空间向量与立体几何典型例题一、选择题：1．(2008全国Ⅰ卷理)已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 内的射影为ABC △的中心，则1AB 与底面ABC 所成角的正弦值等于（ C ）A ．13B．3 C．3 D ．231.解：C ．由题意知三棱锥1A ABC -为正四面体，设棱长为a，则1AB =，棱柱的高13AO a ===（即点1B 到底面ABC 的距离），故1AB 与底面ABC所成角的正弦值为11AO AB =另解：设1,,AB AC AA 为空间向量的一组基底，1,,AB AC AA 的两两间的夹角为060 长度均为a ，平面ABC 的法向量为111133OA AA AB AC =--,11AB AB AA =+ 2111126,,333OA AB a OA AB ⋅=== 则1AB 与底面ABC 所成角的正弦值为111123OA AB AO AB ⋅=.二、填空题：1．(2008全国Ⅰ卷理)等边三角形ABC 与正方形ABDE 有一公共边AB ，二面角C ABD --M N ，分别是AC BC ，的中点，则EM AN ，所成角的余弦值等于 61． 1.答案：16.设2AB =，作CO ABDE ⊥面，OH AB ⊥，则CH AB ⊥，CHO ∠为二面角C AB D --cos 1CH OH CH CHO ==⋅∠=，结合等边三角形ABC 与正方形ABDE 可知此四棱锥为正四棱锥，则AN EM ==11(),22AN AC AB EM AC AE =+=-,11()()22AN EM AB AC AC AE ⋅=+⋅-=12故EM AN ，所成角的余弦值16AN EM AN EM ⋅= 另解：以O 为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系， 则点(1,1,0),(1,1,0),(1,1,0),A B E C ----,1111(,,(,,)222222M N ---,则3121321(,,),(,,),,32222222AN EM AN EM AN EM ==-⋅===, 故EM AN ，所成角的余弦值16AN EM AN EM ⋅=.三、解答题： 1．（2008安徽文）如图，在四棱锥O ABCD -中，底面ABCD 四边长为1的 菱形，4ABC π∠=, OA ABCD ⊥底面, 2OA =,M 为OA 的中点。

（Ⅰ）求异面直线AB 与MD 所成角的大小； （Ⅱ）求点B 到平面OCD 的距离。

1．方法一（综合法）（1）CD ‖AB,MDC ∠∴为异面直线AB 与MD 所成的角（或其补角） 作,AP CD P ⊥于连接MP ⊥⊥平面A B C D ，∵OA ∴CD MP ,42ADP π∠=∵∴DP =MD ==∵ 1cos ,23DP MDP MDC MDP MD π∠==∠=∠=∴所以 AB 与MD 所成角的大小为3π（２）AB 平面∵∴‖OCD,点A 和点B 到平面OCD的距离相等，连接OP,过点A 作AQ OP ⊥于点Q ，,,,AP CD OA CD CD OAP ⊥⊥⊥平面∵∴ ,AQ OAP AQ CD ⊂⊥平面∵∴又 ,AQ OP AQ OCD ⊥⊥平面∵∴,线段AQ 的长就是点A 到平面OCD 的距离2OP ====∵，2AP DP ==2222332OA AP AQ OP ===∴，所以点B 到平面OCD 的距离为23方法二(向量法)作AP CD ⊥于点P,如图,分别以AB,AP,AO 轴建立坐标系(0,0,0),(1,0,0),((0,0,2),(0,A B P D O M(1)设AB 与MD 所成的角为θ,(1,0,0),(1)22AB MD ==--∵ 1cos ,23AB MDAB MD πθθ===⋅∴∴ ,∴AB 与MD 所成角的大小为3π (2) 22(0,,2),(2)OPOD =-=--∵ ∴设平面OCD 的法向量为(,,)n x y z =,则0,0n OP n OD ==即2020y z x y z -=⎨⎪+-=⎪⎩取z =解得(0,n =设点B 到平面OCD 的距离为d ,则d 为OB 在向量(0,n =上的投影的绝对值, (1,0,2)OB =-∵, 23OB n d n⋅==∴. 所以点B 到平面OCD 的距离为232．（2008安徽理）如图，在四棱锥O ABCD -中，底面ABCD 四边长为1的菱形，4ABC π∠=, OA ABCD ⊥底面, 2OA =,M 为OA 的中点，N 为BC 的中点。

（Ⅰ）证明：直线MN OCD 平面‖；（Ⅱ）求异面直线AB 与MD 所成角的大小； （Ⅲ）求点B 到平面OCD 的距离。

2． 方法一（综合法）（1）取OB 中点E ，连接ME ，NEME CD ME CD ∴，‖AB,AB ‖‖又,NE OC MNE OCD ∴平面平面‖‖MN OCD ∴平面‖ （2）CD ‖AB,MDC ∠∴为异面直线AB 与MD 所成的角（或其补角）作,AP CD P ⊥于连接MP ⊥⊥平面A B C D ，∵OA ∴CD MP ,4ADP π∠=∵∴DP =MD ==NB1cos ,23DP MDP MDC MDP MD π∠==∠=∠=∴ 所以 AB 与MD 所成角的大小为3π（3）AB 平面∵∴‖OCD,点A 和点B 到平面OCD 的距离相等，连接OP,过点A 作 AQ OP ⊥ 于点Q ，,,,AP CD OA CD CD OAP AQ CD ⊥⊥⊥⊥平面∵∴∴ 又 ,AQ OP AQ OCD ⊥⊥平面∵∴,线段AQ 的长就是点A 到平面OCD 的距离2OP ====∵，2AP DP ==2222332OA AP AQ OP ===∴，所以点B 到平面OCD 的距离为23方法二(向量法)作AP CD ⊥于点P,如图,分别以AB,AP,AO 所在直线为,,x y z 轴建立坐标系(0,0,0),(1,0,0),(0,(,0),(0,0,2),(0,0,1),(1,0)22244A B P D O MN --,(1)2222(1,,1),(0,,2),(2)44222MN OP OD =--=-=-- 设平面OCD 的法向量为(,,)n x yz =,则0,n OP n =即2022022y z x y z -=⎪⎪⎨⎪-+-=⎪⎩取z =解得(0,n =22(1,,1)(0,4,2)0MN n =--=∵ MN OCD ∴平面‖ (2)设AB 与MD 所成的角为θ,(1,0,0),(1)22AB MD ==--∵ 1cos ,23AB MDAB MD πθθ===⋅∴∴ , AB 与MD 所成角的大小为3π(3)设点B 到平面OCD 的交流为d ,则d 为OB 在向量(0,n =上的投影的绝对值, 由 (1,0,2)OB =-, 得23OB n d n⋅==.所以点B 到平面OCD 的距离为233．（2008北京文）如图，在三棱锥P -ABC 中，AC =BC =2，∠ACB =90°，AP =BP =AB ，PC⊥AC .（Ⅰ）求证：PC ⊥AB ；（Ⅱ）求二面角B -AP -C 的大小.3．解法一：（Ⅰ）取AB 中点D ，连结PD ，CD . ∵AP =BP ， ∴PD ⊥AB . ∵AC =BC . ∴CD ⊥AB . ∵PD ∩CD ＝D . ∴AB ⊥平面PCD . ∵PC ⊂平面PCD ， ∴PC ⊥AB .（Ⅱ）∵AC =BC ,AP =BP , ∴△APC ≌△BPC . 又PC ⊥AC ， ∴PC ⊥BC.又∠ACB ＝90°，即AC ⊥BC ， 且AC ∩PC =C ， ∴AB ＝BP ， ∴BE ⊥AP .∵EC 是BE 在平面P AC 内的射影， ∴CE ⊥AP .∴∠BEC 是二面角B -AP-C 的平面角. 在△BCE 中，∠BCE =90°,BC=2,BE =623=AB ， ∴sin ∠BEC =.36=BE BC ∴二面角B -AP -C 的大小为aresin.36解法二：（Ⅰ）∵AC =BC ,AP =BP , ∴△APC ≌△BPC . 又PC ⊥AC . ∴PC ⊥BC. ∵AC ∩BC =C , ∴PC ⊥平面ABC . ∵AB ⊂平面ABC ， ∴PC ⊥AB .(Ⅱ)如图，以C 为原点建立空间直角坐标系C-xyz. 则C （0，0，0），A （0，2，0），B （2，0，0）. 设P （0，0，t ）,∵｜PB ｜=｜AB ｜＝22， ∴t =2,P (0,0,2).取AP 中点E ，连结BE ，CE .∵｜AC ｜=｜PC ｜,｜AB ｜=｜BP ｜, ∴CE ⊥AP ,BE ⊥AP .∴∠BEC 是二面角B-AP -C 的平面角. ∵E (0,1,1),),1,1,2(),1,1,0(--=--= ∴cos ∠BEC.33622=⋅=∴二面角B-AP-C 的大小为arccos.33 4．（2008北京理）如图，在三棱锥P ABC -中，2AC BC ==，90ACB ∠=，AP BP AB ==，PC AC ⊥．（Ⅰ）求证：PC AB ⊥；（Ⅱ）求二面角B AP C --的大小； （Ⅲ）求点C 到平面APB 的距离．4．解法一：（Ⅰ）取AB 中点D ，连结PD CD ，．AP BP =， PD AB ∴⊥． AC BC =， CD AB ∴⊥． PD CD D =， AB ∴⊥平面PCD ． PC ⊂平面PCD ， PC AB ∴⊥．（Ⅱ）AC BC =，AP BP =， APC BPC ∴△≌△． 又PC AC ⊥， PC BC∴⊥． 又90ACB ∠=，即AC BC ⊥，且AC PC C =，BC ∴⊥平面PAC ．取AP 中点E ．连结BE CE ，． AB BP =，BE AP ∴⊥．EC 是BE 在平面PAC 内的射影， CE AP ∴⊥．BEC ∴∠是二面角B AP C --的平面角． 在BCE △中，90BCE ∠=，2BC =，2BE AB ==sin 3BC BEC BE ∴∠==． ∴二面角B AP C --的大小为arcsin3． （Ⅲ）由（Ⅰ）知AB ⊥平面PCD ， ∴平面APB ⊥平面PCD ．过C 作CH PD ⊥，垂足为H ． 平面APB 平面PCD PD =， CH ∴⊥平面APB ．CH ∴的长即为点C 到平面APB 的距离．AB D PABEP ABDPH由（Ⅰ）知PC AB ⊥，又PC AC ⊥，且AB AC A =，PC ∴⊥平面ABC ． CD ⊂平面ABC ， PC CD ∴⊥． 在Rt PCD △中，12CD AB ==PD PB ==2PC ∴==． 23PC CD CH PD ∴==．∴点C 到平面APB ．解法二：（Ⅰ）AC BC =，AP BP =， APC BPC ∴△≌△． 又PC AC ⊥， PC BC ∴⊥． AC BC C =， PC ∴⊥平面ABC ． AB ⊂平面ABC ， PC AB ∴⊥．（Ⅱ）如图，以C 为原点建立空间直角坐标系C xyz -． 则(000)(020)(200)C A B ，，，，，，，，． 设(00)P t，，．PB AB ==，2t ∴=，(002)P ，，． 取AP 中点E ，连结BE CE ，． AC PC =，AB BP =， CE AP ∴⊥，BE AP ⊥．BEC ∴∠是二面角B AP C --的平面角．(011)E ，，，(011)EC =--，，，(211)EB =--，，， 3cos 26EC EB BEC EC EB∴∠===． ∴二面角B AP C --的大小为． （Ⅲ）AC BC PC ==，C ∴在平面APB 内的射影为正APB △的中心H ，且CH 的长为点C 到平面APB 的距离． 如（Ⅱ）建立空间直角坐标系C xyz -．2BH HE =，∴点H 的坐标为222333⎛⎫⎪⎝⎭，，．233CH ∴=．∴点C 到平面APB的距离为3．5． (2008福建文) 如图，在四棱锥中，侧面PAD ⊥底面ABCD,侧棱,底面ABCDy为直角梯形，其中BC ∥AD,AB ⊥CD,AD=2AB=2BC=2,O 为AD 中点。