高二数学空间向量苏教版（文）【本讲教育信息】一. 教学内容：空间向量二. 本周教学目标：1. 运用类比的方法，经历向量及运算由平面向空间推广的过程。

2. 了解空间向量的概念，掌握空间向量的线性运算及其性质.理解空间向量共线的条件。

3. 了解向量共面的含义，理解共面向量定理，能运用共面向量定理证明有关线面平行和点共面的简单问题。

4. 掌握空间向量基本定理及推论，理解空间任意一个向量可以用不共面的三个已知向量线性表示，而且这种表示是唯一的。

5. 能用坐标表示空间向量，掌握空间向量的坐标运算，会根据向量的坐标判断两个空间向量的平行。

6. 掌握空间向量夹角的概念，掌握空间向量的数量积的概念、性质和运算率。

了解空间向量的几何意义;掌握空间向量数量积的坐标形式，会用向量的方法解决有关垂直、夹角和距离的简单问题。

三. 本周知识要点。

1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。

注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。

（2）空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示。

2. 空间向量的运算。

定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。

OB OA AB a b =+=+u u u r u u u r u u u r v r ;BA OA OB a b =-=-u u u r u u u r u u u r r r ;()OP a R λλ=∈u u u r r运算律：⑴加法交换律：a b b a ϖϖϖρ+=+ ⑵加法结合律：)()(c b a c b a ϖϖϖϖρϖ++=++⑶数乘分配律：b a b a ϖϖϖϖλλλ+=+)(3. 共线向量。

（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，a ρ平行于b ρ，记作b a ρϖ//。

当我们说向量a ρ、b ρ共线（或a ρ//b ρ）时，表示a ρ、b ρ的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线。

（2）共线向量定理：空间任意两个向量a ρ、b ρ（b ρ≠0ρ），a ρ//b ρ存在实数λ，使a ρ＝λb ρ。

4. 共面向量（1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。

说明：空间任意的两向量都是共面的。

（2）共面向量定理：如果两个向量,a b r r 不共线，p r与向量,a b r r 共面的条件是存在实数,x y 使p xa yb =+r r r。

5. 空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c r r r 不共面，那么对空间任一向量p r，存在一个唯一的有序实数组,,x y z ，使p xa yb zc =++r r r r。

若三向量,,a b c r r r不共面，我们把{,,}a b c r r r 叫做空间的一个基底，,,a b c r r r 叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。

推论：设,,,O A B C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个有序实数,,x y z ，使OP xOA yOB zOC =++u u u r u u u r u u u r u u u r。

6. 空间向量的直角坐标系：（1）空间直角坐标系中的坐标：在空间直角坐标系O xyz -中，对空间任一点A ，存在唯一的有序实数组(,,)x y z ，使zk yi xi OA ++=，有序实数组(,,)x y z 叫作向量A 在空间直角坐标系O xyz -中的坐标，记作(,,)A x y z ，x 叫横坐标，y 叫纵坐标，z 叫竖坐标。

（2）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底叫单位正交基底，用{,,}i j k r r r表示。

（3）空间向量的直角坐标运算律：①若123(,,)a a a a =r ，123(,,)b b b b =r ，则112233(,,)a b a b a b a b +=+++r r， 112233(,,)a b a b a b a b -=---r r ，123(,,)()a a a a R λλλλλ=∈r， 112233a b a b a b a b ⋅=++r r，112233//,,()a b a b a b a b R λλλλ⇔===∈r r， 1122330a b a b a b a b ⊥⇔++=r r。

②若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则212121(,,)AB x x y y z z =---u u u r。

一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。

（4）模长公式：若123(,,)a a a a =r ，123(,,)b b b b =r，则||a ==r||b ==r（5）夹角公式：cos ||||a ba b a b ⋅⋅==⋅rr r r r 。

（6）两点间的距离公式：若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则||AB ==u u u r ，或,A B d =7. 空间向量的数量积。

（1）空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量,a b r r ，在空间任取一点O ，作,OA a OB b ==u u u r u u u r r r ，则AOB ∠叫做向量a r 与b r的夹角，记作,a b <>r r ；且规定0,a b π≤<>≤r r ，显然有,,a b b a <>=<>r r r r ；若,2a b π<>=r r ，则称a r 与b r互相垂直，记作：a b ⊥r r 。

（2）向量的模：设OA a =u u u r r ，则有向线段OA u u u r 的长度叫做向量a r的长度或模，记作：||a r 。

（3）向量的数量积：已知向量,a b r r ，则||||cos ,a b a b ⋅⋅<>r r r r 叫做,a b rr 的数量积，记作a b ⋅r r ，即a b ⋅=r r ||||cos ,a b a b ⋅⋅<>r rr r 。

（4）空间向量数量积的性质：①||cos ,a e a a e ⋅=<>r r r r r。

②0a b a b ⊥⇔⋅=r r r r 。

③2||a a a =⋅r r r 。

（5）空间向量数量积运算律：①()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅r r r r r r。

②a b b a ⋅=⋅r r r r （交换律）。

③()a b c a b a c ⋅+=⋅+⋅r r r r r r r（分配律）。

【典型例题】例1. 已知平行六面体ABCD －D C B A ''''，化简下列向量表达式，标出化简结果的向量。

⑴AB BC +u u u r u u u r ； ⑵AB AD AA '++u u u r u u u r u u u r ；⑶12AB AD CC '++u u u r u u u r u u u u r ； ⑷1()3AB AD AA '++u u ur u u u r u u u r 。

解：如图：⑴AB BC AC +=u u u r u u u r u u u r；⑵ AB AD AA '++u u u r u u u r u u u r =AC AA AC ''+=u u ur u u u r u u u u r ；⑶设M 是线段C C '的中点，则12AB AD CC AC CM AM '++=+=u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u u r；⑷设G 是线段C A '的三等分点，则11()33AB AD AA AC AG ''++==u u ur u u u r u u u r u u u u r u u u r 。

向量,,,AC AC AM AG 'u u u r u u u u r u u u u r u u u r如图所示。

例2. 对空间任一点O 和不共线的三点,,A B C ，问满足向量式：OP xOA yOB zOC =++u u u r u u u r u u u r u u u r（其中1x y z ++=）的四点,,,P A B C 是否共面？ 解：∵(1)OP z y OA yOB zOC =--++u u u r u u u r u u u r u u u r ， ∴()()OP OA y OB OA z OC OA -=-+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ， ∴AP y AB z AC =+u u u r u u u r u u u r，∴点P 与点,,A B C 共面。

例3. 已知空间四边形OABC ，其对角线,OB AC ，,M N 分别是对边,OA BC 的中点，点G 在线段MN 上，且2MG GN =，用基底向量,,OA OB OC u u u r u u u r u u u r表示向量OG u u u r 。

解：OG OM MG =+u u u r u u u u r u u u u r 23OM MN =+u u u u r u u u u r 12()23OA ON OM =+-u u u r u u u r u u u u r 。

1211[()]2322OA OB OC OA =++-u u ur u u u r u u u r u u u r 111()233OA OB OC OA =++-u u ur u u u r u u u r u u u r 111633OA OB OC =++u u u r u u u r u u u r ∴111633OG OA OB OC =++u u u r u u u r u u u r u u u r 。

例 4. 如图，在空间四边形OABC 中，8OA =，6AB =，4AC =，5BC =，45OAC ∠=o ，60OAB ∠=o ，求OA 与BC 的夹角的余弦值。

OB C解：∵BC AC AB =-u u u r u u u r u u u r， ∴OA BC OA AC OA AB ⋅=⋅-⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 。

||||cos ,||||cos ,OA AC OA AC OA AB OA AB =⋅⋅<>-⋅⋅<>u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r。