的两条切线，切点分别为A ，B ，则切点弦AB 所在直线方程为：00221x x y ya b-=22221x y a b-='2'2()()1x y +=推导：如图所示，设双曲线切点1,122(),(,)A x y B x y ，转换后为圆上切点''1122(,),(,x y x y A B a ibaib。

当直线'OP 斜率存在且不为0，设直线'OP 、''A B 的斜率分别为1k ，2k ，易知'''OP A B ⊥，即121k k ⋅=-，1k =，∴02101ibx k k ay -==-，又切点弦经过点'11(,)x y A a ib ''A B 所在直线方程为：''0110()ibx y x y x ib ay a-=--，又'',x yx y a ib ==， ∴双曲线切点弦AB 所在直线方程为：0110()ibx y x y x ib ib ay a a -=--，化简如下：0110ibx y y x x ib ay a--=-⋅， 0101222()()y y y x x x i b a --=-，000101222222x x y y x x y y a i b a i b +=+，21i =-，即0001012222x x y y x x y y a b a b -=-（*），又'00(,x y OP a ib =，'11(,x y OA a ib =，故''0011x y x y OP OA a a ib ib ⋅=⋅+⋅=010122x x y y ab -；易知'OA =1，在''AOP Rt ∆中，''''cos OA A OP OP ∠=='1OP ，''''''cos OP OA OP OA AOP ⋅=⋅⋅∠='1OP ⋅⋅'1OP =1，∴''OP OA ⋅=010122x x y y a b -=1，代入上面（*）式得 00221x x y ya b-=；当直线'OP 斜率1k =0，即'P 在'x 轴上时（即P 在x 轴上，00y =），P 0(,0)x ，转换后'0(,0)x P a，如下左图所示，设切点弦''A B 交'x 轴于点N ，在'AON Rt ∆与''AOP Rt ∆中，易知''''cos ON OA A ONOA OP ∠==，又易知'1OA =，'0x OP a =，故0aON x =，易知''A B ⊥'x 轴，∴圆的切点弦''A B 所在直线方程为：'0ax ON x ==，又'xx a =，∴双曲线的切点弦AB 所在直线方程：0x a a x =，整理得021x x a =，00y =，∴满足推论；同理，当直线'OP 斜率不存在，即'P 在'y 轴上时（即P 在y 轴上，00x =），0(0,)P y ，转换后'0(0,)y P ib，如上右图所示，设切点弦''A B 交'y 轴于点E ，在'AOE Rt ∆与''AOP Rt ∆中，易知''''cos OE OA A OE OA OP ∠==，又易知'1OA =，'0y OP ib =，故0ib OE y =，易知''A B ⊥'y 轴，∴圆的切点弦''A B 所在直线方程为：'0ib y OE y ==又'yy ib =，∴双曲线的切点弦AB 所在直线方程：0y ib ib y =，整理得2021y y i b ==-，00x =，∴00022200(1)1x x y y y ya b b-=-=--=，也满足推论。