x1 A1 sin(t 1 )
x2 A2 sin(t 2 )
（6.14）
[例1] 两个相同的单摆耦合成双单摆。求体系微振动的运动规律。
解：自由度为2，取 1 和 2 为广义坐标，则
T
1 2
ml 2 (212
22
212 )
V
1 2
mgl(2
2 1
2 2
)
（1）
将（1）代入拉格朗日方程得
0 0
（6.10）
或
2
Aj (bij aij 2 ) 0,
j 1
i 1,2
（6.11）
由（6.10）知：A1 A2 0 ，由此得 x1 x2 0 ，对应于体系的平衡状态，
不是 所需要的解。要使（6.10）中的 A1 , A2 有异于零的解，方程的系数行 列式必须为 零，因 a21 a12 , b21 b12 ，得，
x1
x2
A1'(1) sin(1t 1 ) A1'(2) sin(2t
(1) 2
A1'(1)
s in(1 t
1
)
(2) 2
A1'( 2 )
2) s in( 2 t
2
)
（6.13）
式中四个常数 A1'(1) , A1'(2) ,1 ,2 由初始条件 x1 (0), x2 (0), x1 (0), x 2 (0) 决定。 若两个正根相等（正等根）：1 2 ，则通解为
第六章 多自由度体系的微振动
内容： ·振动概述 ·两个自由度保守系的自由振动
难点： ·多自由度的自由振动
·n个自由度保守系的自由振动 ·简正坐标和简正振动 重点： ·两个自由度的自由振动 ·简正坐标 难点： 多自由度的自由振动
振动现象在宏观的工程技术中和微观领域（如固体物理中的晶格、光学 中的分子振动光谱等）中普遍存在。本章讨论多自由度体系微振动的一般 处理方法和微振动在物理上的应用。
6.2 两个自由度保守系的自由振动
（1）拉格朗日方程 设体系的两个广义坐标为 x1、x2 ，则体系的拉格朗日方程为
d
d t
d
d t
T x 1
T x 2
T x1 T x1
V x1 V x2
0 0
（6.1）
对于平衡位置附近的微振动、体系的约束是稳定的，动能必为广义速度的 二次齐次式，即
T
1 2
（2）线性振动概念
凡力学体系在平衡位置附近作微振动（振幅很小），只考虑一级（最低 级）近似时，其运动微分方程为线性方程，这种振动都属于线性振动。
（3）力学体系平衡位置的性质 平衡位置的三种情况：如图6.1所示
（a）稳定平衡 如果在某一位置，保守系的势能有严格的极小值，则此位置是体系的稳 定平衡位置——保守系平衡位置稳定性拉格朗日定理，即
微分方程组。
（2）微分方程的解.频率方程（久期方程）
用常规方法求解。设（6.7）式的解为
x1 x2
A1 A2
s in(t s in(t
) )
将（6.9）式代入（6.7）得
（6.9）
A1 A1
(b11 (b21
a11 a21
2 2
) )
A2 (b12 A2 (b22
a12 2 ) a22 2 )
i
,
2
Aij
j 1
x i
x
j
1 2
(
A11
x 12
2A12 x1 x 2
A22
x
2 2
)
（6.2）
其中 Aij 是广义坐标的函数，且 Aij ( x1 , x2 ) Aiji( x1 , x2 )
势能仅是广义坐标的函数
V V ( x1 , x2 )
为了简化和近似，广义坐标零点取平衡位置上，将 V ( x1 , x2 ) 和T中的 Aij(x1, x2 ) 在平衡位置用泰勒级数展开
0
，
( V xi
)0
0
？
动能T的表式中也只要保留到二级小量，故Aij (x1, x2 )只取零级近似即可。
Aij ( x1 , x2 ) Aij (0,0) aij
T
1 2
2
aij
ij0
x i
x
j
1 2
(a11
x 12
2a12 x1 x 2
a22 x 22 )
式中 aij a ji 也都是常数。
将（6.5）和（6.6）代入（6.1）得 a11 x1 a12 x2 b11 x1b12 x2 0 a21 x1 a22 x2 b21 x1 b22 x2 0
（6.7）
或
2
(aij x j bij x j ) 0
j 1
i 1,2
（6.8）
上式为两个自由度保守系的自由振动微分方程，是一个二阶常系数线性齐 次
21
2
2
g l
1
0
V ( x1 ,
x2 )
V (0,0)
2
(
V
i1 xi
)0
xi
2
i , j1
1 ( 2V 2 xi x j
)0
xi
xj
(**)
（6.3）
Aij ( x1 ,
x2 )
A0 (0,0)
2
(
Aij
i1 xi
)0
xi
...
（6.4）
（6.3）式中的（**）是 x i 三次以上的项。如果保留到最低阶的非零小量，
6.1 振动概述
（1）振动的分类
按体系的能量变化情况可把振动分为自由振动（机械能守恒）、阻尼振 动（机械能不断转化为热能）和强迫振动（不断从外界获得能量）三类， 其运动微分方程是同一种类型的。
按体系的自由度划分，振动分为单自由度振动、有限多自由度振动和无限自由 度振动三类。
按微分方程的类型，振动分为线性振动和非线性振动两类。
dV 0, d 2V 0
dq
dq2
（自由度为1）
（6.1）
V
q1
V q2
0
(q2qV1122Vq20),2
2V q1 2
2V q2 2
2V 0 q2 2
1
(自 由 度 为2)
（b）不稳定平衡
势能在平衡位置取极大值时为不稳定平衡。
（c）随遇平衡 势能在平衡位置为常数时为随遇平衡。
（6.2）
（6.3）式可简化为
V ( x1 , x2 )
1 2 1 ( 2V 2 i, j1 2 x1x2
)0 xi x j

1 2
(b11
x12
2b12 x1 x2
b22
x
2 2
（6.5）
式中
bij
( 2V xi x j
)0
bji
，是常数。
思考：（6.3）式中为何可略去（**）项和取
V0
(0,0)
b11 a11 2 b12 a12 2 b12 a12 2 b22 a22 2 (b11 a11 2 )(b22 a22 2 ) (b12 a12 2 )2 0
（6.12）
（方程6.12）称为频率方程（或久期方程）。可以证明它恒有两个正的实根。
设
为12和 22，根据线性方程的原理，经过计算得方程（6.7）的通解为