对于非本征掺杂与小注入条件的情况，对于上述非线性的 双极输运方程，我们可以利用非本征半导体材料和小注入 条件来对其进行简化和线性化处理。
根据前面的推导，双极扩散系数D’可表示为：
D' DnDp[(n0 n) ( p0 p)] Dn (n0 n) Dp ( p0 n)
考虑P型半导体材料则： p0 n0
Lp
LP
所以对厚样品可得： A ( p)0 B 0
所以：
p(x)
p0
exp(
x Lp
)
p(x)
p0
exp(
x Lp
)
△p po
该式说明非平衡载流子向内部按指数衰减
当 x=Lp时 p p0
p0 e
e
非平衡载流子的平均扩散距离为
0
Lp x
x
xp(x)dx
0
p(x)dx
x exp(
x
)dx
5.391013 s
在4τd时间后，即4ps，
可基本达到电荷平衡，即净 (0)
电荷为0，与过剩载流子寿 命（约0.1µ s）相比，该过 程非常迅速。这证明了准电
中性条件是非常容易实现的。 (0)
e
0τ
t
双极输运方程的应用
下面用双极输运方程来讨论一些具体的实例， pn结等半导体器件 所遇到的工作状态与这些例子设定的条件是相似的，是我们随后学 习pn结以及相关器件的基础
对电流方程求散度，并利用泊松方程：
J E
代入连续性方程：
d t dt
d
dt
0
该方程容易解得：
t 0et /d
d
介电常数
电导率
介质驰豫时间常数
例6.6 n型Si掺杂浓度为1016，计算该半导体的介电驰豫常数。
解：
d
11.7
8.851014 1.92
t
上式通常称为双极输运方程，它描述了过剩电子 浓度和过剩空穴浓度随着时间和空间的变化规律，
。 其中： D’和μ’分别称为双极扩散系数和双极迁移 率
D' nnDp p pDn nn p p
' np ( p n) nn p p
根据扩散系数和迁移率之间的爱因斯坦关系
n p e
Dn Dp kT
pt
同理，电子的一维连续性方程：
n t
Fnx x
gn
n
nt
半导体内载流子的 流密度由什么过程
提供？
输运电流
空穴和电子的输运电流密度：
J p e p
r pE
eDp
p x
Jn
r
ennE
eDn
n x
显然，粒子流密度（个/cm2s) 和电流密度(电荷量/cm2s）
有如下关系：
Fp
Jp e
r
p pE Dp
在这种情况下，决定过剩载流子浓度随时间变化的方程主要有三个，第一个
是泊松方程，即：
E
式中ε为半导体材料的介电常数。其次是电流密度方程
J E
上式中σ为半导体材料的电导率。最后一个是连续性方程， 忽略产生和复合之后，连续性方程变换为：
J
t
上式中的ρ就是净的电荷密度，其初始值为e(δp)，可以假设δp 在表面附近的一个区域内是均匀的。
同样如果我们考虑的是一块N型半导体材料并假定 n0>>p0，仍然采用小注入条件，即δn<<n0，与上 述分析类似，此时双极扩散系数可简化为
D ' Dp
再将上述条件应用于双极迁移率的公式，同样可以得 到：
' p
由此可见对于N型半导体材料和小注入条件，双极扩 散系数和双极迁移率同样也分别简化为少数载流子空穴 的扩散系数和迁移率，它们也都为常数，因此双极输运 方程也简化为一个系数为常数的线性微分方程。
Dp
2 p
x2
pE
p
x
g'
p p0
p
t
式中δp是过剩少数载流子空穴的浓度，而τp0则是小注入条件下少数载流 子空穴的寿命。所有参数为少子参数
介质弛豫时间常数
准电中性的条件的验证—— p n
已知一块均匀掺杂的N型半导体材料，在其一端的表面附近区 域突然注入了均匀浓度的过剩空穴δp，且该位置还没有对应的过 剩电子δn与其匹配，则此时就有多余的正电荷，那么电中性状态 是否可以实现？需要多长时间才能实现？
设一束空穴粒子，在x处进入 微分元，在 X+dx处穿出
F 为空穴粒子流密度，单 px 位: 个/cm2.s
若 Fpx x Fpx x dx
基于电荷守恒定律，微分体积 元中的空穴量将随时间增加
将x+dx处的粒子流密度进行泰勒展开，只取至一阶
项得：
Fpx
x
dx
Fpx
x
Fpx x
dx
则由于粒子流引起在单位时间内微元体积内粒子 数的净增加量为：
Dp
d 2 p
dx2
p p0
0
x
x
通解: p(x) Ae Lp BeLp
扩散长度： Lp Dp p0
根据不同典型样品，求解稳态扩散方程：
（1）样品足够厚W>>Lp ：
若x=0处，光注入(p)0
hν
x 0 p(0) ( p)0
在对面界面上，p=0，相当于：
x
p() A exp( ) B exp( ) 0 W＞＞Lp
gn'
g
' p
g'
在小注入条件下，少数载流子的寿命通常是一个常数，因此
对于P型半导体材料来说，小注入条件下的双极输运方程可表
示为：
Dn
2 n
x2
r
n E
n
x
g'
n n0
n
t
式中δn是过剩少数载流子电子的浓度，而τn0则是小注入条件下少数载流 子电子的寿命，所有参数为少子参数
同理对于N型半导体材料来说，小注入条件下的双极输运方 程同样可表示为：
p t
dxdydz
Fpx
x
Fpx
x
dx
dydz
Fpx dxdydz x
如果在该体积元内还存在粒子的产生和复合过程，则总
的粒子数增加量：
p t
dxdydz
Fpx x
dxdydz
g pdxdydz
p
pt
dxdydz
方程两侧除以微元体积，得到单位时间空穴浓度的净增加量
p t
Fpx x
gp
p
因此可以假设准中性条件，即在不同位置上：
n p
一般情况下，半导体中的电子和空穴总是成对产生的，因此 电子和空穴的产生率总是相等的，即：
gn gp g
此外，电子和空穴也总是成对复合的，因此电子和空 穴的复合率也总是相等的，即：
Rn
n
nt
Rp
p
pt
R
利用上述条件，我们可以把电子和空穴与时间相关的两个扩散方程进一步
所谓小注入条件，即： n p0
假设Dn、Dp处于同一个数量级，双极扩散系数可简化为：
D ' Dn
再将上述条件应用于双极迁移率的公式，同样可以得 到：
' n
由此可见对于P型半导体材料和小注入条件，双极扩 散系数和双极迁移率分别简化为少数载流子电子的扩散 系数和迁移率，它们都为常数，因此双极输运方程也简 化为一个系数为常数的线性微分方程。
D'
2 n
x2
'E
n
x
g
R
n
t
对于双极输运方程来说，分析剩余的两项就是产生率和
复合率。
对于P型半导体材料来说，则有：
g
R
g
' n
n
n
而对于N型半导体材料来说，则有：
g
R
g
' p
p p
其中τn和τp分别是过剩电子和过剩空穴的寿命，通常也将其 称为过剩少数载流子的寿命。
过剩电子的产生率和过剩空穴的产生率必须相等，我们可以 将其定义为过剩载流子的产生率，即：
则 D' DnDp (n p) ' np ( p n)
Dnn Dp p
nn p p
由上述公式可见，双极扩散系数D’和双极迁移率μ’均为载流子浓度的 函数，又因为载流子浓度n、p中都包含了过剩载流子的浓度δn ，因 此双极输运方程中的双极扩散系数和双极迁移率都不是常数，由此可 见，双极输运方程是一个非线性的微分方程。
半导体物理与器件
陈延湖
6.2 过剩载流子的性质
过剩载流子支配着半导体器件的电气属性，其运 动规律是半导体器件工作的基础，影响其运动规 律的机制包括：
电场下的漂移运动 浓度梯度下的扩散运动 产生：光致，电致 复合：直接复合，间接复合等
基于以上因素的影响，半导体中的过剩载流子浓 度是时间和空间坐标的函数。
gn
nt
对于一维情况
r pE
r E
p
p
r E
r nE
r E
n
n
r E
x
x x x
x x
最终得到电子和空穴的连续性方程可表示为（又称与时间有
关的扩散方程）：
Dp
2 p x2
p
r E
p x
r
E
p
x
gp
p
pt
p t
Dn
2n x2
n
r E
n x
n
r E xΒιβλιοθήκη gnnnt
n t
6.3 双极输运过程
在有外加电场存在的情况下，在半导体材料中的某处产生的过剩电子 和空穴，那么过剩电子和空穴就会在外加电场的作用下朝着相反的方 向漂移，由于这些过剩电子和空穴都是带电的载流子，因此其空间位 置上的分离，就会在这两类载流子之间感应出内建电场