1. 设数列{a n }的前n 项和S n =na ＋n （n-1）b （n=1、2，…）a 、b 是常数，且b ≠0． （1）证明{a n }是等差数列． （2）证明以（a n ，Snn-1）为坐标的点P n 都落在同一条直线上，并写出此直线的方程。

(1)略；(2)x-2y ＋a-2=0.2.设f(n)=1+12131+++Λn，是否存在g(n)使等式f(1)＋f(2)…＋f(n-1)=g(n)f(n)-g(n)对n ≥2的一切自然数都对立，并证明你的结论。

答：g(n)=n3.已知一个圆内有n 条弦，这n 条弦中每两条都相交于圆内的一点，且任何三条不共点，试证：这n 条弦将圆面分割成1+n 21+n 21=)n (f 2个区域。

答：n=k+1时，第k+1条弦被前k 条弦分成k+1段，∴增加了k+1个区域，故共有223211)(2++=++k k k k f 个区域。

此时，22321)1(2++=+k k k f .4. 已知数列{a n }满足条件：a 1=1，a 2=r ，(r>0)且{a n a n+1}是公比为q(q>0)的等比数列，设b n =a 2n-1＋a 2n (n=1，2，…)，(1)求出使不等式a n a n+1＋a n+1a n+2>a n+2a n+3(n ∈N)成立的q 的取值范围； (2)求b n 和limn nS →∞1，其中S n =b 1＋b 2＋…＋b n ；(3)设r=219.2-1，q=12，求数列{n21+n 2b log b log }的最大项与最小项的值。

答：(1)(0，152+)； (2)b n =(1＋r)q n-1，lim n n S →∞1⇒110101-+<<≥⎧⎨⎪⎩⎪qr q q ()()；(3)当n=20时，最小项为-4，当n=21时，最大项为2.255. 设等差数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 3=12, S 12＞0,S 13＜0. (Ⅰ)求公差d 的取值范围；(Ⅱ)指出S 1,S 2,…,S 12,中哪一个值最大,并说明理由. 解： (Ⅰ)依题意,有 02)112(1212112>•-⨯+=d a S02)113(1313113<•-⨯+=d a S ，即⎩⎨⎧<+>+)2(06)1(011211d a d a 由a 3=12,得 a 1=12－2d (3)将(3)式分别代入(1),(2)式,得 ⎩⎨⎧<+>+030724d d ，∴3724-<<-d .(Ⅱ)由d ＜0可知 a 1＞a 2＞a 3＞…＞a 12＞a 13.因此,若在1≤n ≤12中存在自然数n,使得a n ＞0,a n+1＜0, 则S n 就是S 1,S 2,…,S 12中的最大值.由于 S 12=6(a 6+a 7)＞0, S 13=13a 7＜0，即 a 6+a 7＞0, a 7＜0.由此得 a 6＞－a 7＞0.因为a 6＞0, a 7＜0,故在S 1,S 2,…,S 12中S 6的值最大.6. 有两个无穷的等比数列{n a }和{n b },它们的公比的绝对值都小于1,它们的各项和分别是1和2,并且对于一切自然数n,都有n n b a =2,试求这两个数列的首项和公比.解：设首项分别为a 和b,公比q 和r. 则有1,1〈〈r q .依据题设条件,有q a -1=1,① rb-1=2,② ()121--=n n br aq ,③ 由上面的①,②,③ 可得(1－q)222-n q =2(1－r)1-n r .令n=1,有(1－q)2=2(1－r),④设n=2.则有(1－q)2q 2=2(1－r)r,⑤ 由④和⑤,可得q 2=r,代入④ 得(1－q)2=2(1－q 2).由于q ≠1,∴有q=31-,r =91.因此可得a=1－q=34,b=2(1－r)=916. ∴⎪⎩⎪⎨⎧-==3134q a 和⎪⎩⎪⎨⎧==91916r b 经检验,满足nn b a =2的要求.7. 已知数列{n a }的前n 项和31=n S n(n ＋1)(n ＋2),试求数列{n a 1}的前n 项和.解：n a =n S －1-n S =31n(n ＋1)(n ＋2)－31(n －1)n(n ＋1)=n(n ＋1).当n=1时，a 1=2,S 1=31×1×(1＋1)×(2＋1)=2,∴a 1= S 1.则n a ＝n(n ＋1)是此数列的通项公式。

∴)111()3121()211()1(143132*********+-++-+-=+++⨯+⨯+⨯=++n n n n a a a n ΛΛΛ＝1－11+n ＝1+n n.8. 有两个各项都是正数的数列{n a },{n b }.如果a 1=1,b 1=2,a 2=3.且n a ,n b ,1+n a 成等差数列,n b ,1+n a ,1+n b 成等比数列,试求这两个数列的通项公式.解：依据题设条件,有⎪⎩⎪⎨⎧=+=+++111)(21n n n n n n b b a a a b 由此可得)(2111+-+=n n n n n b b b b b =)(2111+-+n n n b b b .∵n b ＞0,则211+-+=n n n b b b 。

∴{n b }是等差数列.∴n b =2)1(2+n .又 •==-2212n b b a n n n2)1(2+n =22)1(⎥⎦⎤⎢⎣⎡+n n , ∴n a =)1(21+n n9. 数列{n a }是首项为23，公差为整数的等差数列，且前6项为正，从第7项开始变为负的，回答下列各问：(1)求此等差数列的公差d;(2)设前n 项和为n S ,求n S 的最大值; (3)当n S 是正数时,求n 的最大值.解：(1)由a 6=23＋5d ＞0和a 7=23＋6d ＜0,得公差d=－4.(2)由a 6＞0,a 7＜0,∴S 6最大, S 6=8.(3)由a 1=23,d=－4,则n S =21n(50－4n),设n S ＞0，得n ＜12.5,整数n 的最大值为12.10. 已知等差数列lgx 1,lgx 2,…,lg n x ,…的第r 项为t,而第t 项为r,(0＜r ＜t),试求x 1＋x 2＋…＋n x .解：设n S ＝x 1＋x 2＋…＋n x ，依据条件，x 1，x 2，…，n x 成等比数列，设n x ＝x 11-n q ，由t=lgx 11-r q和r=lgx 11-t q,可得q=110-, x 1=110-+t r .∴x 1＋x 2＋…＋n x =91×n t r -+10)110(-n11.已知数列{n a }是等差数列,其中每一项及公差d 均不为零,设2122++++i i i a x a x a =0(i=1,2,3,…)是关于x 的一组方程.回答：(1)求所有这些方程的公共根; (2)设这些方程的另一个根为i m ,求证111+m ,112+m ,113+m ,…, 11+n m ,…也成等差数列.解：(1)设公共根为p,则02212=++++i i i a p a p a ①023221=+++++i i i a p a p a ②则②-① ,得dp 2+2dp+d=0,d ≠0为公差,∴(p ＋1)2=0.∴p=－1是公共根.(直接观察也可以看出公共根为－1).(2)另一个根为i m ,则i m ＋(－1)=i i i a d a a 2221--=-+.∴i m +1=ia d2- 即d a m i i 211-=+,易于证明{11+i m }是以－21为公差的等差数列.12.已知圆C ：x 2＋(y －1)2=1和圆C 1：(x －2)2＋(y －1)2=1,现在构造一系列的圆C 1,C 2,C 3,…,n C …,使圆1+n C 与n C 和圆C 都相切,并都与OX 轴相切.回答： (1)求圆n C 的半径n r ;(2)证明：两个相邻圆1-n C 和n C 在切点间的公切线长为21nC ;(3)求和)111(lim 22322nn C C C +++∞→Λ. 解：(1)在直角梯形OD 1-n C C 中,AC=1－n r ,C n C =1＋n r ,C 1-n C =1＋1-n r ,n C 1-n C =n r ＋1-n r .1-n C B=1-n r －n r .∴有()()()()()()21212121221111------+=--++--+n n n n n n n n r r r r r r r r ,∴11444--=+n n n n r r r r .即11--=-n n n n r r r r .由此可得1111=--n n r r .∴{nr 1}成等差数列, r 1=1.∴n n r r n =⨯-+=1)1(111,∴21n r n =.(2)公切线长为()()2121211)1(22nn n n n n n C n n r r r r r r =-==--+---.(3)++232211C C …)11(212n C n -=+.∴极限值为2.13. 设数列{n a }的前n 项和n S .已知首项a 1=3,且1+n S +n S =21+n a ,试求此数列的通项公式n a 及前n 项和n S .解：∵a 1=3, ∴S 1=a 1=3.在S n+1＋S n =2a n+1中,设n=1,有S 2＋S 1=2a 2.而S 2=a 1＋a 2.即a 1＋a 2＋a 1=2a 2.∴a 2=6. 由S n+1＋S n =2a n+1,……(1) S n+2＋S n+1=2a n+2,……(2) (2)－(1),得S n+2－S n+1=2a n+2－2a n+1，∴a n+1＋a n+2=2a n+2－2a n+1 即 a n+2=3a n+1此数列从第2项开始成等比数列,公比q=3.a n 的通项公式a n =⎩⎨⎧≥⨯=-.2,32,1,31时当时当n n n 此数列的前n 项和为S n =3＋2×3＋2×32＋…＋2×3n – 1=3＋13)13(321--⨯-n =3n.14. 在边长为a 的正方形A 1B 1C 1D 1内,依次作内接正方形i i i i D C B A (i=1,2,3,…),使相邻两个正方形边之间夹角为α,α∈(0,2π) (1)求第n 个内接正方形面积;(2)求所有这些内接正方形面积的和.解：(1)设第i 个正方形的边长为a i ,且B i B i+1=x.是a i+1=αsin x[1],αctg x x a i =+[2],由[1]和[2]消去x,得a i+1=i a ααcos sin 1+.∴数列{a i }成等比数列.a 1=a.即a n =a 1cos sin 1-⎪⎭⎫ ⎝⎛+n αα .∴第n 个正方形面积S n =a n 2=a 222cos sin 1-⎪⎭⎫ ⎝⎛+n αα.(2)S=αα2sin )2sin 1(2+a .15. 设有无穷数列{n a },满足a 1=1, n a =1134----n n a a (n ≥2).试回答：(1)求出a 2,a 3,a 4,并猜出n a ,利用数学归纳法加以证明;(2)求n n a ∞→lim 提示：可猜a n =nn 12-.(以下略)16. 平面上有n 个圆,其中任意两圆都相交,任意三圆不共点,试推测n 个圆把平面分为几部分?用数学归纳法证明你的结论.答：n 2－n ＋217. 已知f(x)=92-x (x ≤－3),若a 1=211u u +,a 2=321u u +,…,a n =11++n n u u ,…,求数列{a n }的前n 项的和S n .答：S n =)119(91-+n18. 设有前n 项和为1+n n的数列,将它的第n 项的倒数作为新数列的第n 项(n=1,2,…).试求此新数列的前n 项的和. 答：b n =n(n ＋1);S n =31n(n ＋1)(n ＋2)19. 已知f(x)=92-x (x ≤－3),若u 1=1,u n =－f –1(u n –1)(n ≥2),试归纳出u n 的表示式,并用数学归纳法证明.答：u n =89-n (n ∈N)20. 在数列{a n }中,a 1=1,对于任意自然数n,当a n 为有理数时,a n+1=n a 22;当a n 为无理数时,a n+1=2a n －(22)n. (1)求a 2、a 3、a 4;(2)猜想{a n }的通项公式并证明;(3)求∞→n lim (a 1＋a 2＋…＋a n ). 答：(1)42,21,22;(2)a n =(22)n –1;(3)2＋2.21. 是否存在常数a 、b 、c 使等式ncbn an n n n n ++=+++2333)()2()1(Λ对一切n ∈N 成立?证明你的结论.答：a=41,b=21,c=4122. 已知数列{a n }、{b n }中,a 1=b 1=1,a n =a n –1＋2,b n =21b n –1(n ≥2).设S n =a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ,求S n 及n n S ∞→lim .答：S n =6－1232-+n n ;623. 设数列{a n }的前n 项和S n 可表示为S n =1＋ra n (r ≠1),求适合n n S ∞→lim =1的r 的范围. 答：r ＜2124. 设数列a 1,a 2,…,a n ,…的前n 项的和S n 与a n 的关系是S n =－ba n ＋1－nb )1(1+,其中b 是与n 无关的常数,且b ≠－1.(1)求a n 和a n-1的关系式;(2)用n 和b 表示a n 的表达式; (3)当0＜b ＜1时,求n n S ∞→lim 的值.答：(1)a n =bb+1a n –1＋1)1(++n b b (n ≥2);(2)a n =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≠+--+++)1(2)1()1)(1(111b n b b b b b n n n ; (3)125. 设等差数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 3=12,S 12＞0,S 13＜0, (1)求公差d 的取值范围;(2)指出S 1,S 2,…,S 12中哪个最大,并说明理由. 答：(1)－3724-<<d ;(2)S 626. 设数列1,2,4,…前n 项之和是S n =a ＋bn ＋cn 2dn 3,求这个数列的通项a n 并确定a 、b 、c 、d 之值.答：a=0,b=65,c=0,d=61;a n =21(n 2－n ＋2)27. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ,满足lgS n ＋(n －1)lgb=lg(b n+1＋n ＋2)(b ＞0,b ≠1). (1)求数列通项a n ;(2)若对于任意n ≥2的自然数恒有a n+1＞a n ,求b 的取值范围.答：(1)a n =⎪⎩⎪⎨⎧≥-+-=+-)2(2)1()1(312n b b n b n b n ;(2)0＜b ＜1或b ＞3528. 数列{a n }的前n 项和S n =10n －n 2(n ∈N),数列{b n }的每一项都有b n =|a n |,求{b n }的前n 项之和.答：S n =⎩⎨⎧≥+-≤-)6(5010)5(1022n n n n n n29. 设圆C 的方程为x 2＋y 2－2x(θθcos 1cos 1+-)－2ytg 2θ＋(θθcos 1cos 1+-)2=0,式中θ是实数且0＜θ＜π.设θ1、θ2、θ3都是区间(0,π)内的实数,且θ1、θ2、θ3为公差不为零的等差数列,当θ依次取θ1、θ2、θ3时,所对应的圆C 的半径依次为r 1、r 2和r 3.试问r 1、r 2、r 3能否成等比数列?为什么?答：不能 ∴Q 1 Q 2 Q 3不等30. 已知数列{a n }的前n 项和的公式是S n =12π(2n 2＋n).求证{a n }是等差数列,并求出它的首项和公差. 答：a 1=4π,d=3π31. 已知正数数列{a n }的前n 项和S n 满足2411+a S ＋2422+a S ＋…＋24+n n a S =S n ,求a n 与S n . 答：a n =2n,S n =n 2＋n32. 设各项均为正数的无穷数列{a n }和{b n },满足如下条件：对于任意自然数,都有a n 、b n 、a n+1成等差数列,b n 、a n+1、b n+1成等比数列. (1)求证：数列{n b }是等差数列;(2)试比较a n 与b n 的大小并证明之. 答：(2)a n ≤b n33. 已知数列{a n }、{b n }中：a n =2n,b n =3n ＋2,它们的公共项由小到大组成数列{c n }. (1)证明{c n }是等比数列;(2)若x n =nc 1,求{x n }各项的和. 答：(1)C n =814-•n (证明略);(2)6134. 设{a n }是正数组成的数列,其前n 项和S n ,并且对于所有的自然数n,a n 与2的等差中项等于S n 与2的等比中项.(1)写出数列{a n }的前三项; (2)求{a n }的通项公式; (3)若b n =)(2111+++n n n n a a a a (n ∈N),求∞→n lim (b 1＋b 2＋…＋b n －n).答：(1)2,6,10;(2)a n =4n －2;(3)1.35. 已知数列{a n }中,a 1=53,a 2=10031,且数列{a n+1－101a n }是公比为21的等比数列,数列{log(a n+1－21a n )}是公差为－1的等差数列,求{a n }的通项公式. 答：)10121(2511++-n n36. 求和：S n =2＋(x ＋y 1)(x 2＋21y )＋…＋(x n＋n y1). 答：S n =⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧==+=≠++--≠=--++≠≠--+--++++)1,1)(1(2)1,1(111)1,1()1(11)1,1()1(1111111y x n y x n x x y x y y y n y x y y y x x n n n n n n37. 设首项为a 、公比为q(a 、q ∈R +)的等比数列,它的前n 项和为80,而其中最大一项为54,前2n 项的和为6560,试求此数列第23n项的值. 答：q=3,a=2,n=4,23n a =a 6=48638. 已知a ＞0,a ≠1,数列{a n }是首项为a 、公比也为a 的等比数列.令b n =a n lga n (n ∈N), (1)求数列{b n }的前n 项的和S n ; (2)当a ＞1,求nnn b S ∞→lim;(3)若数列{b n }的每一项总小于它后面一项,求a 的取值范围.答：(1)S n =2)1(lg a a a -[1－(1＋n －na)a n];(2)1-a a ;(3)a ＞1或0＜a ＜2139. 设{a n }等差数列,(1)已知a 1=1,求公差d,使a 1a 3＋a 2a 3最小; (2)已知a 7=9,求公差d,使a 1a 2a 7最小. 答：(1)d=－45;(2)d=203340. 数列{a n }的首项a 1=b(b ≠0),它的前n 项和S n =a 1＋a 2＋…＋a n (n ≥1),并且S 1,S 2,…,S n ,…是一个别等比数列,其公比为p(p ≠0且|p|＜1).(1)证明a 2,a 3,…,a n ,…(即数列{a n }第2项起)是一个等比数列; (2)设W n =a 1S 1＋a 2S 2＋…＋a n S n (n ≥1),求n n W ∞→lim (用b,p 表示).答：(1)a n =bp n-2(p －1)(n ≥2);(2)pb +1241.已知数列{a n }的通项公式是2)1(1+=n a n ，(n ∈N)，记b n =(1－a 1)(1－a 2)…(1－a n )(1)写出数列{b n }的前三项；(2)猜想数列{b n }通项公式，并用数学归纳法加以证明； (3)令p n =b n －b n ＋1，求)(lim 21n n p p p +⋯++∞→的值。