弹簧原长位置
m
0
∆
静平衡位置
kθ
I
θ
k
x
m&&+ kx = 0 x
ω0 = k / m
& Iθ& + kθθ = 0
ω0 = kθ / I
19
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例：复摆
a 刚体质量 m 重心 C 对悬点的转动惯量 I 0
C
mg
0
I0
求： 复摆在平衡位置附近做微振动时的微分方程和固有频率
20
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m h
l/2
0
l/2
求： 梁的自由振动频率和最大挠度
14
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解：
m
取平衡位置 ： 以梁承受重物时的静平 衡位置为坐标原点建立 坐标系 静变形 ∆
l/2
3
h
∆
0
l/2
静平衡位置
x
mgl 由材料力学 ： ∆ = 48EJ
g 自由振动频率为 ： ω0 = ∆
48EJ = ml 3
15
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弹簧原长位置
m
0
∆
静平衡位置
kθ
I
θ
k
x
m&&+ kx = 0 x
ω0 = k / m
& Iθ& + kθθ = 0
ω0 = kθ / I
18
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从前面两种形式的振动看到， 从前面两种形式的振动看到，单自由度无阻尼系统总包含着 惯性元件和弹性元件两种基本元件 两种基本元件， 惯性元件和弹性元件两种基本元件，惯性元件是感受加速度 的元件，它表现为系统的质量或转动惯量， 的元件，它表现为系统的质量或转动惯量，而弹性元件是产 生使系统恢复原来状态的恢复力的元件， 生使系统恢复原来状态的恢复力的元件，它表现为具有刚度 或扭转刚度度的弹性体。同一个系统中，若惯性增加， 或扭转刚度度的弹性体。同一个系统中，若惯性增加，则使 固有频率降低，而若刚度增加，则固有频率增大。 固有频率降低，而若刚度增加，则固有频率增大。
k = 5.78 × 10 N / cm
4
v
重物以v=15m/s的速度匀速下降时 重物以 的速度匀速下降时 W 求： 绳的上端突然被卡住时，（ ）重物的振动频率， 绳的上端突然被卡住时，（1）重物的振动频率， ，（ （2）钢丝绳中的最大张力。 ）钢丝绳中的最大张力。
11
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解：
gk = 19.6rad / s 振动频率 ω0 = W
撞击时刻为零时刻， 撞击时刻为零时刻，则 t=0 时，有：
x0 = −∆
m h
& x0 = 2 gh
则自由振动振幅为 ：
x0 & 2 A = x0 + ω 0
2
∆
l/2
0
l/2
静平衡位置
x
= ∆ 2 + 2h∆
梁的最大扰度： 梁的最大扰度：
max = A + ∆
x(t) = x0 cos(ω0t) +
W
= 2.21× 10 5 ( N )
由于
kA = k v = v km
动张力几乎是静张力的一半！ 动张力几乎是静张力的一半！
ω0 为了减少振动引起的动张力， 为了减少振动引起的动张力，应当降低升降系统的刚度
13
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重物落下， 例： 重物落下，与简支梁做完全非弹性碰撞
梁长 L，抗弯刚度 EI，不考虑梁的质量 ，
x(t) = x0 cos(ω0t) +
ω0
& x0
sin( ω0t) 23
−1
x
T = 2π / ω n
ωn：
系统固有的数值特征， 系统固有的数值特征，与系统是否正在振 动着以及如何进行振动的方式都毫无关系
A
φ ωn
A, ϕ：
t
不是系统的固有属性的数字特征，与系统 不是系统的固有属性的数字特征， 过去所受到过的激励和考察开始时刻系统 所处的状态有关
0
3
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ωn
& x0
sin(ωnt) = Asin(ωnt +φ)
无阻尼的质量弹簧系统受到初始扰动后， 无阻尼的质量弹簧系统受到初始扰动后，其自由振动是以 ωn 为振动频率的简谐振动，并且永无休止。 为振动频率的简谐振动，并且永无休止。
x
T = 2π / ω n
初始条件的说明： 初始条件的说明： 初始条件是外界能量转入的一 种方式， 种方式，有初始位移即转入了 弹性势能， 弹性势能，有初始速度即转入 了动能。 了动能。
考虑系统在初始扰动下的自由振动
x(t) = c1 cos(ωnt) + c2 sin(ωnt) = Asin(ωnt +φ)
的初始位移和初始速度为： 设 t = τ 的初始位移和初始速度为：
x(τ ) = xτ
令：
& & x(τ ) = xτ
c1 = b1 cos(ωnτ ) − b2 sin(ωnτ ) c2 = b1 sin(ωnτ ) + b2 cos(ωnτ ) x(t ) = b1 cos ωn (t − τ ) + b2 sin ωn (t − τ )
I c = I 0 − ma
2
实验确定复杂形状物体的转动惯量的一个方法
21
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例：弹簧－质量系统沿光滑斜面做自由振动 弹簧－
斜面倾角 300 质量 m=1kg 弹簧刚度 k=49N/cm 开始时弹簧无伸长，且速度为零 开始时弹簧无伸长， 重力角速度取 9.8 求： 系统的运动方程
300
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第二讲 谐振子与谐振动
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无阻尼自由振动
由牛顿第二定律建立运动方程
x
k
实验
&& mx + kx = 0
k 固有频率 令 ： ωn = m 单位：弧度/秒 单位：弧度 秒（rad/s） ）
2 x 则有 ： && +ωn x = 0
x(t) = Asin(ωnt +φ) 通解 ： x(t) = c1 cos(ωnt) + c2 sin(ωnt) c1 , c2： 任意常数，由初始条件决定 任意常数，
& x0
uuu r 对应向量 OQ uuu r 对应向量 OP
8
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考虑重力的作用
由牛顿第二定律
&& mx = mg − k ( x + ∆ )
静平衡位置： 静平衡位置：∆ = mg k 运动方程
&& mx + kx = 0 k ⇒ && + = 0 x m 2 ⇒ && + ωn x = 0 x
重物匀速下降时处于静平衡位 置，若将坐标原点取在绳被卡 住瞬时重物所在位置 则 t=0 时，有： x0 = 0 振动解： 振动解：
v
k
& x0 = v
静平衡位置
W x
W
x(t ) =
v
ω0
sin(ω0t ) = 1.28 sin(19.6t ) (cm)
x(t) = x0 cos(ω0t) +
ω0
& x0
x
P R
ωn
③ ①
φ
O Q
① ③ ②
0
②
0
1
2
3
4
5
6
uuu r x & OQ = 0 ① x1(t) = sin(ωnt) ωn ωn uuu r OP = x0 ② x2 (t) = x0 cos(ωnt) uuu r & x0 ③ x(t) = x0 cos(ωnt) + sin(ωnt) 对应向量 OR ωn uuu uuu uuu uuu r r r r 2 2 & & OR = ( x0 ωn ) + ( x0 ) = A OR = OQ + OP
有：
b1 = xτ
b2 =
ωn
4
& xτ
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τ 时刻以后的自由振动解为： 时刻以后的自由振动解为：
x ( t ) = xτ cos ωn ( t − τ ) +
ωn
& xτ
sin ωn ( t − τ )
零时刻的初始条件： 零时刻的初始条件：
x(0) = x0
零初始条件下的自由振动： 零初始条件下的自由振动：
x0
φ ωn
A
0
t
6
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自由振动的矢量表示
x
● ●
ωn
R
● ●
T = 2π ωn
● ●
φ
● ●
O
0
● ●
●
●
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
x(t) = x0 cos(ωnt) +
振子自由振动图像形成动画
ωn
& x0
sin(ωnt) = Asin(ωnt +φ)
7
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自由振动的矢量表示
k
22
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解：
以静平衡位置为坐标原点 建立坐标系 振动固有频率： 振动固有频率：
k
0
x
300
ω0 = k / m
= 49 × 10 / 1 = 70 (rad / s )