常用逻辑用语
1．命题及其真假判断
(1)可以判断真假的陈述句为命题、反问句也是命题，但疑问句、祈使句、感叹句都不是命题．
[例1] 下列语句哪些是命题，是命题的判断其真假．
①方程x2－2x＝0的根是自然数；
②sin(α＋β)＝sinα＋sinβ(α，β是任意角)；
③垂直于同一个平面的两个平面平行；
④函数y＝12x＋1是单调增函数；
⑤非典型肺炎是怎样传染的？
⑥奇数的平方仍是奇数；
⑦好人一生平安！
⑧解方程3x＋1＝0；
⑨方程3x＋1＝0只有一个解；
⑩3x＋1＝0.
[解析] ①②③④⑥⑨都是命题，其中①④⑥⑨为真命题．
[点评] ⑤是疑问句，⑦是感叹句，⑧是祈使句都不是命题，⑩中由于x的值未给，故无法判断此句的真假，因而不是命题．
[误区警示] 含有未知数的等式、不等式，当式子成立与否与未知数的值有关时，它不是命题．
(2)复合命题的真假判断是个难点，当直接判断不易着手时，可转为判断它的等价命题——逆否命题，这是一种重要的处理技巧．
[例2] 判断命题：“若a＋b≠7，则a≠3，且b≠4”的真假．
[解析] 其逆否命题为：“若a＝3或a＝4，则a＋b＝7”．显然这是一个假命题，
∴原命题为假．
2．四种命题的关系
(1)注意：若p，则q，不能写作“p⇒q”，因为前者真假未知，而“p⇒q”是说“若p，则q”是一个真命题．
(2)原命题与其逆否命题等价，原命题的逆命题与原命题的否命题也等价．从而四种命题中有两对同真同假．
(3)互逆或互否的两个命题不等价，其真假没有联系．
[例3] 写出下列各命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判定其真假：
(1)∀n∈N，若n是完全平方数，则∈N；
(2)∀a，b∈R，如果a＝b，则a2＝ab；
(3)如果x＝3或x＝7，则(x－3)(x－7)＝0；
(4)如果a，b都是奇数，则ab必是奇数．
(5)对于平面向量a，b，c，若a·b＝a·c，则b＝c.
[解析](1)逆命题：∀n∈N，若n∈N，则n是完全平方数．(真)
否命题：∀n∈N，若n不是完全平方数，则n∉N.(真)
逆否命题：∀n∈N，若n∉N，则n不是完全平方数．(真)
(2)逆命题：∀a，b∈R，若a2＝ab，则a＝b.(假)
否命题：∀a，b∈R，若a≠b，则a2≠ab.(假)
逆否命题：∀a，b∈R，若a2≠ab，则a≠b.(真)
(3)逆命题：若(x－3)(x－7)＝0，则x＝3或7.(真)
否命题：若x≠3且x≠7，则(x－3)(x－7)≠0.(真)
逆否命题：若(x－3)(x－7)≠0，则x≠3且x≠7.(真)
(4)逆命题：若ab是奇数，则a、b都是奇数．(假)
否命题：若ab不全是奇数，则ab不是奇数．(假)
逆否命题：若ab不是奇数，则a、b不全是奇数．(真)
(5)逆命题：对于平面向量a、b、c，若b＝c，则a·b＝a·c.(真)
否命题：对于平面向量a、b、c，若a·b≠a·c，则b≠c.(真)
[误区警示] ①“p或q”的否定为“綈p且綈q”；“p且q”的否定为“綈p或綈q”．
②实数xy＝0，则有x＝0或y＝0，向量a、b满足a·b＝a·c不能得出b＝c.
3．量词与复合命题
(1)逻辑联结词“且”、“或”、“非”与集合的“交”、“并”、“补”有着密切的联系，借助集合的运算可以帮助对逻辑联结词的理解．
逻辑联结词“且”、“或”还可借助电路的“串联”、“并联”来类比理解，如图．
含有逻辑联结词的复合命题真假判断，要以真值表为标准．
[例4] 分析下列命题的构成，并用“∧”、“∨”或“綈”表示出来：
(1)x＋1是x3＋x2－x－1与x3＋1的公因式；
(2)方程x2＝1的解是x＝±1；
(3)点(3,4)不在圆x2＋y2－2x＋4y＋3＝0上；
(4)3≥3.
[例4] 分析下列命题的构成，并用“∧”、“∨”或“綈”表示出来：
(1)x＋1是x3＋x2－x－1与x3＋1的公因式；
(2)方程x2＝1的解是x＝±1；
(3)点(3,4)不在圆x2＋y2－2x＋4y＋3＝0上；
(4)3≥3.
[解析] (1)p∧q形式，其中p：x＋1是x3＋x2－x－1的因式，q：x＋1是x3＋1的因式．
(2)p∨q形式，其中p：方程x2＝1的一个解是x＝1，q：方程x2＝1的一个解是x＝－1.
(3)綈p形式，其中p：点(3,4)在圆x2＋y2－2x＋4y＋3＝0上．
(4)p∨q形式，其中p：3>3，q：3＝3.
[误区警示] 若把方程x2＝1的解是x＝±1，写成简单命题p：x2＝1的解是x＝1，q：x2＝1的解是x＝－1，p∨q形式，就错了，从真值表判断，p，q都是假命题，但原命题为真命题．
[例5] 写出下列命题的否定，并判断真假．
(1)p：有些三角形是直角三角形．
(2)p：方程2x＋1＝0有一负实根．
(3)p：三角形的两边之和大于第三边．
(4)p：存在实数q<0，使方程x2＋2x＋q＝0无实根．
[解析] (1)綈p：“没有一个三角形是直角三角形”．(假)
(2)綈p：“方程2x＋1＝0无负实根”．(假)
(3)綈p：“存在某个三角形，两边之和小于或等于第三边”．(假)
(4)綈p：“对任意实数q<0，方程x2＋2x＋q＝0都有实数根”．(真)
4．充要条件
(1)若“p ⇒q ”，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件，即：有了p 成立，则一定有q 成立，即使p 不成立，q 也可能成立；q 不成立，则p 一定不成立．
(2)区分“p 是q 的充要条件”，“p 的充要条件是q ”说法的差异．
[例6] (09·四川理)已知a ，b ，c ，d 为实数，且c >d ，则“a >b ”是“a －c >b －d ”的
( )
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件．
[答案] B
[解析] 由a －c >b －d 变形为a －b >c －d ，
因为c >d ，所以c －d >0，所以a －b >0，即a >b ，
∴a －c >b －d ⇒a >b .
而a >b 并不能推出a －c >b －d .
所以a >b 是a －c >b －d 的必要而不充分条件．故选B.
[例7] 已知p ：x 2－8x －20>0，q ：x 2－2x ＋1－a 2>0.若p 是q 的充分不必要条件，求正实数a 的取值范围．
[解析] 解不等式x 2－8x －20>0得
p ：A ＝{x |x >10，或x <－2}．
解不等式x 2－2x ＋1－a 2>0得
q ：B ＝{x |x >1＋a ，或x <1－a ，a >0}．
依题意，p ⇒q 但q ⇒/ p ，说明A B .
于是，有⎩⎪⎨⎪⎧ a >01＋a ≤10
1－a ≥－2，且等号不同时取得，解得0<a ≤3.
∴正实数a 的取值范围是0<a ≤3.
5．反证法
如果遇到正面证明一个问题比较困难时，可通过假设结论的反面成立，从假设出发，推证出明显的矛盾，从而肯定假设不正确，原结论正确．这种方法适合于结论本身为否定形式或含有“至少”“至多”等限制词的情况
[例8] 求证：若p 2＋q 2＝2，则p ＋q ≤2.
[证明]假设p ＋q >2，
则p 2＋q 2＝12
[(p －q )2＋(p ＋q )2] ≥12(p ＋q )2>12
×22＝2， 即p 2＋q 2
>2，这与题设矛盾．
因此假设不成立．即p ＋q ≤2成立． . .。