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中考数学专题复习二次函数的综合题含答案

(3)先表示出DM2,BD2,MB2,再分两种情况:①∠BMD=90°时;②∠BDM=90°时,讨论即可求得m的值.
【详解】
解:(1)令y=0,则 ,
∵m<0,∴ ,解得: , .
∴A( ,0)、B(3,0).
(2)存在.理由如下:
∵设抛物线C1的表达式为 ( ),
把C(0, )代入可得, .
∴C1的表达式为: ,即 .
(2)判断△CDB的形状并说明理由;
(3)将△COB沿x轴向右平移t个单位长度(0<t<3)得到△QPE.△QPE与△CDB重叠部分(如图中阴影部分)面积为S,求S与t的函数关系式,并写出自变量t的取值范围.
【答案】(Ⅰ)B(3,0);C(0,3);(Ⅱ) 为直角三角形;(Ⅲ) .
【解析】
【分析】
(1)首先用待定系数法求出抛物线的解析式,然后进一步确定点B,C的坐标.
解得: , (舍去).
当∠BDM=90°时,BD2+ DM2= BM2,即 + = ,
解得: , (舍去).
综上所述, 或 时,△BDM为直角三角形.
4.如图,抛物线y=﹣(x﹣1)2+c与x轴交于A,B(A,B分别在y轴的左右两侧)两点,与y轴的正半轴交于点C,顶点为D,已知A(﹣1,0).
(1)求点B,C的坐标;
又∵BE=CE,OE=OE,
∴△OBE≌△OCE(SSS),
∴∠BOE=∠COE,
∴点E在第四象限的角平分线上,
设E点坐标为(m,﹣m),将E(m,﹣m)代入y=x2﹣2x﹣3,
得m=m2﹣2m﹣3,解得m= ,
∵点E在第四象限,
∴E点坐标为( ,﹣ );
(3)过点Q作AC的平行线交x轴于点F,连接CF,则S△ACQ=S△ACF.
设P(p, ),
∴ S△PBC= S△POC+ S△BOP–S△BOC= .
∵ <0,∴当 时, S△PBC最大值为 .
(3)由C2可知:B(3,0),D(0, ),M(1, ),
∴BD2= ,BM2= ,DM2= .
∵∠MBD<90°, ∴讨论∠BMD=90°和∠BDM=90°两种情况:
当∠BMD=90°时,BM2+ DM2= BD2,即 + = ,
设 分别与 交于点 、点 .
∵ ,
∴ , .
直线 解析式为 ,令 ,得 ,
∴ .
.
综上所述, 与 的函数关系式为: .
5.在平面直角坐标系中,抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A、B、C,已知A(﹣1,0),C(0,3).
(1)求抛物线的解析式;
(2)如图1,P为线段BC上一点,过点P作y轴的平行线,交抛物线于点D,当△CDP为等腰三角形时,求点P的坐标;
取CM的中点Q( , ),
∵∠MNC=90°,
∴NQ= CM,
∴4NQ2=CM2,
∵NQ2=(1﹣ )2+(n﹣ )2,
∴4[(1﹣ )2+(n﹣ )2]=m2+9,
整理得,m=(n﹣ )2﹣ ,
∵0≤n≤4,
当n= 时,m最小值=﹣ ,n=4时,m=5,
综上,m的取值范围为:﹣ ≤m≤5.
【点睛】
(3)如图2,抛物线的顶点为E,EF⊥x轴于点F,N是线段EF上一动点,M(m,0)是x轴一个动点,若∠MNC=90°,请求出m的取值范围.
【答案】(1)y=﹣x2+2x+3;(2)点P的坐标为(1,2)或(2,1)或(3﹣ );(3)
【解析】
【分析】
(1)利用待定系数法即可求得此抛物线的解析式;
(2)由待定系数法即可求得直线BC的解析式,再设P(t,3﹣t),即可得D(t,﹣t2+2t+3),即可求得PD的长,然后分三种情况讨论,求点P的坐标;
(2)连接BE、OE.根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出BE= CD=CE.利用SSS证明△OBE≌△OCE,得出∠BOE=∠COE,即点E在第四象限的角平分线上,设E点坐标为(m,﹣m),代入y=x2﹣2x﹣3,求出m的值,即可得到E点坐标;
(3)过点Q作AC的平行线交x轴于点F,连接CF,根据三角形的面积公式可得S△ACQ=S△ACF.由S△ACQ=2S△AOC,得出S△ACF=2S△AOC,那么AF=2OA=2,F(1,0).利用待定系数法求出直线AC的解析式为y=﹣3x﹣3.根据AC∥FQ,可设直线FQ的解析式为y=﹣3x+b,将F(1,0)代入,利用待定系数法求出直线FQ的解析式为y=﹣3x+3,把它与抛物线的解析式联立,得出方程组 ,求解即可得出点Q的坐标.
解得x=0或x=2,
此时P(2,1);
当PC=PD时,∵PC= t,
∴ t=﹣t2+3t,
解得t=0或t=3﹣ ,
此时P(3﹣ , );
综上,当△CDP为等腰三角形时,点P的坐标为(1,2)或(2,1)或(3﹣ , )
(3)如图2,由(1)y=﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4,
∴E(1,4),
设N(1,n),则0≤n≤4,
解得 , ,
∴点Q的坐标为(﹣3,12)或(2,﹣3).
【点睛】
本题是二次函数综合题,其中涉及到一元二次方程根与系数的关系,求二次函数的解析式,直角三角形的性质,全等三角形的判定与性质,二次函数图象上点的坐标特征,三角形的面积,一次函数图象与几何变换,待定系数法求直线的解析式,抛物线与直线交点坐标的求法,综合性较强,难度适中.利用数形结合与方程思想是解题的关键.
∵PD∥y轴,
∴∠CPD=∠OCB=45°,
∴∠CDP=45°,
∴∠PCD=90°,
∴直线CD的解析式为y=x+3,
解 得 或
∴D(1,4),
此时P(1,2);
当CD=PD时,则∠DCP=∠CPD=45°,
∴∠CDP=90°,
∴CD∥x轴,
∴D点的纵坐标为3,
代入y=﹣x2+2x+3得,3=﹣x2+2x+3,
∵OA<OB,
∴抛物线的对称轴在y轴右侧,
∴m=2,
∴抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3;
(2)连接BE、OE.
∵在Rt△BCD中,∠CBD=90°,EC=ED,
∴BE= CD=CE.
令y=x2﹣2x﹣3=0,解得x1=﹣1,x2=3,
∴A(﹣1,0),B(3,0),
∵C(0,﹣3),
∴OB=OC,
3.如图,在平面直角坐标系 中,A、B为x轴上两点,C、D为y轴上的两点,经
过点A、C、B的抛物线的一部分C1与经过点A、D、B的抛物线的一部分C2组合成一条封闭曲线,我们把这条封
闭曲线称为“蛋线”.已知点C的坐标为(0, ),点M是抛物线C2: ( <0)的顶点.
(1)求A、B两点的坐标;
(2)“蛋线”在第四象限上是否存在一点P,使得△PBC的面积最大?若存在,求出△PBC面积的最大值;若不存在,请说明理由;
2.如图所示,抛物线 的顶点为 ,与 轴交于 、 两点,且 ,与 轴交于点 .
求抛物线的函数解析式;
求 的面积;
能否在抛物线第三象限的图象上找到一点 ,使 的面积最大?若能,请求出点 的坐标;若不能,请说明理由.
【答案】 ; ; 点 的坐标是 .
【解析】
【分析】
(1)设顶点式并代入已知点 即可;
(2)令y=0,求出A、B和C点坐标,,∴ .
(Ⅱ) 为直角三角形.理由如下:
由抛物线解析式,得顶点 的坐标为 .
如答图1所示,过点 作 轴于点M,
则 , , .
过点 作 于点 ,则 , .
在 中,由勾股定理得: ;
在 中,由勾股定理得: ;
在 中,由勾股定理得: .
∵ ,
∴ 为直角三角形.
(Ⅲ)设直线 的解析式为 ,
(3)在抛物线上是否存在点Q,使得S△ACQ=2S△AOC?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,说明理由.
【答案】(1)y=x2﹣2x﹣3;(2)E点坐标为( ,﹣ );(3)点Q的坐标为(﹣3,12)或(2,﹣3).理由见解析.
【解析】
【分析】
(1)由根与系数的关系可得x1+x2=m,x1•x2=﹣(m+1),代入x12+x22﹣x1x2=13,求出m1=2,m2=﹣5.根据OA<OB,得出抛物线的对称轴在y轴右侧,那么m=2,即可确定抛物线的解析式;
一、二次函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题)
1.如图,抛物线y=x2﹣mx﹣(m+1)与x轴负半轴交于点A(x1,0),与x轴正半轴交于点B(x2,0)(OA<OB),与y轴交于点C,且满足x12+x22﹣x1x2=13.
(1)求抛物线的解析式;
(2)以点B为直角顶点,BC为直角边作Rt△BCD,CD交抛物线于第四象限的点E,若EC=ED,求点E的坐标;
∵ ,
∴ ,
解得 ,
∴ ,
直线 是直线 向右平移 个单位得到,
∴直线 的解析式为: ;
设直线 的解析式为 ,
∵ ,
∴ ,解得: ,
∴ .
连续 并延长,射线 交 交于 ,则 .
在 向右平移的过程中:
(1)当 时,如答图2所示:
设 与 交于点 ,可得 , .
设 与 的交点为 ,则: .
解得 ,
∴ .
.
(2)当 时,如答图3所示:
解得 , ,
∴点 的坐标是 ,
则 ;
假设存在这样的点,过点 作 轴于点 ,交 于点 .
设 ,则 ,
设直线 的解析式为 ,
∵直线 过点 , ,
∴ ,
解得 ,
∴直线 的解析式为 ,
∴点 的坐标为 ,
则 ,
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