第四章 时域有限差分法
在电磁散射计算方法中，有限差分法自上世纪五十 年代以来得到了广泛的应用，该方法概念清晰，方法简 单，直观。虽然其与变分法相结合所形成的有限元法更 有效，但有限差分还是以其固有特点在数值计算中有其 重要地位。
为求解由偏微分方程定解问题所构造的数 学模型，有限差分法是将定解区域（场区）离 散化为网格离散节点的集合。并以各离散点上 函数的差商来近似该点的偏导数，使待求的 偏微分方程定解问题转化为一组相应的差分方 程。根据差分方程组解出各离散点处的待求函 数值—离散解。
频域麦克斯韦方程只适用于正弦稳态时变电磁场
(2)广泛的适用性。 时域有限差分法的直接出发点是概括电 磁场普遍规律的 Maxwell 方程，这就预示着 这一方法具有最广泛的适用性。在网格空间 中媒质的非均匀性、各向异性、色散特性和 非线性等均能很容易地进行精确模拟。任何 问题只要能正确地对源和结构进行模拟，时 域有限差分法就能够给出正确的解答，不管 是散射、辐射、传输、透人或吸收中的哪一 种，也不论是瞬态问题还是稳态问题。
中心差商
（4-5）
df f ( x) f ( x h) f ( x h) （4-6） dx x 2h
在上面三种差商形式中，中心差商的精度最高。
函数 f ( x) 的二阶导数 f ( x) 为
''
d f 1 df df ( ) 2 dx x dx x x dx x 1 f ( x h) f ( x ) f ( x ) f ( x h) h h h f ( x h) 2 f ( x ) f ( x h) 2 h
时域有限差分法的特点
(1)直接时域计算。 时域有限差分法直接把含时间变量的 Maxwell 旋度方程在 Yee 氏网格空间中转换 为差分方程，使电磁波的时域特性被直接反 映出来。这一特点使它能直接给出非常丰富 的电磁场问题的时域信息。如果需要频域信 息，则只需对时域信息ห้องสมุดไป่ตู้行 Fourier 变换。为 获得宽频带的信息，只需在宽频谱的脉冲激 励下进行一次计算。
'
'
故 f ( x) 可表示为差分 f ( x) 除以有限小 差分 x 的商，称为差商。
一阶导数 f ( x) 还可表示为： 向前差商
'
df f ( x) f ( x ) f ( x h) dx x h
向后差商
（4-4）
df f ( x) f ( x h) f ( x ) dx x h
(4-7)
2
u 对偏导数，可仿照上述方法，将 表示为： x u u ( x h, y, z ) u ( x, y, z ) （4-8） x h
同样，二阶偏导数可表示为：
u u ( x h, y, z ) 2u ( x, y, z ) u ( x h, y, z ) 2 2 x h
(3)节约存储空间和计算时间 时域有限差分法所需要的存储空间 直接由所需的网格空间决定，与网格总 数 N 成正比，所需的计算时间也是与网 格总数 N 成正比。相比之下，若离散单 元也是 N，则矩量法所需的存储空间与 2 (3N) 成正比，而所需的 CPU 时间则与 2 3 (3N) 至(3N) 成正比。
§4.1 差分与差商
设函数 f ( x) 的自变量 x 有一小增量 x h ，则
f ( x) 的增量为 f ( x) f ( x h) f ( x) （4-1）
f ( x) 为函数 f ( x) 的一阶差分。当增量 h 足够小，差分
f 与微分 df 之间的差才足够小。
一阶差分 f 是自变量 x 的函数。按式（4-1）计算 f ( x) 的差分 f ( x) 称二阶差分，且
2
2 f ( x) f ( x h) f ( x) （4-2）
函数 f ( x) 的一阶导数 f ( x) 为：
'
df f ( x) f ( x) lim dx x 0 x
'
应用差分，
f ( x) 可表示为 f ( x) f ( x h) f ( x) ' f ( x) (4-3) x h
2
（4-9）
§4.2 Yee 氏网格和 Maxwell 旋度方程的有限差分法
在三维电磁空间， 为了建立差分方程， 首先要将求解空间离散化，通常是以一定 形式的网格来划分求解空间，取空间网格 节点上的未知量作为计算对象，用差分代 替微商，用离散变量的差分方程近似替代 连续变量的微分方程进行求解。
为最大可能地达到隐身效果，F—117A隐形战机采用多面体外形设计。由于雷达探测范围一般在飞机水平 面上下30度的角度内，因此F—117A的大多数表面与垂直面的夹角均大于30度，这样可以把雷达波上下偏转出 去，以避开辐射源。另一方面，F—117A的前后缘被设计得尖锐笔直，机体表面其它边缘设计成与主波束方向 一致，对方雷达接收不到连续的信号，难以确定该飞机是一个实在目标还是一种瞬变噪声。 F—117A隐形战斗轰炸机的全动V型尾翼和机翼均采用菱形翼剖面设计，2台发动机装入机体内部，进气口 采用特殊的复合材料格栅设计，可保证进气口对10长或更长的雷达波的隐身效果。这种格栅进气口同时还具 有向发动机提供均匀气流的优点，从而使F—117A更适应大仰角和侧滑飞行。 F—117A的发动机尾喷口设计采用展向“开缝”式喷口设计，喷口下缘底面阻止红外探测器及雷达从后面 探测到涡轮部件。发动机排出的气流能够与从发动机旁经过的冷空气迅速混合，使排气速下降到66摄氏度， 这样即可以有效地降低发动机的红外辐射特征。这种埋入式发动机设计及特殊的进，排气设计可有效降低发 动机噪声。 F—117A机体材料以铝合金结构为主，整体外表涂满黑色的磁性铁氧体雷达吸波材料，可以有效地吸收高 频率雷达波或低频率雷达波，增强隐形效果。
时域和频域的麦克斯韦方程
时域 频域
H E t H J E t E B 0
E j H H J j E E B 0