第七章 数学物理定解问题1．研究均匀杆的纵振动。

已知0=x 端是自由的，则该端的边界条件为 __。

2．研究细杆的热传导，若细杆的0=x 端保持绝热，则该端的边界条件为。

3．弹性杆原长为l ，一端固定，另一端被拉离平衡位置b 而静止，放手任其振动，将其平衡位置选在x 轴上，则其边界条件为 00,0x x l u u ==== 。

4．一根长为l 的均匀弦，两端0x =和x l =固定，弦中张力为0T 。

在x h =点，以横向力0F 拉弦，达到稳定后放手任其振动，该定解问题的边界条件为___f (0)=0,f (l )=0; _____。

5、下列方程是波动方程的是 D 。

A 2tt xx u a u f =+；B 2t xx u a u f =+； C 2t xx u a u =； D2tt x u a u =。

6、泛定方程20tt xx u a u -=要构成定解问题，则应有的初始条件个数为 B 。

A 1个；B 2个；C 3个；D 4个。

7．“一根长为l 点朝横向拨开距离h ，（如图〈1〉所示）然后放 手任其振动。

”该物理问题的初始条件为( D )。

A ．⎪⎩⎪⎨⎧∈-∈==],2[),(2]2,0[,2l l x x l lh l x x l hu ot B ．⎪⎩⎪⎨⎧====00t tt u huC ．h u t ==0D ．⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⎪⎩⎪⎨⎧∈-∈===0],2[),(2]2,0[,200t t t ul l x x l l h l x x l hu8．“线密度为ρ，长为l 的均匀弦，两端固定，开始时静止，后由于在点)0(00l x x <<受谐变力t F ωsin 0的作用而振动。

”则该定解问题为( B )。

A ．⎪⎩⎪⎨⎧===<<-=-===0,0,0)0(,)(sin 00002t l x x xx tt u u ul x x x t F u a u ρδωuxh2/l0 u 图〈1〉B ．⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====<<-=-====0,00,0)0(,)(sin 000002t t t l x x xx ttuu u u l x x x t F u a u ρδωC ．⎪⎩⎪⎨⎧==<<-=-==0,0)0(,)(sin 00002t t t xx ttu ul x x x t F u a u ρδωD ．⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-==<<=-====0,0)(sin ,0)0(,0000002t t t l x x xx tt u u x x t F u u l x u a u ρδω9．线密度为ρ长为l 的均匀弦，两端固定，用细棒敲击弦的0x 处，敲击力的冲量为I ，然后弦作横振动。

该定解问题为：（ B ）。

A ．⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=====-====0,00,00002t t t l x x xx tt u u u u I u a u ρB ．⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧====-=-====0,00,0)(00002t t t l x x xx tt u u u u x x I u a u ρδ C ．⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧====<<=-====ρI u u u u l x u a u t t t l x x xx tt 0002,00,0)0(,0 D ．⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-====<<=-====ρδ)(,00,0)0(,000002x x I u u u u l x u a u t t t l x x xx tt 10．下面不是定解问题适定性条件的( D )。

11、名词解释：定解问题；边界条件答：定解问题由数学物理方程和定解条件组成，定解条件包括初值条件、边界条件和连接条件。

研究具体的物理系统，还必须考虑研究对象所处的特定“环境”，而周围花牛的影响常体现为边界上的物理状况，即边界条件，常见的线性边界条件，数学上分为三类：第一类边界条件，直接规定了所研究的物理量在边界上的数值；第二类边界条件，规定了所研究的物理量在边界外法线方向上方向导数的数值；第三类边界条件，规定了所研究的物理量以及其外法向导数的线性组合在边界上的数值。

用表示边界A ．有解B ．解是唯一的C ．解是稳定的D ．解是连续的即（1）第一类边界条件：直接规定了所研究的物理量在边界上的数值，，代表边界（2）第二类边界条件：规定了所研究的物理量在边界外法线方向上方向导数在边界眩的数值，（3）第三类边界条件：规定了所研究的物理量及其外法向导数的线性组合在边界上的数值，第八章分离变数（傅里叶级数）法1．用分离变数法求定解问题20,(0)0,0()txxx xx x ltu a u xlu uu xϕ===⎧-=<<⎪==⎨⎪=⎩的解，其中)(xϕ为x的已知函数。

解：令bxx=)(ϕ设2．用分离变数法求定解问题20000,(0)0,0,0tt xx x x x x l t t t u a u x l u u u bx u ====⎧-=<<⎪⎪==⎨⎪==⎪⎩的解，其中b 为常数。

解：以分离变数形式的试探解 )()(),(t T x X t x u = 代入泛定方程和边界条件，得02=''-''T X a T X ⇒λ-≡''=''Ta T X X 2， 0=+''X X λ；02=+''T a T λ； ⎩⎨⎧==000)()(l X X ⎩⎨⎧===+''0)(,0)0(0l X X X X λ本征值：222l n n πλ=),3,2,1( =n ；本征函数：x l n c x X n πsin )(2= 将222l n n πλ=代入02=+''T a T λ，得0)()(2222=+''t T la n t T n n π 其通解为t lan B t l a n A t T n ππsin cos )(+= 本征解为：)()(),(t T x X t x u n n n =x ln t l a n B t l a n A n n πππsin )sin cos (+= ),3,2,1( =n一般解为：(,)u x t ∑∞=+=1n n nx ln t l a n B t l a n Aπππsin )sin cos( 0,00=∴==n t tB ubx x l n A n n ∑∞==1sin π ⎰=∴ln xdx l n x l b A 0sin 2π12(1)n bl n π+=-112(,)(1)cos sin n n bl n a n u x t t x n l l πππ∞+=∴=-∑3．求定解问题200sin ,(0)0,00t xx x x x x l t u a u t x l u u u ω===⎧-=<<⎪==⎨⎪=⎩的解解：令∑∞==cos)(),(n n x ln t T t x u πt x l n T l a n T n n n ωππsin cos )(02222=+'∑∞=t T ωsin 0='∴00cos 1A t T +-=ωω02222=+'n n T la n T π2222n a tl n n T C eπ-=00t u ==， (0)0n T ∴=0,10==∴n C A ω)cos 1(1),(t t x u ωω-=∴4．求定解问题⎪⎩⎪⎨⎧===<<=-===0,)0(,000002t l x x xx t u u u u u l x u a u 的解，其中0u 为常数。

解：设(,)(,)u w x t v x t =+ 000,xx x lv v u ====()()v A t x B t =+ 0)(,0)(u t A t B ==∴x u v 0=∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-====-===,0,000002x u w w w w a w t l x x x xx t 令01()2(,)()sin n n n x w x t T t l π∞=+=∑ 0)21(2222=++'n n T la n T π t l a n n n eC t T 2222)21()(π+-=∴22221()201()2(,)sin n a t l n n n xw x t C elππ+∞-=+∴=∑x u x l n C n n 00)21(sin -=+∑∞=π⎰+-=∴l nxdx l n xl u C 00)21(sin2π1220)1()21(2+-+=n n l u π∴所求的定解问题的解为22221()2100221()22(,)(1)sin1()2n a tn l n n xu lu x t u x e ln πππ+∞-+=+=+-+∑5．求定解问题2000000000,(0),,(),(0)tt xx x x l t t t u a u x l u u u u Iu u u x x x l δρ====⎧-=<<⎪⎪⎪==⎨⎪⎪==-<<⎪⎩的解，其中0u 、I 、ρ均为常数。

答设所求的定解问题的解为：第十章 球函数1．当r R <时，函数22cos 21rrR R +-θ以)(cos θl P 为基本函数族的广义傅里叶级数展开为)(cos 101θl P rR l l l∑∞=+2．已知1)(0=x P 、x x P =)(1、)13(21)(22-=x x P ，则2)(x x f =以)(x P l 为基本函数族的广义傅里叶级数为( D ).A ．)(232x PB ．)(32)(3121x P x P +C ．)(32)(3120x P x P +D ．以上都不对3．在球0r r =的内部求解0=∆u ，使满足边界条件θ2cos 0==r r u 。

已知1)(cos 0=θP ，θθcos )(cos 1=P ，)1cos 3(21)(cos 22-=θθP 解 定解问题为：这是一个关于极轴对称的拉氏方程的定解问题当有限所求的定解问题的解为4．半径为0r 的球形区域外部没有电荷，球面上的电势为20cos sin u θθ，0u 为常数，求球形区域外部的电势分布。

已知1)(cos 0=θP ，θθcos )(cos 1=P ，)1cos 3(21)(cos 22-=θθP，331(cos )(5cos3cos )2P θθθ=-。

解：⎪⎩⎪⎨⎧=>=∆=θ20cos )(,00r r u r r u∑∞=++=01)(cos )(l l l ll l P r B r A u θ∞→r u 有限 0=∴l A ∑∞=+=∴01)(cos l l l lP r B u θ)(cos 3231cos )(cos 20201θθθP P P rB l l l l+==∑∞=+300rB =∴)2,0(0,32302≠==l B rB l)(cos 32)(cos 3233000θθP rrP r r u +=∴5．在本来是匀强的静电场0E 中放置导体球，球的半径为0r ，求球外静电场的电势。