结构力学：自由度及几何分析
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小结
自由度与约束
一根链杆，可以减少体系一个自由度，相当于一个 约束。
一个单铰，可减少体系两个自由度相当于两个约束 。
一个联结n个刚片的复铰，相当于n-1个单铰，相当 于 2(n-1)个约束！
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2.2.3 虚铰
2.2.3虚铰 有两个链杆连接两个刚片，两根链杆的作
加链杆前体系有3个自由度
加链杆后确定体系的位置，需要两 个独立的坐标，新体系有2个自由度 。一根链杆可以减少体系一个自由 度，相当于一个约束。
Ⅰ
15 6
3
4
1、2、3、4是链杆，折线型链杆 、曲线型链杆可用直线型链杆代替 。
5、6不是链杆。
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加单铰前体系有六个自由度
加单铰后确定体系的位置，需要四个 独立的坐标，新体系有四个自由度。
2.2.5稳定分析
结构力学：自由度及几何分析
E② D
F① ⑥
⑤
③ ⑧⑨
C
⑦
④
A
B
①
②
⑥
③
⑨
⑤
⑦
⑧
④
例a：j=6；b=9；r=3。 所以：W=2×6－9－3=0
例b：j=6；b=9；r=3。 所以：W=2×6－9－3=0
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计算自由度与几何稳定性的关 系
(1)W>0，缺乏约束，几何可变； (2)W=0，具有几何不变的前提条件，可能
1.定义 W=各部件的自由度总和-全部约束数 2. W=3m－2n － r [例1] m——刚片数（不计基础）； n——单铰数（一个单铰、定向支座相当于两个约
束）； r——支座链杆数（固定铰支座相当于2个链杆，
固定端支座或刚性连接相当于三根链杆）
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3.铰接法
m=1，a=1，n=0 ， r=4+3×2＝10 则：
1.在平面中，一个自由的点
2.在平面中，一个自由的刚片
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y
A 0
A' Dy
Dx
x
y

A'
B' D
AB
Dy
Dx
0
x
自由度：
描述几何体系运动时，所需独立坐标的数目。
几何体系运动时，可以独立改变的坐标的数目。
1.在平面中，一个自由的点有两个自由度 ；2.在平面中，一个自由的刚片有三个自由度 。
用相当于一个单铰，在瞬时有同一旋转中 心。也叫瞬铰。 1. 由延长线组成的虚铰 2. 有链杆相交组成的虚铰 3. 无穷远虚铰
2.2.4自由度
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O . . O’
A
B
C D
虚铰
联结两刚片的两根不共 线的
链杆相当于一个单铰即 瞬铰。
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2.2.4体系的自由度计算
注意1、刚接在一起的各刚片作为一大刚片 。如带有a个无铰封闭框，约束数应加 3a 个 。
一个刚片 ，7+3个 约束。
2个刚片
2×3个 约束
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2.2.4体系的自由度计算
3.铰接链杆体系: W=2J-b-r J——结点数（一个点有两个自由度）； b——链杆数； r——支座链杆数。
1 . 几 何 不 变 体 系 geometrically unchangeable system ：在任意荷载作用 下，能保持其几何形状和位置不变的体 系。
2 . 几 何 可 变 体 系 geometrically changeable system ：在外荷载作用下， 会发生几何形状改变和位置改变的体系。
几何不变； (3)W<0，有多余约束，可能几何不变。
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多余约束 分清必要约束和非必要约束。
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例1
刚片法：W=3×3－2×2－5=0 铰结点法：W=2×4－3－5=0 1）对半铰结点不能按铰结点对待； 2）通常每根杆都只能有两个铰接点； 3）悬臂端端点也算作铰结点。
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几何可变体系
几何不变体系
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二、几何组成分析的目的：
1.保证结构有可靠的几何组成，避免工程中 出现可变结构。
2.了解结构各部分的构造，改善和提高结构 的性能。
3.判别静定、超静定结构。 4.在结构计算时，可根据其几何组成情况，
选择适当的计算方法；分析其组成顺序， 寻找简便的解题途径
1
C
2
x y
单铰可减少体系两个 自由度相当于两个约束
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复铰（重铰） 联结三个或三个以上刚片的铰
A
C
先有刚片A,然后以单铰将 刚片B联于刚片A,
再以单铰将刚片C联刚片于A上。所以 联结三个刚片的复铰相当于两个单铰 ，减少体系四个自由度。
B
联结n个刚片的复铰相当于n-1 个单铰，相当于 2(n-1)个约束！
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三、刚片：在平面内可看成是刚体的物体， 即几何形状和尺寸不变。
1. 一根梁、一根链杆。 2. 三角形 3. 支承结构的地基
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链杆 三角形 地基
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2.2自由度和约束的概念
2.2.1自由度degree of freedom ：体 系运动时，用来确定为之所需的独 立坐标的数目。
WW==33mm－－22nn－－rr －3×a ==33××11－－1100 － 3×1 ＝＝－－710
m=7，n=9，r=3 W=3×m－2×n－r
=3×7－2×9－3 =0
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注意2、复连接要换算成单连接。
连4刚片，n=3
连3刚片，n=2
连2刚片，n=1
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[例2] 刚片法：W=3×3－2×2－6=－1 铰结点法：W=2×4－3－6=－1
结构力学
第二章 结构的几何组成分析
结构力学：自由度及几何分析
2.结构的几何组成分析 geometric construction analysis
2.1几何组成分析的目的 2.2自由度和约束 2.3几何组成规则 2.4瞬变体系 2.5几何组成分析
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2.1几何组成的目的、几何不变 体系和几何可变体系
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2.2自由度和约束的概念
2.2.2约束restraint （联系）：减少自由 度的装置。
1、单链杆：仅在两处与其它物体用铰相 连，不论其形状和铰的位置如何。
2、单铰： 联结两个刚片的铰。 3、复铰（重铰）联结三个或三个以上刚
片的铰。
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β α