差分方程作业题
黄冈职业技术学院
宋进健 胡敏 熊梦颖
1．一对年轻夫妇准备购买一套住房，但缺少资金近6万元。

假设它们每月可有节余900元，且有如下的两种选择：
(1)使用银行贷款60000元。

月利率0.01，贷款期25年=300个月； (2) 到某借贷公司借贷60000元，月利率0.01，22年还清。

只要（i ）每半个月还316元，(ii) 预付三个月的款。

你能帮他们做出明智的选择吗？ 模型假设：
（1）银行及借贷公司在贷款期限内利率不变; （2）不考虑物价变化和经济等因素从而影响利率；
（3）银行利息按复利计算且单位时间可任意缩短至时间变量连续性变化 建立模型：
对第一种情况有: 设n 年期贷款月利率为r ，共贷款 元，贷款后第k 个月时欠款余额为 元，月还款m 元。

模型求解：
由MATLAB 得出结果m=631.9345 建立模型：
对第二种情况有: 设n 年期贷款半月利率为r ，共贷款A 0元，贷款后第k 个月时欠款余额为A k 元，半月还款m 元。

模型求解：
()()
011
1,k
k
k r A A r m k N
r
+-=+-∈1
0)1()1(300
300
300
-=
⇒=++r r A A
r m N
k m r A
A
k
K ∈-+=+,)
1(1
N
k m r A
A
k
K ∈-+=+,)
1(1
()()
011
1,k
k
k r A A r m
k N
r
+-=+-∈1
0)1()1(528
528
528
-=
⇒=++r r A A
r
m A k A 0
由MATLAB 得出结果m= 313.0038
模型分析：由第一种方式计算m=631.9345小于月节余额900元，能够承受月还款；由第二种方式计算m= 313.0038小于借贷公司要求没半个月还款316元，如果按照借贷公司要求则每月还款为632元大于第一种还款方式631.9345元，故选择第一种还款方式。

2. 在一城市的某商业区内，有两家有名的快餐店“肯德基”分店和“麦当劳”分
店。

据统计每年“肯德基”保有其上一年老顾客的1/3，而另外的2/3顾客转移到“麦当劳”；每年“麦当劳”保有其上一年的老顾客的1/2，而另外的1/2顾客转移到“肯德基”。

用二维向量X k =[x k y k ]T 表示两个快餐店市场分配的情况，初始的市场分配为X 0 = [200 200]T
如果有矩阵L 存在，使得 X k +1 = LX k ，则称 L 为状态转移矩阵。

（1） 写出X k =[x k y k ]T 和X k+1=[x k +1 y k +1]T 的递推关系式，以及状态转移矩阵L 。

（2） 根据递推关系计算近几年的市场分配情况；
模型假设：
（1） 当前的肯德基和麦当劳的市场份额继续不变。

（2） 肯德基和麦当劳不推出优惠活动和新的经营计划。

模型建立：
初始的市场分配数量为：200,2000
0==y x
以一年为一时间段，则某时刻两个快餐店的顾客数量可用向量]
,[1
1y x T
X =表
示。

用向量]
,[y x X k
k T
k =表示第K 年两个快餐店顾客数量分布。

⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+
=
+
=
++x
y
y
y x
x k
k
k k
k
k 3
22
121311
1
模型求解：
故X k =[x k y k ]T
和X k+1=[x k +1
y k +1]T 的递推关系式为⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨
⎧
+
=+
=++x
y
y y x
x k
k
k k
k
k 3
221
21311
1，状
态转移矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎢⎣⎡=3221213
1
L
由初始数据计算近几年的市场分配情况，MATLAB 程序如下：
x0=[200;200];
L=[1/3,1/2; 1/2,2/3]; X=x0;
x(1)=X(1);y(1)=X(2); for k=2:6 X=L*X;
x(k)=X(1);y(k)=X(2); end t=0:5;
figure,bar(t,x), figure,bar(t,y) 运行结果如下：
1
2
3
4
5
20406080100120140160180
200
肯德基五年内市场分配情况
012345
50
100
150
200
250
300
麦当劳五年内市场分配情况。