2
2
三、解答题
2
3－2x
10．设函数 f（x）＝
＋ lg
，
3x＋5 3＋2x
（1）求函数 f（x）的定义域；（2）判断函数 f（x）的单调性，并给出证明；
（3）已知函数 f（x）的反函数 f－1（x），问函数 y＝f－1（x）的图象与 x 轴有交点吗?若有，求出交
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2
A．（1，＋∞）
B．（2，＋∞） C．（－∞，2）
D． (1，2]
解析：要保证真数大于 0，还要保证偶次根式下的式子大于等于 0，
x－1＞0
所以
log
1 2
( x－1)
0
解得
1＜x≤2． 答案：D
2．函数 y＝ log 1 （x2－3x＋2）的单调递减区间是（ ）
2
A．（－∞，1）
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第一篇、复合函数问题
一、复合函数定义： 设 y=f(u)的定义域为 A，u=g(x)的值域为 B，若 A B，则 y 关于 x 函数的 y=f
［g(x)］叫做函数 f 与 g 的复合函数，u 叫中间量. 二、复合函数定义域问题： （一）例题剖析：
(1)、已知 f ( x) 的定义域，求 f g( x) 的定义域
例 4.
已知
f (x2
4)
lg
x2 x2
8
，则函数
f
(x)
的定义域为______________。
解析：先求 f 的作用范围，由
f (x2
4)
lg
x2
x2
，知
x2 8 x2 8
0
f ( x) 的定义域为
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(4， )
（3）、已知 f g(x) 的定义域，求 f h(x) 的定义域
3
（x）＝2x－x2 在（0，1）上单调递增，则 f［ （x）］在（0，1）上单调递减； （x）＝2x－x2 在（1，2）上单调递减，则 f［ （x）］在［1，2）上单调递增．
所以 f（2x－x2）的单调递减区间为（0，1）． 答案：（0，1）
1
8．已知定义域为 R 的偶函数 f（x）在［0，＋∞］上是增函数，且 f（ ）＝0，
思路：设 f g( x) 的定义域为 D，即 x D ，由此得 g( x) E ， f 的作用范围为 E，又 f 对 h( x) 作用，作用范围不变，所以 h( x) E ，解得 x F ，F 为 f h( x) 的定义域。
例 5. 若函数 f (2 x ) 的定义域为 1，1 ，则 f (log2 x) 的定义域为____________。

3
B．（2，＋∞） C．（－∞， ）
2
3
D．（ ，＋∞）
2
解析：先求函数定义域为（－o，1）∪（2，＋∞），令 t（x）＝x2＋3x＋2，函数 t（x）在（－∞，1）
上单调递减，在（2，＋∞）上单调递增，根据复合函数同增异减的原则，函数 y＝ log 1 （x2－3x＋2）在（2，＋
2
∞）上单调递减．答案：B
1－x
1－x
1－x
为奇函数．答案：C
二、填空题
已知 y＝ log a （2－ax）在［0，1］上是 x 的减函数，则 a 的取值范围是__________．
解析：a＞0 且 a≠1 （x）＝2－ax 是减函数，要使 y＝ log a （2－ax）是减函数，则 a＞1，又 2－ax＞
0 a＜ 2 （0＜x＜1） a＜2，所以 a∈（1，2）． 答案：a∈（1，2） 3
函数），则复合后的函数 y f (g(x)) 为减函数。
（4）例题演练
例 1、 求函数 y log 1 (x 2 2x 3) 的单调区间，并用单调定义给予证明
2
解 ： 定 义 域 x2 2x 3 0 x 3或x 1。 单 调 减 区 间 是 (3,)
设
x1, x2 (3,)且x1 x2 则 y1 log 1 (x12 2x1 3)
1
7．函数 f（x）的图象与 g（x）＝（ ）x 的图象关于直线 y＝x 对称，则 f（2x－x2）的单调递减区
3
间为______．
解析：因为 f（x）与 g（x）互为反函数，所以 f（x）＝ log 1 x
3
则 f（2x－x2）＝ log 1 （2x－x2），令 （x）＝2x－x2＞0，解得 0＜x＜2．
证明：在区间 (a, b ）内任取两个数 x1, x2 ，使 a x1 x2 b 因为 u g(x) 在区间 (a, b ）上是减函数，所以 g(x1 ) g(x2 ) ,记 u1 g(x1 ) , u2 g(x2 ) 即 u1 u2,且u1, u2 (c, d ) 因为函数 y f (u) 在区间(c,d)上是减函数，所以 f (u1 ) f (u2 ) ,即 f (g(x1 )) f (g(x2 )) ， 故函数 y f (g(x)) 在区间 (a, b ）上是增函数.
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4．若定义在区间（－1，0）内的函数 f（x）＝ log 2a （x＋1）满足 f（x）＞0，则 a 的取值范围为（ ）
1
1
1
A．（0， ） B．（0， ） C．（ ，＋∞）
2
2
2
D．（0，＋∞）
解析：因为 x∈（－1，0），所以 x＋1∈（0，1）．当 f（x）＞0 时，根据图象只有 0＜2a＜l，解得 0＜a＜
思路：设函数 f ( x) 的定义域为 D，即 x D ，所以 f 的作用范围为 D，又 f 对 g(x) 作用，作用范
围不变，所以 g(x) D ，解得 x E ，E 为 f g(x) 的定义域。
例 1. 设函数 f (u) 的定义域为（0，1），则函数 f (ln x) 的定义域为_____________。
2
y2 log 1 (x22 2x2 3)
2
(x12 2x1 3) (x22 2x2 3) = (x2 x1 )(x2 x1 2) ∵ x2 x1 3
∴ x2 x1 0
x2 x1 2 0 ∴ (x12 2x1 3) > (x22 2x2 3)
又底数 0 1 1 2
若
x
1 3
，∵ u
3x2
2x
1 为减函数.∴
f
(x)
loga(3x2
2x
1)
为减函数。
当 0 a 1时 ， 若
x 1， 则
f (x) loga(3x2 2x 1) 为 减 函 数 ， 若
x1， 则 3
f (x) loga(3x2 2x 1) 为增函数.
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（5）同步练习：
1
（根据本节思维过程中第四条提到的性质）．答案：A
2
2
5．函数 y＝ lg （
－1）的图象关于（ ）
1－x
A．y 轴对称 B．x 轴对称 C．原点对称 D．直线 y＝x 对称
2
1＋x
1＋x
1＋x
解析：y＝ lg （
－1）＝ lg
，所以为奇函数．形如 y＝ lg
或 y＝ lg
的函数都
1－x
解析：函数 f (u) 的定义域为（0，1）即 u (0，1) ，所以 f 的作用范围为（0，1） 又 f 对 lnx 作用，作用范围不变，所以 0 ln x 1 解得 x (1，e) ，故函数 f (ln x) 的定义域为（1，e）
例 2. 若函数 f ( x) 1 ，则函数 f f ( x) 的定义域为______________。
2
则不等式 f（log4x）的解集是______．
1
1
解析：因为 f（x）是偶函数，所以 f（－ ）＝f（ ）＝0．又 f（x）在［0，＋∞］上是增函数，
2
2
所以 f（x）在（－∞，0）上是减函数．所以 f（log4x）＞0 log4x＞ 1 或 log4x＜－ 1 ．
2
2
1
1
解得 x＞2 或 0＜x＜ ． 答案：x＞2 或 0＜x＜
（2）．复合函数单调性的判断
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复合函数的单调性是由两个函数共同决定。为了记忆方便，我们把它们总结成一个图表：
y f (u)
增↗
减↘
u g(x)
增↗
减↘
增↗
减↘
y f (g(x))
增↗
减↘
减↘
以上规律还可总结为：“同向得增，异向得减”或“同增异减”.
（3）、复合函数 y f (g(x)) 的单调性判断步骤：
点坐标；若无交点，说明理由．
解析：
f
(2 x ) 的定义域为
1，1
，即 x
1，1
，由此得 2 x
1 2
，2
f
1 的作用范围为 2
，2 又
f 对 log2
x
作用，所以 log2
x
1 2
，2
，解得
x
2，4
即 f (log2 x) 的定义域为 2，4
（二）同步练习：
1、 已知函数 f (x) 的定义域为[0, 1] ，求函数 f (x 2 ) 的定义域。答案：[1, 1] 2、 已知函数 f (3 2x) 的定义域为[3, 3] ，求 f (x) 的定义域。答案：[3, 9] 3、 已知函数 y f (x 2) 的定义域为 (1, 0) ，求 f (| 2x 1|) 的定义域。答案：
∴ y2 y1 0
即 y2 y1 ∴ y 在 (3,) 上是减函数 同理可证： y 在 (,1) 上是增函数
［例］2、讨论函数 f (x) loga(3x2 2x 1) 的单调性.
［解］由 3x2 2x 1 0 得函数的定义域为{x | x 1,或x 1}. 3