用z = h截曲面 用y = m截曲面 用x = n截曲面
c
o a
by
x
椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化，因此椭球面 可以看成是由一个椭圆的变动（大小位置都改变）而产生 .
用平行于xoy坐标面的平面截割椭球面，得截线的方程为：
? ? ?
x a
2 2
?
y2 b2
? 1?
h2 c2
(5)
?? z ? h
y
x
4 主截线
与三坐标平面z = 0，y = 0和x = 0交于三条曲线
? x2 ?? a 2
?
y2 b2
?
?1
?? z ? 0
—xoy面上的 椭圆叫做腰 椭圆
? ? ?
y b
2 2
?
z2 c2
?1
?? x ? 0
—yoz面 上的双曲 线
? ? ?
x a
2 2
?
z2 c2
?1
—xoz面上
?? y ? 0
z2 c2
?
1 与三个坐标面的交线
xOy面
:
?? ?
x2 a2
?
y2 b2
?1
?? z ? 0
xOz面
:
?? ?
x2 a2
?
z2 c2
?
1
?? y ? 0
yOz面
:
?? ?
y2 b2
?
z2 c2
?
1
?? x ? 0
椭球面的主截线（主椭圆）
z 椭球面
o
x
y
5.平截线：
z
x2 ? y2 ? z2 ? 1 a 2 b2 c2
?
z2 c2
以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面．
§3.5.1 椭球面
x2 a2
?
y2 b2
?
z2 c2
?
1
(a ? 0,b ? 0, c ? 0)
1.对称性：
?主平面:三坐标平面 ?主轴:三坐标轴 ?中心:坐标原点
2.顶点:(±a,0,0),(0,±b,0),(0,0,±c) 轴:2a,2b,2c ( ) 半轴:a,b,c 截距:±a, ±b, ±c
h ? c ，(5)无图形；
h ?c
h?c
，(5)表示两个点 (0,0,? c) ； (5)表示一个椭圆，两半轴长分别为
a
1?
h2 c2
b 1? h2 c2
由于h是变化的，(5)表示一族椭圆，椭圆面可以看成由 一个椭圆变动而生成的，其在变动中始终保持所在的平 面与坐标面xoy平行.
椭球面的几种特殊情况：
且两对顶点分别在两定双曲线
上滑动.
用平行于坐标面的平面截割
z
(2)用y = h 截曲面
Cy? h：??? ax22
?
z2 c2
? 1?
h2 ， b2
?? y ? h.
①当 h ? b时
截线为双曲线
O x
y
用平行于坐标面的平面截割
(2)用y = h 截曲面
Cy? h：??? ax22
?
z2 c2
? 1?
h2 ， b2
?? y ? h.
①当 h ? b 时
截线为双曲线
用平行于坐标面的平面截割
(2)用y = h 截曲面
Cy? h：??? ax22
?
z2 c2
? 1?
h2 ， b2
?? y ? h.
②当 h ? b 时
x
截线为双曲线
z
o
y
用平行于坐标面的平面截割
(2)用y = h 截曲面
Cy? h：??? ax22
空间解析几何
第3章 常见的曲面2
2020/5/16
本章主要内容
1 柱面 2 锥面 3 旋转曲面 4 曲线与曲面的参数方程 5 椭球面 6 双曲面（单叶双曲面，双叶双曲面） 7 抛物面（椭圆抛物面，双曲抛物面） 8 二次直纹面 9 作图
五种典型的 二次曲面
§3.5 五种典型的二次曲面
? 椭球面
? 双曲面
2 顶点、与坐标轴的交点和截距 (vertex and intercept)
（1）单叶双曲面与x，y轴分别交于（±a，0，0），
（0，±b，0）而与z轴无实交点.
上述四点称为单叶双曲面的实顶点，
z
而与z轴的交点（0，0，±ci）
称为它的两个虚交点. （2）截距：分别用y=0,z=0和x=0,z=0，
? 单叶双曲面 ? 双叶双曲面
? 抛物面
? 椭圆抛物面 ? 双曲抛物面
二次曲面的定义： 三元二次方程所表示的曲面称之为 二次曲面 ．
相应地平面被称ห้องสมุดไป่ตู้ 一次曲面 ．
讨论二次曲面形状的 截痕法： 用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面
相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后 加以综合，从而了解曲面的全貌 ．
(1) a ? b,
x2 a2
?
y2 a2
?
z2 c2
?
1
旋转椭球面
由椭圆?? ?
x a
2 2
?
z2 c2
?
1绕
z 轴旋转而成．
?? y ? 0
方程可写为
x2 ? a2
y2
?
z2 c2
?
1
旋转椭球面 与椭球面的区别：
与平面 z ? z1 (| z1 |? c)的交线为圆 .
截面上圆的方程
?? x2 ?
?
y2
?
a2 c2
(c2
?
z12 ).
??z ? z1
(2) a ? b ? c,
x2 a2
?
y2 a2
?
z2 a2
?
1
球面
方程可写为 x2 ? y2 ? z2 ? a 2 .
三、椭球面的参数方程
x2 a2
?
y2 b2
?
z2 c2
?1
? x ? a cos? cos?
?
? ?
y
?
b
cos?
?? z ? c sin ?
3.范围： x ? a , y ? b, z ? c
4.主截线：
平行截割用法坐：标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察
其交线（即截口）的形状，然后加以综合，从而了解曲面 的全貌。
截口是曲面与平面的交线
椭球面
x2 a2
?
y2 b2
?
z2 c2
?
1 与三个坐标面的交线
椭球面
x2 a2
?
y2 b2
?
o
y
代入得x,y轴上的截距为: x ? ? a ，y ? ? b ； x 在z轴上没有截距.
3 图形的范围
x2 a2
?
y2 b2
?
z2 c2
?
1
z
由方程
x2 a2
?
y2 b2
?1
知，即曲面存在于椭圆柱面
x2 a2
?
y2 b2
?1
之外，从而曲面与z轴无交点，
并且在xoy面的上,下半空间延到无穷远.
o
的双曲线
2020/5/16
有共同的虚 轴和虚轴长
5 平截线
用平行于坐标面的平面截割
z
(1)用z = h 截曲面
Cz? h：??? ax22
?
y2 b2
?
1＋
h2 c2
, ?椭圆?
?? z ? h.
O
结论：单叶双曲面可看作由一
个椭圆的变动（大小位置都改
x
y
变）而产生，该椭圆在变动中，
保持所在平面与xOy 面平行，
sin ?
? ??
?
?
2
??
?
?
2
,0
?
?
?
2?
? ??
应用实例： 上海科技城椭球体玻璃幕墙
§3.5.2 双曲面
单叶双曲面 z
双叶双曲面 z
oy x
oy x
一、单叶双曲面
x2 a2
?
y2 b2
?
z2 c2
?
1
单叶双曲面
1 对称性（symmetric ）
关于三坐标平面对称； 关于三坐标轴对称；
关于坐标原点对称， （0，0，0）为其对称中心.