2007 18．（本小题满分12分）如图，A B C D ，，，为空间四点．在ABC △中，2AB AC BC ===，ADB 以AB 为轴运动．（Ⅰ）当平面ADB ⊥平面ABC 时，求CD ； （Ⅱ）当ADB △转动时，是否总有AB CD ⊥？证明你的结论．18．解：（Ⅰ）取AB 的中点E ，连结DE CE ，，因为ADB 是等边三角形，所以DE AB ⊥．当平面ADB ⊥平面ABC 时，因为平面ADB 平面ABC AB =，所以DE ⊥平面ABC ，可知DE CE ⊥由已知可得1DE EC ==，在D E C Rt △中，2CD ==．（Ⅱ）当ADB △以AB 为轴转动时，总有AB CD ⊥． 证明：（ⅰ）当D 在平面ABC 内时，因为AC BC AD BD ==，，所以C D ，都在线段AB 的垂直平分线上，即AB CD ⊥．（ⅱ）当D 不在平面ABC 内时，由（Ⅰ）知A B D E ⊥．又因AC BC =，所以AB CE ⊥． 又DE CE ，为相交直线，所以AB ⊥平面CDE ，由CD ⊂平面CDE ，得AB CD ⊥． 综上所述，总有AB CD ⊥． 200818、（本小题满分12分）如下的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图在下面画出（单位：cm ）。

（1）在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图；（2）按照给出的尺寸，求该多面体的体积；（3）在所给直观图中连结'BC ，证明：'BC ∥面EFG 。

DBAEDBCA正视图18.【试卷解读】(1)如图（２）所求多面体的体积()311284446222323V V V cm ⎛⎫=-=⨯⨯-⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭正长方体三棱锥 （３）证明：如图，在长方体''''ABCD A B C D -中，连接'AD ，则'AD ∥'BC 因为Ｅ，Ｇ分别为''',AA A D 中点，所以'AD ∥EG ，从而EG ∥'BC ，又'BC E F G ⊄平面, 所以'BC∥平面ＥＦＧ；2009(19)(本小题满分12分)如图，四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为矩形，SD ⊥底面ABCD ，AD =，2DC SD ==，点M 在侧棱SC 上，∠ABM=60。

()I 证明：M 是侧棱SC 的中点； ()II 求二面角S AM B --的大小。

解（I ）作ME ∥CD 交SD 于点E ，则ME ∥AB ，ME ⊥平面SAD 连接AE ，则四边形ABME 为直角梯形 作MF AB ⊥，垂足为F ，则AFME 为矩形设ME x =，则SE x =，AE ==2MF AE FB x ===-由tan 60,)MF FB x =∙=-。

解得1x =即1ME =，从而12ME DC =所以M 为侧棱SC 的中点（Ⅱ）2MB ==，又60,2ABM AB ∠==,所以ABM ∆为等边三角形，又由（Ⅰ）知M 为SC 中点2SM SA AM ===，故222,90SA SM AM SMA =+∠=取AM 中点G ，连结BG ，取SA 中点H ，连结GH ，则,BG A MG H A M ⊥⊥,由此知BGH∠为二面角S AM B --的平面角连接BH ，在BGH ∆中，12222BG AM GH SM BH ======所以222cos 23BG GH BH BGH BG GH +-∠==-∙∙二面角S AM B --的大小为arccos(3- 2010（18）（本小题满分12分）如图，已知四棱锥的底面为等腰梯形，∥,,垂足为，是四棱锥的高。

P ABCD -AB CD AC BD ⊥H PH {}n a（Ⅰ）证明：平面平面。

（Ⅱ）若,60°,求四棱锥的体积。

(18)解：(1)因为PH 是四棱锥P-ABCD 的高。

所以AC PH,又AC BD,PH,BD 都在平PHD 内,且PH BD=H.所以AC平面PBD.故平面PAC 平面PBD. ……..6分 (2)因为ABCD 为等腰梯形，AB CD,AC.所以因为APB=ADR=600 所以,HD=HC=1.可得等腰梯形ABCD 的面积为S=……..9分 所以四棱锥的体积为V=x（……..12分2011（18）（本小题满分12分）如图，四棱锥中，底面为平行四边形。

底面。

（I ）证明：（II ）设，求棱锥的高。

PAC ⊥PBD AB =APB ADB ∠=∠=P ABCD -⊥⊥⊥⊥∠∠121333+P ABCD -ABCD 60,2,DAB AB AD PD ∠==⊥ABCD PA BD ⊥1PD AD ==D PBC -201219．（2012•课标文）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC= AA1，D是棱AA1的中点．（Ⅰ）证明：平面BDC1⊥平面BDC（Ⅱ）平面BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比．证明：（1）由题设知BC⊥CC1，BC⊥AC，CC1∩AC=C，∴BC⊥平面ACC1A1，又DC1⊂平面ACC1A1，∴DC1⊥BC．由题设知∠A1DC1=∠ADC=45°，∴∠CDC1=90°，即DC1⊥DC，又DC∩BC=C，∴DC1⊥平面BDC，又DC1⊂平面BDC1，∴平面BDC 1⊥平面BDC ；（2）设棱锥B ﹣DACC 1的体积为V 1，AC=1，由题意得V 1=××1×1=，又三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的体积V=1， ∴（V ﹣V 1）：V 1=1：1，∴平面BDC 1分此棱柱两部分体积的比为1：1． 201319．(2013课标全国Ⅰ，文19)(本小题满分12分)如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，CA ＝CB ，AB ＝AA 1，∠BAA 1＝60°.(1)证明：AB ⊥A 1C ；(2)若AB ＝CB ＝2，A 1C ，求三棱柱ABC －A 1B 1C 1的体积． 19．(1)证明：取AB 的中点O ，连结OC ，OA 1，A 1B . 因为CA ＝CB ， 所以OC ⊥AB .由于AB ＝AA 1，∠BAA 1＝60°， 故△AA 1B 为等边三角形， 所以OA 1⊥AB .因为OC ∩OA 1＝O ，所以 AB ⊥平面OA 1C . 又A 1C ⊂平面OA 1C ，故AB ⊥A 1C .(2)解：由题设知△ABC 与△AA 1B 都是边长为2的等边三角形，所以OC ＝OA 1又A 1C ，则A 1C 2＝OC 2＋21OA ，故OA 1⊥OC .因为OC ∩AB ＝O ，所以OA 1⊥平面ABC ，OA 1为三棱柱ABC －A 1B 1C 1的高．又△ABC 的面积S △ABC ABC －A 1B 1C 1的体积V ＝S △ABC ×OA 1＝3. 2014(19)(本题满分12分)如图，三棱柱111C B A ABC -中，侧面C C BB 11为菱形，C B 1的中点为O ，且⊥AO 平面C C BB 11.（1）证明：;1AB C B ⊥（2）若1AB AC ⊥,,1,601==∠BC CBB求三棱柱111C B A ABC -的高. （3）19.（4）（1）证明：（5）连接1BC ，则O 为1B C 与1BC 的交点，因为侧面11BB C C 为菱形，所以11B C BC ⊥（6）又AO ⊥平面11BB C C ，所以1B C AO ⊥，故1B C ABO ⊥平面 （7）由于AB ABO ⊂平面，故1B C AB ⊥（8）（2）解：（9）做OD BC ⊥，垂足为D ，连接AD ，做OH AD ⊥，垂足为H 。

（10）由于,BC AO BC OD ⊥⊥，故BC AOD ⊥平面，所以OH BC ⊥ （11）又OH AD ⊥，所以OH ABC ⊥平面（12）因为160CBB ∠=，所以1CBB ∆为等边三角形，又1BC =，可得OD = （13）由于1AC AB ⊥，所以11122AO B C ==（14）由OH AD OD OA ⋅=⋅，且AD ==14OH =（15）又O 为1B C 的中点，所以点1B 到平面ABC 的距离为7，故三棱柱111A B C A B C - 201518. （本小题满分12分）如图四边形ABCD 为菱形，G 为AC 与BD 交点，BE ABCD ⊥平面，（I ）证明：平面AEC ⊥平面BED ；（II ）若120ABC ∠=，,AE EC ⊥三棱锥E ACD -求该三棱锥的侧面积.18、解：（I ）因为四边形ABCD 为菱形，所以AC ⊥BD. 因为BE ⊥平面ABCD,所以AC ⊥BE,故AC ⊥平面BED.又AC ⊂平面AEC,所以平面AEC ⊥平面BED. ……5分 （II ）设AB=x ，在菱形ABCD 中，又∠ABC=o120，可得x ，GB=GD=2x . 因为AE ⊥EC,所以在Rt △AEC 中，可的EG=2x . 由BE ⊥平面ABCD,知△EBG 为直角三角形，可得BE=2x . 由已知得，三棱锥E-ACD的体积E ACD V -=13×12AC ·GD ·3x =. 故x =2……9分 从而可得.所以△EAC 的面积为3，△EAD 的面积与 △ECD 故三棱锥E-ACD 的侧面积为 ……12分 201618.（本题满分12分）如图，已知正三棱锥P -ABC 的侧面是直角三角形，P A 内的正投影为点D ，D 在平面P AB 内的正投影为点E ，连接PE 并延长交AB 于点G .(Ⅰ)证明G 是AB 的中点；(Ⅱ)在答题卡第（18）题图中作出点E 在平面P AC内的正投影F (说明作法及理由)，并求四面体PDEF 18．(Ⅰ)证明：PD ⊥平面ABC ，∴PD ⊥AB ．又DE ⊥平面P AB ，∴DE ⊥AB ．∴AB ⊥平面PDE ．又PG ⊂平面PDE ，∴AB ⊥PG ．依题P A=PB ，∴G 是AB (Ⅱ)解：在平面P AB 内作EF ⊥P A （或EF // PB ）垂足为F ，则F 是点E 在平面P AC 内的正投影.理由如下：∵PC ⊥P A ，PC ⊥PB ，∴ PC ⊥平面P AB ．∴EF ⊥PC 作EF ⊥P A ，∴EF ⊥平面P AC ．即F 是点E 在平面P AC 内的正投影连接CG ，依题D 是正ΔABC 的重心，∴D 在中线CG 上，且CD =2DG ．易知DE // PC ，PC=PB=P A = 6，∴DE =2，PE =2233PG =⨯=则在等腰直角ΔPEF 中，PF=EF=2，∴ΔPEF 的面积S=2．所以四面体PDEF 的体积1433V S DE =⨯=.2017 18．（12分）如图，在四棱锥P-ABCD 中，AB//CD ，且90BAP CDP ∠=∠=（1）证明：平面PAB ⊥平面PAD ；（2）若PA =PD =AB =DC ,90APD ∠=,且四棱锥P-ABCD 的体积为83，求该四棱锥的侧面积.18.（12分）【解读】（1）由已知90BAP CDP ==︒∠∠，得AB AP ⊥,CD PD ⊥.由于AB CD ∥，故AB PD ⊥，从而AB ⊥平面PAD . 又AB ⊂平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面PAD .（2）在平面PAD 内作PE AD ⊥，垂足为E .由（1）知，AB ⊥平面PAD ，故AB PE ⊥，可得PE ⊥平面ABCD .设AB x =，则由已知可得AD =，2PE x =. 故四棱锥P ABCD -的体积31133P ABCD V AB AD PE x -=⋅⋅=. 由题设得31833x =，故2x =.从而2PA PD ==，AD BC ==PB PC ==. 可得四棱锥P A-的侧面积为21111s in 606232222P A P D P A A B P D D C B⋅+⋅+⋅︒=+。