第十二章 压杆的稳定性
12-1 图示细长压杆，两端为球形铰支，弹性模量200E GPa =，对下面三种截面用欧拉公式计算其临界压力。

（1）圆截面，25, 1.0d mm l m ==；（2）矩形截面，240h b mm ==，1.0;l m =（3）16号工字钢， 2.0l m =。

解：结构为两端铰支，则有221,0,lj EI
P l πμ==
(1)圆截面杆，434932(0.025),2001037.61037.664(1.0)64lj d I P kN ππ⨯=
=⨯⨯=⨯=⨯
(2)矩形截面杆， (3)16号工字查型钢表知
题12-1图 题12-2图
12-2 图示为下端固定，上端自由并在自由端受轴向力作用的等直压杆。

杆长为l ，在临界力lj p 作用下杆失稳时有可能在xy 平面内维持微弯曲状态下的平衡。

杆横截面积对z 轴的惯性矩为I ，试推导其临界压力lj p 的欧拉公式，并求出压杆的挠曲线方程。

解：()()M x v ρδ=-，结合 ()EIv M x ''=设2k EI ρ=
，则有微分方程： 通解为sin cos v A kx B kx δ=++
边界条件：0,0,x v ==则0B δ+=，解出B δ=-
0,0x v '==（转角为零），0A k ⋅=，解出0A =
解得挠曲线方程为：(1cos )v kx δ=-
因为v 在x l =处为δ，则cos 0kl δ⋅=，由于0δ≠，可得：cos 0,2kl kl π==
（最小值） 而2k EI ρ
=，得22(2)lj EI
P l π=
注：由cos 0kl =，本有02kl n π
π=+>，计算可见0n =（2kl π
=时），对应的P 值
是最小的，这一点与临界力的力学背景是相符的。

12-3 某钢材，230,274p s MPa MPa σσ==，200E GPa =，338 1.22lj σλ=-，试计算p λ和s λ值，并绘制临界应力总图（0150λ≤≤）。

解：92.6,52.5,s P s a b
σλλ-====式中338, 1.22a b == 题12-3图
12-4图示压杆的横截面为矩形，80,40,h mm b mm ==杆长2l m =，材料为优质碳钢，210E GPa =。

两端约束示意图为：在正视图（a ）的平面内相当于铰支；在俯视图（b ）的平面内为弹性固定，并采用0.6μ=。

试求此杆的临界应力lj P 。

题12-4图 解：在正视平面内，23421,804012
lj EI
P I mm l π==⨯⨯ 俯视平面内， 22342221,4080()(0.6)12
lj EI EI P I mm l l ππμ===⨯⨯⨯ 因为332180404080(0.6)
⨯<⨯⨯，对同一结构，lj P 按正视平面内的公式计算（取较小值）： 12-5 钢结构压杆由两个56568⨯⨯的等边角钢组成，杆长 1.5l m =，两端为球形铰支受轴向压力150P kN =，角钢为3A 钢。

试确定压杆的临界应力及工作安全系数。

解：查型钢表得：428.36710,0.0168y A m i m -=⨯=，则
1 1.5891230.0168l i μλ⨯===< 采用抛物线公式：22350.0066182,2305lj lj lj MPa P A
kN σλσ=-=== 题12-5图 题12-6图
12-6 图示立柱，长6l m =，由两根10号槽钢组成，下端固定，上端球形铰支。

试问当a 为多大时立柱的临界压力lj P 最高，其值为何？已知材料的弹性模量200E GPa =，比例限200p MPa σ=。

解：a 的变化只会引起y I 的变化，对z I 没有影响；在两个平面内，μ值相同，l 同，同一结构，仅仅由I 的大小决定结构在那一平面内最易失稳（lj P 最小）
可见，立柱的临界压力lj P 最高时，应该有()()lj y lj z P P = 则由22()
lj EI P l πμ=，有y z I I =，z I 查型钢表，为42198.3z I cm =⨯ 而24
2[25.612.74(0.12 1.52)]()y I cm =⨯+⨯+
解得 4.343a cm mm ==
此时，26
823.14200102198.310443(0.76)
lj P N -⨯⨯=⨯⨯⨯=⨯ 题12-7图 题12-8图
12-7 由三根相同的钢管构成的支架如图所示，钢管的外径30D mm =，内径22d mm =，长度 2.5l m =，材料的弹性模量210E GPa =。

支架顶点三杆铰接，取稳定安全系数3w n =求支架的许可载荷P 。

解：结构和载荷对称，各管所受压力相等，设为N ，
N 取3120lj
W P N N n ==，则载荷 2[]3cos 3312074902.5
P Q N α==⨯⨯= 即许可载荷为7490N 。

12-8 在图示结构中，AB 为圆形截面杆，直径80d mm =A 端固定，B 端为铰支；BC 为正方形截面杆边长110a mm =，C 端为铰支。

AB 、BC 两杆可独自发生弯曲变形而互不影响，材料均为3A 钢，2
210/E GN m =。

已知3l m =，压力150P kN =，规定的稳定安全系数 2.5w n =，试校核结构的稳定性。

解：P 作用下，两段的压力均为N P =，现分别求出各自的临界压力 AB 段:,443.140.7, 1.53 4.5,0.08,6464d l m I πμ==⨯==
=⨯(与方向无关) 420[]1681502.5
lj
W P P kN kN n ===>，即[]P P <，AB 段安全 BC 段，4411.0,3,0.111212
a l m I μ====⨯（与方向无关） 2404[]9621502.5
lj
W P P kN kN n ===>，即[]P P <，BC 段安全 综上分析，结构安全。

12-9 四根等长杆相互铰接成正方形ABCD ，并与BD 杆铰接如图所示。

各杆的弹性模量E 、截面积A 极惯性矩I 均相等。

当（1）C 两点处受一对拉力P ，图（a ）；（2）AC 两点处受一对压力P ，图（b ），分别求达到临界状态的最小载荷P 。

题12-9图
解：()a 图示P 作用下，AB BC CD DA 、、、四杆受拉，BD 受压，若按受压失稳与否确定P 值，只需考查BD
杆：, 1.0,BD l P P μ===（压）
222[]()2lj EI EI P P l a ππμ===，即2min 22EI P a
π=。