高代课件47：关于跟正交矩阵有关的常用知识点及其涉及到的矩阵分解应用问题总结在高代课件35里面我们讲过一些关于跟正交矩阵有关的常用知识点一：正交矩阵的特征值模为1二：n 阶正交矩阵A 满足A ,1三：n 阶正交矩阵A 的列向量组可以组成一个标准正交基行向量组可以组成一个标准正交基四：n 阶正交矩阵A ，若-1，则一定有特征值为-1五：奇数阶正交矩阵A ，若1，则一定有特征值为11六：若是n 阶正交矩阵A 的特征值，则也是正交矩阵的特征值七：若,为n 阶正交矩T A E A A A A A A A B λλ==±==1*阵，则,,,,,(是正整数)仍为正交矩阵（这些结论在课件35里面都有详细注明）八：设A ，B 都是n 阶正交矩阵，且0，则0(高代课件29例3)下面我们来看一些跟正交矩阵有关的问题2例1：设为非零列向量，证明：为正交阵证明：为非零列向量,设222则T m T T T TT T T T T A A A AB A m A B A B A E K A E E AK K A A E E K αααααααααααααα-+=+==-=⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭⎛⎫=- ⎪⎝⎭()()()()2222221222444是正交矩阵例2：设是n 级实对称矩阵，且满足430,证明：2为正交阵证明：是n 级实对称矩阵22224443故2为正交阵例3：是n 级对合矩阵（即A =E ）,证明：存在正交阵T,使得T T T T T TTTT TE K K K K K E E A K KA A A E A E A A AA E A E A E A E A A E A A E E EA E A αααααααααααααα-⎛⎫-=--+ ⎪⎝⎭=-+=⇒-+=-⇒=--=--=-+=-++=-(){}(){}1212AT=(2007,大连理工)证明：记0，,0，则可验证V=rn r n n n EO O E V A E P V A E P P V V αααααα-⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭=-=∈=+=∈=⊕()()()112r 2r 12121212121取中的一组标准正交基，，，,中的一组标准正交基，，，则，，，是的一组标准正交基，且有，，，，，，令，，，T AT=(通过这个题我们会发现如果一个矩阵A 相似对角化，不管这个矩阵是否为r n n rn n n r n r r n r n r V V V E O A O E T E O E O AT T O E O E εεεεεεεεεεεεεεεεεε++----⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭=⎛⎫⎛⎫⇒=⇒ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1212212i 21222对称矩阵，那么一定可以找到一个正交矩阵，使得A 相似合同对角化)例4：设是n 阶实可逆矩阵，证明：存在正交矩阵,使得,0,1,2,,，且是的特征值（称为矩阵奇值分解定理）证明：因A 是n 阶实可逆矩阵，所以是正定矩阵，因此存在正交矩阵使得,0T i n T T Ti n A Q Q a a Q AQ a i n a A A a A A Q Q A AQ λλλλ⎛⎫ ⎪⎪=>= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫⎪ ⎪=>⎪ ⎪ ⎪⎝⎭()()212122222111121122211211222是的特征值，令则a 0,是的特征值，1,2,,取,则=，令,则111111Ti T i i i T T T T n TT T T T TTn n A A a a A A i na a B Q A AQ B B Q A AQ B a Q B Q A Q Q AQ B B Q A a a B Ba λλλλ------>==⎛⎫⎪⎪=⇒=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭==⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ == ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭()()()()1112222111111222222==T TT TTT T T T TT T Q A AQ Q AA Q Q Q AQB B Q A AQ Q A A Q Q A E-------⎪⎪⎪==⎪⎪⎪⎪⎪⇒=()1122111则可知：是正交矩阵，且（这个题其实想想是有思路的，因为正交矩阵通常和对称矩阵扯上关系，而矩阵A 不一定是对称矩阵，但由于A 可逆，则可构造对称矩阵）例5：设是n 阶实可逆矩阵，证明：可分解为一个正定矩阵与一个正交矩阵之积，且分解法是唯一的。

证明：因为A 是n 阶实可逆矩阵，所以AA 是正定矩阵，故存在一个正定矩阵,使得AA =，令，则由T T TTTQ Q AQ BA A A AB B Q B A Q Q B A B A ---===()()()()()()()2111-1-1-12112111111211AA=A =A AA =A A ，则是正交矩阵所以A=B ,即可分解为一个正定矩阵与一个正交矩阵之积同理可得：A 是一个正定矩阵，所以存在一个正定矩阵C,使得A A=C ，令P ,则由则,即也可分解为一个正交矩阵与一TTTT T TT TT TTTTT B B A B AB A A A A E Q B A BQ A A AC P P ACACCA AC C C C EA AC C PC A -------------===========()()1111112211111111111221111111个正定矩阵之积下面证明唯一性当A=BQ=B Q ，其中,都是n 阶正定矩阵，,都是n 阶正交矩阵时，下面证明必有=，Q=Q AA =BQ BQ =BQQ B ,AA =B Q B Q B Q Q B B B B B ，，则唯一性得证。

总结：可能大家对划横线处不太理解，下面我们证明一下这个结论例3TTT T T T T T T T B B Q Q B B B B B B B B Q B A Q B A Q Q --⇒=====⇒=⇒=⇒==⇒=()()()22n 1212n ：若两个n 阶正定矩阵A,B 满足A =B ，则证明：先介绍一个引理：设A,B 是n 阶方阵，若方程AX=XB 有非零解，则A,B 必有公共特征值下面证明一下引理：设AX=XB,(X 0)，则可得到：A X=XB 设的特征多项式为f (x),f (A)=0,则f (A)X=Xf (B)f (B)0,0f (B)0f ()f (B)0则存n n A BA X X x x x xB E B E B E λλλλλλ=≠⇒=≠⇒==---⇒=---=()i i 22在某个i,使得0是的特征值A,B 必有公共特征值下面回到原题A =B ()()若0根据引理可得：和-有公共的特征值是正定矩阵，则的特征值为正，-是负定矩阵，则-B 的特征值为负显然和-没有公共的特征值，矛盾，则A=BB E B A A B A B B A B A B A B A A B A B λλ-=⇒⇒⇒-=--≠⇒-≠⇒1111111111111例6：证明：上三角矩阵的正交矩阵必为对角矩阵，且对角线上元素为1或-1证明：设是正交矩阵，且A=,则,(高代课本202页第25题，可逆的上（下）三角形矩阵的逆仍是上（下）三角形矩阵)从而==0(n nn n T nn n T ij n nn nn a a A a b b A A b a b b A a a a b -⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⇒=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭112111)故为对角阵又11例7：设为一个n 级实矩阵，且0，证明可以分解成其中是正交矩阵，是一上三角形矩阵：并且这个分解是唯一的（高代课本394页第14题，这个很重要，不再讲）例8：设A 为正交阵，特征值均为实数，求证：A 为实对称阵证明：分两步：首先证明存在正交阵T nn T ii ii n nn i j a A a A A E a a A A A A QT t t Q T T t ≠⎛⎫⎪=⎪ ⎪⎝⎭=⇒=⇒=±≠=⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭()()()11111112n 1112n 12n 112n 21112,使得T AT=对n 用数学归纳法：1）n 1结论显然2）假设n 1成立，看n 的情形因为A 为正交阵，特征值均为实数，则取A 的一个特征值为，则对应的有一单位特征向量将扩充成标准正交基，，，,则A ，，，，，，令T ，，，是正交矩阵T T n Tnn t t t A O A A A O A λαααααλαααααααααλ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭=-⎛⎫=⇒= ⎪ ⎪⎝⎭⎛=⎝11112T T TA A O A λ⎫⎛⎫⇒= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎭⎝⎭()1111222221111112111111122122因为与相似因为A 特征值均为实数,特征值为实数又因为是正交矩阵，T 是正交矩阵，所以：T 是正交矩阵，T T 是正交矩阵所以：是正交矩阵T T TT T A A A E A A O A OA A E A A A A A OA A A O A O A O A A A OA λλλλλλλλλλλλλλλ⎛⎫--⇒-==--⎪ ⎪-⎝⎭--⇒⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⇒= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝2111111122211111221122122222212112221，0，0，是正交矩阵由归纳假设可得：存在正交矩阵T 使得T T =01令T T 111则T T T T T T T TT T n T n Tn TT TT A E A A A A A A A A A A E A A A E A A O T O O O O T AT A O O O λλλλλλλλ--⎛⎫⎫== ⎪⎪⎪ ⎪+⎭⎝⎭⇒==+=⇒==⇒⎛⎫* ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫= ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1122222*********T T T 得证则由上可知：存在正交阵T,使得T AT=矩阵是正交矩阵，且是上三角矩阵则由例6可得：T AT 是对角阵，则A 是对称矩阵T n n Tnn n nn T O O O O O A O A t t t t t t λλλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎪*⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭。