吉林省榆树市第一高级中学2019-2020学年高一数学上学期尖子生第二次考试试题 理总分150分 时间120分 一、选择题（本题共12个小题，每题5分，共60分）1.已知集合2{|4}A x x x =<，{|25}B x x =<<，则A B =U ( ) A.{|02}x x <<B.{|45}x x <<C.{|24}x x <<D.{|05}x x <<2.已知函数2()2(21)Z f x x x x x =+-≤≤∈且，则()f x 的值域是（ ） A ．[0,3]B ．{}1,0,3-C ．{}0,1,3D ．[1,3]-3.若向量(1,2),(3,4)AB BC ==u u u r u u u r,则AC =u u u r （ ）A. ()4,6B. ()4,6--C. (2,2)--D. ()2,24.已知tan 3α=,则222sin 2cos sin cos sin ααααα+=+( ). A.38 B.916 C.1112D.795.若将函数1()cos22f x x =的图像向左平移π6个单位长度,则平移后图像的一个对称中心可以为( )A. π ,012⎛⎫ ⎪⎝⎭B. π,06⎛⎫ ⎪⎝⎭C. π,03⎛⎫ ⎪⎝⎭D. π,02⎛⎫⎪⎝⎭6.设R m ∈,向量(1,2),(,2)a b m m =-=-r r若a b ⊥r r ,则m 等于（ ） A ．23- B ．23 C ．4- D ．47.将函数πsin 3y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再将所得的图象向左平移π3个单位,得到的图象对应的解析式是( ) A. 1sin 2y x =B. 1πsin 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C. 1πsin 22y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭D. πsin 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭8.函数()()2ln 28f x x x =--的单调递增区间是（ ）A.(),2-∞-B.(1),-∞C.(1,)+∞D.(4,)+∞9.函数2sin 2x y x =的图象可能是( )A.B.C. D.10.如果角θ满足sin cos 2θθ+=那么1tan tan θθ+的值是( ) A.-1B.-2C.1D.211.对于幂函数()45f x x =,若120x x <<,则()()1212,22f x f x x x f ++⎛⎫ ⎪⎝⎭的大小关系是( )A. ()()121222f x f x x x f ++⎛⎫>⎪⎝⎭B. ()()121222f x f x x x f ++⎛⎫<⎪⎝⎭C. ()()121222f x f x x x f ++⎛⎫=⎪⎝⎭D.无法确定12.已知偶函数()f x 在区间[0,)+∞上单调递增,则满足(21)(1)f x f -<的x 取值范围是( ) A.(1,0)-B.(0,1)C.(1,2)D.(1,1)-二、填空题（本题共4个小题，每个小题5分，共20分）13.若关于x 的方程245x x m -+=有4个互不相等的实数根,则实数m 的取值范围是______. 14.平面内有三点(0,3),(3,3),(,1)A B C x --，且//AB AC u u u r u u u r，则x 为______．15.将函数sin y x =的图象上所有的点向右平行移动10π个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图象的函数解析式是______________. 16.已知5122x x -⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，则函数241y x x =-+的值域为______.三、解答题（本题共6个题，共70分） 17.（本题满分12分）已知向量()3,2a r=，),3(1b r =－，()5,2c r =． (1)求62a b c r r r ＋－； (2)求满足a mb nc r r r＝＋的实数m ，n ；(3)若//()(2)a kc b a r r r r ＋－，求实数k .18.（本题满分12分）已知三个点()()()2,1,3,2,1,4A B D -.1.求证: AB AD ⊥u u u r u u u r;2.要使四边形ABCD 为矩形,求点C 的坐标,并求矩形ABCD 两对角线所夹锐角的余值。

19. （本题满分12分） 函数()3(2)6f x sin x π=+的部分图象如图所示1. 写出f ()x 的最小正周期及图中00,x y 的值;2.求f ()x 在区间[,]212ππ--上的最大值和最小值. 20.（本题满分12分） 设()121 log 1axf x x -=-为奇函数, a 为常数. 1.求a 的值; 2.判断函数()f x 在区间()1,+∞上的单调性并证明. 21.（本题满分12分）已知函数3sin cos tan(2)22()tan()sin()f ααααααππ⎛⎫⎛⎫-+π- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+π+π. (1)化简()f α;(2)若1()28f f ααπ⎛⎫⋅+=- ⎪⎝⎭,且5342αππ≤≤,求()2f f ααπ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的值;(3)若2()2f f ααπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,求()2f f ααπ⎛⎫⋅+ ⎪⎝⎭的值.22.（本题满分10分）已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2)，且当x >1时，f (x )<0．①求f (1)的值；②证明：f (x )为单调递减函数；③若f (3)＝－1，求f (x )在[2，9]上的最小值．（理科试卷参考答案） 一、选择题 1.答案：D 解析： 2.答案：B解析：由已知得函数()22f x x x =+的定义域为{}2,1,0,1--, 则()()()20,11,00f f f -=-=-=,()13f =, 所以函数的值域为{}1,0,3-. 故正确答案为B 3.答案：A解析：∵(1,2)(3,4)(4,6)AC AB BC =+=+=u u u r u u u r u u u r,故选A.4.答案：C 解析：因为tan 3α=，所以2cos 0α≠，于是有2222222222sin 2cos sin 2cos 211sin cos sin sin cos sin tan tan 1tan cos cos 2ααααααααααααααα+++===+++，故本题选C.5.答案：A 解析：向左平移π6个单位长度后得到1πcos 223y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像,则其对称中心为ππ,0()122k k Z ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭;或将选项进行逐个验证. 6.答案：D解析：本题主要考查平面向量基本定理及坐标表示. 因为a b ⊥r r ， 所以0a b ⋅=r r，所以1(2)(2)0m m ⨯+-⨯-=， 解得4m =. 7.答案：B解析：依题意得,最后得到的曲线相应的解析式是1ππ1πsin sin 23326y x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦,故选B8.答案：D解析：由2280x x -->，得2x <-或4x >因此，函数()()2ln 28f x x x =--的定义域是(),24,()⋃-∞-+∞.注意到函数228y x x =--在(4,)+∞上单调递增，由复合函数的单调性知，()()2ln 28f x x x =--的单调递增区间是(4,)+∞，选D.9.答案：D解析：令()2sin 2x f x x =，因为,()2sin 2()2sin 2()x x x R f x x x f x -∈-=-=-=-，所以()2sin 2x f x x =为奇函数，排除选项A,B;因为π(,π)2x ∈时，()0f x <，所以排除选项C ，选D.10.答案：D解析：∵sin cos θθ+=∴12sin cos 2θθ+=, 即1sin cos 2θθ=, 那么1sin cos 1tan 2tan cos sin sin cos θθθθθθθθ+=+==. 11.答案：A解析：幂函数()45f x x=在()0,+∞上是增函数,大致图像如图所示,设()()12,0,,0A x C x ,其中120x x <<,则AC 的中点E 的坐标为()()121212,0,,,22x x x x AB f x CD f x EF f ++⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∵()12EF AB CD >+∴()()121222f x f x x x f ++⎛⎫> ⎪⎝⎭故选A12.答案：B 解析：根据题意,由函数的奇偶性分析可得f(2x-1)<f(1)⇒f(|2x-1|)<f(1),进而结合单调性分析可得|2x-1|<1,解可得x 的取值范围,即可得答案.解:根据题意,f(x)为偶函数,则f(2x-1)<f(1)⇒f(|2x-1|)<f(1),又由函数在区间[0,+∞)上单调递增, 则f(|2x-1|)<f(1)⇒|2x-1|<1, 解可得:0<x<1, 故选:B. 二、填空题 13.答案：(1,5)解析：令()245f x x x =-+，作出函数()f x 的图象，如图所示.当15m <<时，满足条件.14.答案：1 解析：15.答案：sin 210x y π⎛⎫=- ⎪⎝⎭解析：∵向右平移10π个单位, ∴用10x π-代替sin y x =中的x ;∵各点横坐标伸长到原来的2倍, ∴用12x 代替sin 10y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭中的x , ∴sin 210x y π⎛⎫=-⎪⎝⎭. 16.答案：11,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭解析：依题意，5122X X -⎛⎫≤ ⎪⎝⎭∴522x x -≤∴5x x -≤∴52x ≥ ()224123y x x x =-+=--其图象的对称轴为2x =，当52x ≥时，函数单调递增 当52x =时，114y =- ∴114y ≥-，即函数的值域为11,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭即答案为：11,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭解析：三、解答题17.答案：（1）()()3263,(21,325,2)a b c r r r＋－＝＋－－()()()18,121,310,471(,1)＝＋－－＝ （2）∵a mb nc r r r ＝＋，∴()()3,21,35,2)(),(532m n m n m n ＝－＋＝－＋＋． ∴53,322,m n m n -+=⎧⎨+=⎩解得4,1711.17m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（3）∵()()()//235,2225,4()a kc b a a kc k k b a r r r r r r r r ＋－，＋＝＋＋，－＝－． ∴4355()()()220k k ⨯⨯＋－－＋＝ ∴1115k =-. 解析：18.答案：1. ()()1,1,3,3AB AD ==-u u u r u u u r1(3)130AB AD ⋅=⨯-+⨯=u u u r u u u r∴AB u u u r ⊥AD u u u r2.设(),C x y ,()1,4DC x y =+-u u u r,由DC AB =u u u r u u u r ,得0,5?x y ==∴() 0,5C设矩形ABCD 两对角线AC ,BD 所夹锐角为θ(2,4)AC =-u u u r ,(4,2)BD =-u u u rAC =u u ur BD =u u u r164cos 205AC BD AC BDθ⋅===⋅u u u r u u u ru u u r u u u r 解析：19.答案：1.f(x)的最小正周期为T=22ππ=,007,36x y π== 2.因为x ∈[,]212ππ--,所以2x+6π∈5[,0]6π-,于是当2x+6π=0,即x=3π-时,f(x)取得最大值0; 当2x+6π=2π-,即x=3π-时,f(x)取得最小值3-.解析：20.答案：1.因为函数()121log 1axf x x -=-是奇函数,∴()()f x f x -=-, ∴111222111log log log 111ax ax x x x ax +--=-=----, ∴1111ax x x ax+-=---,即()()()()1111ax ax x x +-=-+-。