问题2 复数集中规定的乘法运算满足什么运算律呢？
复数的乘法运算满足交换律、结合律和对加法的分配律.
追问 如何证明呢？
证明：设z1 a bi，z2 =c di，那么 z1z2 (a bi)(c di) (ac bd ) (ad bc)i z2z1 (c di)(a bi) (ca db) (cb da)i (ac bd ) (ad bc)i 所以 z1z2 = z2 z1
设 z1 a bi, z2 c di (a,b, c, d R) ，定义 z1z2 (ac bd ) (ad bc)i
追问 两个复数的乘法运算类似于我们学过的哪种运算？
z1z2 (a bi)(c di) ac adi bci bdi2 (ac bd ) (ad bc)i
例8 在复数范围内解方程: （3）ax2 bx c 0(a 0且a,b, c R)
分析：当=b2 4ac 0时，
x b b2 4ac 2a
实数根
典型例题
例8 在复数范围内解方程: （3）ax2 bx c 0(a 0且a,b, c R)
该方程的根 与系数有什 么关系？
分析：当
0
时，( x
b )2 2a
b2 4ac 4a2
(x b )2 ( 4ac b2 i)2
2a
2a
x1
x2
b a
x1x2
c a
x b 4ac b2 i
2a
2a
共轭虚根
课堂练习
课堂练习
课堂练习
课堂小结
1.复数的乘法法则及其运算律 2.复数的除法法则 3.在复数范围内解实系数一元二次方程
复数的除法法则：
a bi c di a bi
c di
a bic di c dic di
(ac
b)i
ac bd bc ad i c2 d 2 c2 d 2
典型例题
例6 计算:(1 2i) (3 4i).
解：原式= 1 2i
3 4i = (1 2i)(3 4i)
问题2 复数集中规定的乘法运算满足什么运算律呢？
复数的乘法运算满足交换律、结合律和对加法的分配律.
对任意复数 z1, z2 , z3, 有 z1z2 z2 z1 (z1z2 )z3 z1(z2 z3 ) z1(z2 z3 ) z1z2 z1z3
典型例题
例1 计算：(2 i)(3 4i).
解：原式 = 6 3i 8i 4i2 6 3i 8i 4 (1) 10 5i
①按照多项式的乘法展开
②把 i2换成-1
③把实部与虚部分别合并
典型例题
例2 计算下列各式的值. （1）(3 2i)(3 2i); （2）(1 i)2.
典型例题
例2 计算下列各式的值.
（1）(3 2i)(3 2i);
解： i19 i443 (i4 )4 i3 i i28 i47 (i4 )7 1 i37 i491 (i4 )9 i i i90 i4222 (i4 )22 i2 1
i, n 4k 1
in
1, n 4k 2 i, n 4k 3
1, n 4k
(k N)
问题4 我们已经建立了复数集里的加、减、乘运算，那么，复 数的除法该如何定义呢？
平方差公式
解法1：原式 = 32 2i 3 3 2i (2i)2 9 6i 6i 4 (1) 13
解法2：原式 = 32 (2i)2 9 4 13
典型例题
例2 计算下列各式的值.
（2）(1 i)2.
完全平方公式
解法1：原式 = (1 i)(1 i)
解法2：原式 = 12 2i i2
1 1 ？ z a bi
1 z
|
z z |2
追问2 如何把 1 中的分母由虚数变成实数? a bi
分母实数化：
分子分母同 时乘以分母 的共轭复数
1 a bi a bi a bi a b i a bi (a bi)(a bi) a2 (bi)2 a2 b2 a2 b2 a2 b2
zm zn zmn (zm )n zmn (z1 z2 )n z1n z2n
典型例题
例4 计算：(5i)2,i3,i4 .
解：(5i)2 52 i2 25 (1) 25 i3 i2 i1 (1) i i i4 i2 i2 (1) (1) 1
典型例题
变式1 计算：i19 , i28, i37 , i90. 并总结 in (n N) 的取值规律.
追问3 有了倒数的概念，两个复数除法的运算法则可以如何规定？
复数的除法法则：
a bi c di (a bi) 1
c di
(a
bi)
c c2
di d2
(ac
bd ) c2
(bc d2
ad )i
ac bd bc ad i c2 d 2 c2 d 2
追问3 有了倒数的概念，两个复数除法的运算法则可以如何规定？
复数的乘法与除法
问题1 我们已经学习了复数的加法和减法法则，你认为该如何 定义复数的乘法法则呢？
设 z1 a bi, z2 c di (a,b, c, d R) ，那么 z1z2 (a bi)(c di) ？
问题1 我们已经学习了复数的加法和减法法则，你认为该如何 定义复数的乘法法则呢？
12 i 11 i i2
= 1 2i 1
1i i 1
2i
2i
典型例题
两个共轭复数的乘积等于这个复数 （或共轭复数）的模的平方.
问题3 我们知道，实数的乘方是相同实数的乘积，规定复数 的乘方也是相同复数的乘积.那么，复数的乘方满足什么运算 律呢？
对复数 z, z1, z2和自然数 m, n ，有
(3 4i)(3 4i)
①将除式写为分式 ②分母实数化
= 5+10i 25
1 2i 55
③分子、分母分别进行乘法运算
典型例题
例8 在复数范围内解方程: （1）x2 2 0;
（2）x2 2x 3 0; （3）ax2 bx c 0(a 0且a,b, c R)
典型例题
例8 在复数范围内解方程: （1）x2 2 0;
复数的倒数：
对于复数z a bi ，如果存在复数 z '，使 z z ' 1， 则 z '叫做 z 的倒数，记作 1 .
z
1 1 ？ z a bi
1
追问1 我们需要把
中的分母由虚数变成实数，以前所学
a bi
的知识，有没有类似的变形？
无理数的分母有理化：
1
1 2
1 2 1 2
1 2 (1 2)(1 2) 1
解： x2 2 x2 ( 2i)2 x1 2i, x2 2i
典型例题
例8 在复数范围内解方程:
（2）x2 2x 3 0;
解： (x 1)2 2 (x 1)2 ( 2i)2
配方法
x 1 2i 或 x 1 2i
x1 1 2i , x2 1 2i
两个根有什 么关系？
典型例题