2.2 复数的乘法与除法明目标、知重点1.掌握复数代数形式的乘法和除法运算.2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律.3.理解共轭复数的概念．1．复数的乘法法则设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(a，b，c，d∈R)，则z1·z2＝(a＋b i)(c＋d i)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.2．复数乘法的运算律对任意复数z1、z23.共轭复数如果两个复数满足实部相等，虚部互为相反数时，称这两个复数为共轭复数，z 的共轭复数用z 表示．即z ＝a ＋b i ，则z ＝a －b i. 4．复数的除法法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(c ＋d i≠0)， 则z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －ad c 2＋d 2i. [情境导学]我们学习过实数的乘法运算及运算律，那么复数的乘法如何进行运算，复数的乘法满足运算律吗？探究点一 复数乘除法的运算 思考1 怎样进行复数的乘法？答 两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要把已得结果中的i 2换成－1，并且把实部与虚部分别合并即可．思考2 复数的乘法与多项式的乘法有何不同？答 复数的乘法与多项式乘法是类似的，有一点不同即必须在所得结果中把i 2换成－1. 例 1 计算：(1)(1－2i)(3＋4i)(－2＋i)； (2)(3＋4i)(3－4i)； (3)(1＋i)2.解 (1)(1－2i)(3＋4i)(－2＋i)＝(11－2i)(－2＋i) ＝－20＋15i ；(2)(3＋4i)(3－4i)＝32－(4i)2＝9－(－16)＝25； (3)(1＋i)2＝1＋2i ＋i 2＝2i.反思与感悟 复数的乘法可以按多项式的乘法法则进行，注意选用恰当的乘法公式进行简便运算，例如平方差公式、完全平方公式等． 跟踪训练1 计算：(1)(2＋i)(2－i)；(2)(1＋2i)2. 解 (1)(2＋i)(2－i)＝4－i 2＝4－(－1)＝5； (2)(1＋2i)2＝1＋4i ＋(2i)2＝1＋4i ＋4i 2＝－3＋4i. 思考3 如何理解复数的除法运算法则？答 复数的除法先写成分式的形式，再把分母实数化(方法是分母与分子同时乘以分母的共轭复数，若分母是纯虚数，则只需同时乘以i)．例 2 计算：(1)4－3i 4＋3i ＋4＋3i4－3i ；(2)(1＋i 1－i )6＋2＋3i 3－2i.解 (1)原式＝4－3i24＋3i 4－3i＋4＋3i 24－3i 4＋3i＝16－9－24i 42＋32＋16－9＋24i42＋32＝7－24i 25＋7＋24i 25＝1425； (2)方法一 原式＝[1＋i 22]6＋2＋3i3＋2i 32＋22＝i 6＋6＋2i ＋3i －65＝－1＋i.方法二 (技巧解法)原式＝[1＋i 22]6＋2＋3i i 3－2ii＝i 6＋2＋3i i2＋3i＝－1＋i.反思与感悟 复数的除法是分子、分母同乘以分母的共轭复数．跟踪训练2 计算：(1)7＋i 3＋4i ；(2)－1＋i 2＋i－i.解 (1)7＋i 3＋4i ＝7＋i 3－4i 3＋4i 3－4i ＝25－25i25＝1－i.(2)－1＋i 2＋i －i ＝－3＋i －i ＝－3＋i ·i －i·i ＝－1－3i.探究点二 共轭复数及其应用思考1 像3＋4i 和3－4i 这样的两个复数我们称为互为共轭复数，那么如何定义共轭复数呢？答 一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫作互为共轭复数．通常记复数z 的共轭复数为z .虚部不等于0的两个共轭复数也叫作共轭虚数． 思考2 复数a ＋b i 的共轭复数如何表示？这两个复数之积是实数还是虚数？答 复数a ＋b i 的共轭复数可表示为a －b i ，由于 (a ＋b i)·(a －b i)＝a 2＋b 2，所以两个共轭复数之积为实数．思考3 共轭复数有哪些性质，这些性质有什么作用？ 答 (1)在复平面上，两个共轭复数对应的点关于实轴对称．(2)实数的共轭复数是它本身，即z ＝z ⇔z ∈R ，利用这个性质可证明一个复数为实数． (3)若z ≠0且z ＋z ＝0，则z 为纯虚数，利用这个性质，可证明一个复数为纯虚数． 思考4 z ·z 与|z |2和|z |2有什么关系？ 答 z ·z ＝|z |2＝|z |2.例 3 已知复数z 满足|z |＝1，且(3＋4i)z 是纯虚数，求z 的共轭复数z . 解 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i 且|z |＝a 2＋b 2＝1，即a 2＋b 2＝1.① 因为(3＋4i)z ＝(3＋4i)(a ＋b i)＝(3a －4b )＋(3b ＋4a )i ，而(3＋4i)z 是纯虚数， 所以3a －4b ＝0，且3b ＋4a ≠0.② 由①②联立，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝45，b ＝35，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－45，b ＝－35.所以z ＝45－35i ，或z ＝－45＋35i.反思与感悟 本题使用了复数问题实数化思想，运用待定系数法，化解了问题的难点． 跟踪训练3 已知复数z 满足：z ·z ＋2i z ＝8＋6i ，求复数z 的实部与虚部的和． 解 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ·z ＝a 2＋b 2， ∴a 2＋b 2＋2i(a ＋b i)＝8＋6i ， 即a 2＋b 2－2b ＋2a i ＝8＋6i ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2－2b ＝82a ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3b ＝1，∴a ＋b ＝4，∴复数z 的实部与虚部的和是4.1．设复数z 满足i z ＝1，其中i 为虚数单位，则z 等于( ) A ．－i B ．i C ．－1 D ．1 答案 A解析 z ＝1i＝－i.2．已知集合M ＝{1,2，z i}，i 为虚数单位，N ＝{3,4}，M ∩N ＝{4}，则复数z 等于( ) A ．－2i B ．2i C ．－4i D ．4i 答案 C解析 由M ∩N ＝{4}得z i ＝4，z ＝4i＝－4i.3．复数i －21＋2i 等于( )A ．iB ．－iC ．－45－35iD ．－45＋35i答案 A4．复数z ＝2－i 2＋i(i 为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 答案 D解析 因为z ＝2－i 2＋i ＝2－i25＝3－4i5，故复数z 对应的点在第四象限，选D. [呈重点、现规律]1．复数代数形式的乘除运算(1)复数代数形式的乘法类似于多项式乘以多项式，复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律．(2)在进行复数代数形式的除法运算时，通常先将除法写成分式的形式，再把分子、分母都乘以分母的共轭复数，化简后可得，类似于以前学习的分母有理化． 2．共轭复数的性质可以用来解决一些复数问题． 3．复数问题实数化思想．复数问题实数化是解决复数问题的基本思想方法，其桥梁是设复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，利用复数相等的充要条件转化． 一、基础过关 1．复数－i ＋1i 等于( )A ．－2i B.12iC ．0D ．2i 答案 A解析 －i ＋1i ＝－i －i2i＝－2i ，选A.2．i 为虚数单位，1i ＋1i 3＋1i 5＋1i 7等于( )A ．0B ．2iC ．－2iD ．4i答案 A解析 1i ＝－i ，1i 3＝i ，1i 5＝－i ，1i 7＝i ，∴1i ＋1i 3＋1i 5＋1i7＝0. 3．若a ，b ∈R ，i 为虚数单位，且(a ＋i)i ＝b ＋i ，则( ) A ．a ＝1，b ＝1 B ．a ＝－1，b ＝1C ．a ＝－1，b ＝－1D ．a ＝1，b ＝－1 答案 D解析 ∵(a ＋i)i ＝－1＋a i ＝b ＋i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－1a ＝1.4．在复平面内，复数i 1＋i ＋(1＋3i)2对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 B解析 i 1＋i ＋(1＋3i)2＝12＋12i ＋(－2＋23i)＝－32＋(23＋12)i ，对应点(－32，23＋12)在第二象限．5．设复数z 的共轭复数是z ，若复数z 1＝3＋4i ，z 2＝t ＋i ，且z 1·z 2是实数，则实数t ＝________. 答案 34解析 ∵z 2＝t ＋i ，∴z 2＝t －i.z 1·z 2＝(3＋4i)(t －i)＝3t ＋4＋(4t －3)i ，又∵z 1·z 2∈R ，∴4t －3＝0，∴t ＝34.6．若z ＝1＋2ii ，则复数z ＝________.答案 2＋i解析 z ＝1＋2ii ＝2－i ，∴z ＝2＋i.7．计算：(1)2＋2i 1－i 2＋(21＋i)2 010； (2)(4－i 5)(6＋2i 7)＋(7＋i 11)(4－3i)． 解 (1)2＋2i 1－i 2＋(21＋i )2 010＝2＋2i －2i ＋(22i ) 1 005＝i(1＋i)＋(1i )1 005＝－1＋i ＋(－i)1 005＝－1＋i －i ＝－1.(2)原式＝(4－i)(6－2i)＋(7－i)(4－3i) ＝22－14i ＋25－25i ＝47－39i. 二、能力提升8．设复数z 满足(1－i)z ＝2i ，则z 等于( ) A ．－1＋i B ．－1－i C ．1＋i D ．1－i 答案 A解析 由已知得z ＝2i 1－i ＝2i 1＋i 1－i 1＋i＝－1＋i. 9.复数z 满足(z －3)(2－i)＝5(i 为虚数单位)，则z 的共轭复数z 为( ) A ．2＋i B ．2－i C ．5＋i D ．5－i 答案 D解析 由(z －3)(2－i)＝5得，z －3＝52－i＝2＋i ， ∴z ＝5＋i ，∴z ＝5－i.10．设复数i 满足i(z ＋1)＝－3＋2i(i 为虚数单位)，则z 的实部是________． 答案 1解析 由i(z ＋1)＝－3＋2i 得到z ＝－3＋2ii －1＝2＋3i －1＝1＋3i.11．已知复数z 满足(1＋2i)z ＝4＋3i ，求z 及z z.解 因为(1＋2i)z ＝4＋3i ，所以z ＝4＋3i 1＋2i ＝4＋3i 1－2i5＝2－i ，故z ＝2＋i.所以z z ＝2－i 2＋i ＝2－i 25＝3－4i 5＝35－45i.12.已知复数z 的共轭复数为z ，且z ·z －3i z ＝101－3i ，求z .解 z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i. 又z ·z －3i z ＝101－3i，∴a 2＋b 2－3i(a ＋b i)＝101＋3i 10，∴a 2＋b 2＋3b －3a i ＝1＋3i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2＋3b ＝1，－3a ＝3.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－3.∴z ＝－1，或z ＝－1－3i. 三、探究与拓展13.已知1＋i 是方程x 2＋bx ＋c ＝0的一个根(b 、c 为实数)．(1)求b ，c 的值；(2)试说明1－i 也是方程的根吗？ 解 (1)∵1＋i 是方程x 2＋bx ＋c ＝0的根， ∴(1＋i)2＋b (1＋i)＋c ＝0，即(b ＋c )＋(2＋b )i ＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＋c ＝02＋b ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－2c ＝2.∴b ＝－2，c ＝2. (2)方程为x 2－2x ＋2＝0.把1－i 代入方程左边得(1－i)2－2(1－i)＋2＝0，显然方程成立，∴1－i 也是方程的一个根．。