合肥市2019年高三第三次教学质量检测
数学试题（理）
(考试时间：120分钟满分:150分）
第I 卷（满分50分）
—、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的）
1. 设集合M={R x ∈|x 2<4},N={-1,1,2},则M I N ＝( ) A{-1，1，2} B.{-1，2} C.{1，2} D{-1，1}
2. 已知（1+i)(a-2i)= b-ai(其中a,b 均为实数，i 为虚数单位），则a+b =( ) A. -2
B.4
C.2
D.0
3. 等比数列{a n }中，a 2=2，a 5 =4
1
，则a 7 =( ) A.
641 B. 321 C. 16
1 D. 81 4. “ m < 1 ”是“函数f(x) = x 2-x+4
1
m 存在零点”的（ ) A.充分不必要条件 B.充要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件 5. 右边程序框图，输出a 的结果为（ ） A.初始值a B.三个数中的最大值 C. 二个数中的最小值 D.初始值c
6. 已知⎪⎩
⎪
⎨⎧≥+-≤--≥+033206322y x y x y x ，且z=x 2+y+，则z 的最小值是（ ）
A.4
B.1
C. 18
D.y
7. P 是正六边形ABCDEF 某一边上一点，AF y AB x AP +=， 则x+y 的最大值为（ )
A.4
B.5
C.6
D.7
8. 右图为一个简单组合体的三视图，其中正视图由 一个半圆和一个正方形组成，则该组合体的表面 积为（ ）
A.20 + 17π
B.20 + 16π
C. 16 + 17π
D. 16 + l6π
9. 五个人负责一个社团的周一至周五的值班工作， 每人一天，则甲同学不值周一，乙同学不值周五，且甲，乙不相邻的概率是（ )
A.
103 B. 207 C. 52 D. 30
13
10.定义域为R 的函数f(x)的图像关于直线x= 1对称，当a ∈[0,l]时，f(x) =x,且对任意
R x ∈只都有f(x+2) = -f(x),g(x)= ⎩
⎨
⎧<--≥)0)((log )
0)((2013x x x x f ，则方程g(x)-g(-x) =0实数根的个数为（ ）
A. 1006
B. 1007
C. 2018
D.2018
第II 卷（满分100分）
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡的相应位置） 11.已知抛物线的准线方程是x=2
1
，则其标准方程是______
12.关于x 的不等式log 2|1-x| > 1的解集为_______ 13.曲线C 的极坐标方程为: θρcos 2=，曲线T 的参数
方程为⎩
⎨⎧+=+-=121t y t x (t 为参数），则曲线C 与T 的公共点有
______个.
14.如图，一栋建筑物AB 高（30-103)m ，在该建筑 物
的正东方向有一个通信塔CD.在它们之间的地面M 点（B 、M 、D 三点共线）测得对楼顶A 、塔顶C 的仰角分别是15°和60°，在楼顶A 处 测得对塔顶C 的仰角为30°，则通信塔CD 的高为______m.
15.如图，正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为2,P ,Q,R 分 别是棱BC,CD,DD 1的中点.下列命题：
①过A 1C 1且与CD 1平行的平面有且只有一个； ②平面PQR 截正方体所得截面图形是等腰梯形； ③AC 1与平面PQR 所成的角为60°;
④线段EF 与GH 分别在棱A 1B 1和CC 1上运动，且EF + GH = 1，则三棱锥E - FGH 体积的最大值是
12
1 ⑤线段MN 是该正方体内切球的一条直径，点O 在正 方体表面上运动，则
ON
OM .的取值范围是[0，2].
其中真命题的序号是______（写出所有真命题的序号）.
三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
16.(本小题满分12分）
已知函数f(x)=Asin())2
,0(,0,0(),π
ϕωϕω∈>>+A x 部
分图像如图所示.
(I)求函数f(x)的解析式; (II)已知)2
,0(π
∈a ），且3
2
cos =
a ，求f(a).
17.(本小题满分13分）
如图BB1,CC1，DD1均垂直于正方形AB1C1D1所在平
面A、B、C、D四点共面.
(I)求证：四边形ABCD为平行四边形；
(II)若E,F分别为AB1,D1C1上的点，AB1=CC1=2BB1
=4,AE = D1F =1.
(i)求证:CD丄平面DEF;
(ii)求二面角D-EC1-D1的余弦值.
18.(本小题满分12分）
已知f(x) = log a x- x +1( a>0，且a ≠1).
(I)若a=e,求f(x)的单调区间；
(II)若f(x)>0在区间（1，2)上恒成立，求实数a的取值范围.
19.(本小题满分13分）
根据上级部门关于开展中小学生研学旅行试点工作的要求，某校决定在高一年级开展中
小学生研学旅行试点工作.巳知该校高一年级10个班级,确定甲、乙、丙三 条研学旅行路线.为使每条路线班级数大致相当，先制作分别写有甲、乙、丙字样的签 各三张，由高一（1)〜高一（9)班班长抽签,再由高一（10)班班长在分别写有甲、乙、 丙字样的三张签中抽取一张.
(I)设“有4个班级抽中赴甲路线研学旅行”为事件A ，求事件A 的概率P(A);
(II )设高一（l)、高一(2)两班同路线为事件B,高一（1)、高一（10)两班同路线为事 件C ，试比较事件B 的概率P(B)与事件C 的概率P( C)的大小；
(III)记（II)中事件B 、C 发生的个数为ξ，求随机变量ξ的数学期望E ξ
20.(本小题满分12分）
平面内定点财（1，0),定直线l:x=4,P 为平面内动点,作PQ 丄l ，垂足为Q ，且
||2||PM PQ =.
(I)求动点P 的轨迹方程；
(II )过点M 与坐标轴不垂直的直线，交动点P 的轨迹于点A 、B ，线段AB 的垂直平分 线交x 轴于点H ，试判断
|
||
|AB HM -是否为定值.
21.(本小题满分13分）
设数列{a n }的前n 项和为S n ，且对任意的*N n ∈，都有a n >0,S n = 3
3231...n a a a +++
(I)求a 1，a 2的值； (II)求数列{a n }的通项公式a n
(III)证明：ln2≤a n ·ln(1+)1n
a <ln3。