9.5 傅里叶级数9.5.1 三角级数 三角函数系的正交性在自然界和工程技术中周期现象是经常出现的,如振动、电磁波等,当用函数来描述这些现象时出现的就是周期函数.描述简谐振动的正弦函数)sin(ϕω+=t A y 是一种简单而又为人们所熟悉的周期函数,其中y 表示动点的位置,t 表示时间,A 为振幅,ω为角频率,ϕ为初相.周期为ωπ2.现在类似于将函数展开成幂级数,我们也想将周期函数展开成由简单的三角函数组成的级数.具体的说,希望将以⎪⎭⎫⎝⎛=ωπ2T 的周期函数)(t f 表示为∑∞=++=10),sin()(n n nt n AA t f ϕω(1)其中),3,2,1(,,0 =n A A n n ϕ都是常数. 在利用三角恒等式,变形为∑∞=++=10);sin cos cos sin ()(n n n n nt n A t n AA t f ωϕωϕ令x t A b A a A a n n n n n n ====ωϕϕ,cos ,sin ,200,则得到级数∑∞=++10).sin cos (2n n nnx b nx aa(2)称(2)式的级数为三角级数,其中),3,2,1(,,0 =n b a a n n 都是常数.称三角函数系 ,sin ,cos ,,2sin ,2cos ,sin ,cos ,1nx nx x x x x(3)在区间],[ππ-上正交,就是指在三角函数系(3)中任何不同的两个函数的乘积在区间],[ππ-上的积分等于零,即⎰-==ππ),3,2,1(0cos n nxdx, ⎰-==ππ),3,2,1(0sin n nxdx, ⎰-==ππ),3,2,1,(0cos sin n k nxdxkx ,⎰-≠==ππ),,3,2,1,(0cos cos n k n k nxdxkx ,⎰-≠==ππ),,3,2,1,(0sin sin n k n k nxdxkx .,2),3,2,1(cos,sin222πππππππππ⎰⎰⎰---====dx n nxdx nxdx 19.5.2 以2π为周期的函数的傅里叶级数设)(x f 是周期为π2的周期函数,且能展开成三角级数:∑∞=++=10).sin cos (2)(n k kkx b kx aa x f(4)我们进一步假设级数(4)可以逐项积分.在此假设条件下我们讨论 ,,,,,,,1100n n b a b a b a 与)(x f 的关系. 由三角函数系的正交性,有0022)(a a dx x f ππππ=⋅=⎰-即得.)(10⎰-=πππdx x f a以nx cos 乘(4)两端,再从π-到π逐项积分,同样由三角函数系的正交性我们得到,,2,1,cos )( ==⎰-n a nxdx x f n πππ即,,2,1,cos )(1==⎰-n nxdx x f a n πππ同理可得,,2,1,sin )(1==⎰-n nxdx x f b n πππ由于当0=n 时,n a 的表达式正好给出0a ,因此,已得结果可以合并写成⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====⎰⎰--,,2,1,sin )(1,,2,1,0,cos )(1 n nxdx x f b n nxdx x f a n n ππππππ(5)这样,不论)(x f 能否表示为三角函数,只要)(x f 在]-ππ,[上可积,就可按公式(5)计算出n a 和n b ,称n a 和n b 为函数)(x f 的傅里叶(Fourier)系数,将这些系数代入(4)式右端,所得的三角级数∑∞=++10).sin cos (2n n nnx b nx aa(6)叫做函数)(x f 的傅里叶级数. 那么,)(x f 在怎样的条件下,它的傅里叶级数不仅收敛,而且收敛于)(x f ?定理(收敛定理,狄利克雷(Dirichlet)充分条件) 设)(x f 是周期为π2的周期函数,如果它满足:(1) 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点, (2) 在一个周期内至多只有有限个极值点, 则)(x f 的傅里叶级数收敛,并且 当x 是)(x f 的连续点时,级数收敛于)(x f ;当x 是)(x f 的间断点时,级数收敛于)]()([21+-+x f x f .⎭⎬⎫⎩⎨⎧+==+-)]()([21)(|x f x f x f x C ,在C 上就成立)(x f 的傅里叶级数展开式)(x f =∑∞=++10)sin cos (2n n nnx b nx aa ,.C x ∈(7)例1 设)(x f 是周期为π2的周期函数,它在),[ππ-上的表达式为⎩⎨⎧<≤<≤--=.0,1,0,1)(ππx x x f将)(x f 展开成傅里叶级数.解 所给函数满足收敛定理的条件,它在点),2,1,0( ±±==k k x π处不连续,在其他点处连续,从而由收敛定理知道)(x f 的傅里叶级数收敛,并且当πk x =时级数收敛于,0211=+-当πk x ≠时级数收敛于)(x f .和函数的图形如图9-1所示图9-1计算傅里叶级数如下:⎪⎩⎪⎨⎧===--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⋅+-====⋅+-==-----⎰⎰⎰⎰⎰⎰.,6,4,2,0,,5,3,1,4])1(1[1cos 1cos 1sin 11sin)1(1sin )(1);,2,1,0(0cos 11cos )1(1cos )(10000n n n n n nx x nx nxdxnxdx nxdxx f b n nxdxnxdx nxdx x f a nn n ππππππππππππππππππππ将求得的系数代入(7)式,就得到)(x f 的傅里叶级数的展开式为).,2,.0;()12sin(1213sin 31sin 4)( πππ±±≠+∞<<-∞⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--++=x x x k k x x x f 例2 设)(x f 是周期为π2的周期函数,它在],[ππ-上的表达式为⎩⎨⎧<≤<≤-=.0,0,0,)(ππx x x x f将)(x f 展开成傅里叶级数.解 所给函数满足收敛定理的条件,它在点),2,1,0()12( ±±=+=k k x π处不连续,在其他点处连续,从而由收敛定理知道)(x f 的傅里叶级数收敛,并且当π)12(+=k x 时级数收敛于.2202)()(ππππ-=-=-++-f f在连续点))12((π+≠k x x 处收敛于)(x f .和函数的图形如图9-2所示.图9-2⎪⎩⎪⎨⎧===-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+===---⎰⎰;,6,4,2,0,,5,3,1,2)cos 1(1cos sin 1cos 1cos )(12220n n n n n n nx n nx x nxdxx nxdx x f a n ππππππππππ;2211)(120ππππππππ-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡===---⎰⎰x xdx dx x f a.)1(cos sin cos 1sin1sin )(1120nnn n nx n nx x nxdxx nxdx x f b n n +----=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-===⎰⎰ππππππππ将求得的系数代入(7)式,得到)(x f 的傅里叶级数展开式为).,3,;(5sin 515cos 524sin 413sin 313cos 322sin 21sin cos 24)(22 ππππππ±±≠+∞<<-∞-⎪⎭⎫⎝⎛++-⎪⎭⎫ ⎝⎛++-⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=x x x x x x x x x x x f如果函数)(x f 只定义在],[ππ-且满足收敛定理的条件,则)(x f 也可以展开成傅里叶级数,只要在),[ππ-或],(ππ-外补充函数的定义,使它拓广成周期为π2的周期函数)(x F .按这种方式拓广函数的定义域的过程称为周期延拓.再将)(x F 展开成傅里叶级数.最后限制x 在),(ππ-内,此时)()(x f x F ≡,这样便得到)(x f 的傅里叶级数展开式.根据收敛定理,这级数在区间端点π±=x 处收敛于2)()(+-+ππf f .例3 将函数⎩⎨⎧≤≤<≤--=ππx x x x x f 0,,0,)(展开成傅里叶级数.解 所给函数在区间],[ππ-上满足收敛定理的条件,并且拓广成周期函数时,它在每一点x 处都连续(图9-3),因此拓广的周期函数的傅里叶级数在],[ππ-上收敛于)(x f .πππππππππππ2020cos sin 1cos sin 1cos 1cos )(1cos )(1⎥⎦⎤⎢⎣⎡++⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=+-==---⎰⎰⎰n nx n nx x n nx n nx x nxdxx nxdx x nxdx x f a n⎪⎩⎪⎨⎧==-=-=;,6,4,2,0,,5,3,1,4)1(c o s 222n n n n n πππ图9-3 ;21211)(1)(12200ππππππππππππ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=+-==---⎰⎰⎰x x xdxdx x dx x f a).,3,2,1(0sin cos 1sin cos 1sin 1sin)(1sin )(120200 ==⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--=+-==---⎰⎰⎰n n nx n nxx n nx n nx x nxdxx nxdx x nxdxx f b n πππππππππππ将求得的系数代入(6)式,得到)(x f 的傅里叶级数展开式为)(5cos 513cos 31cos 2)(22ππππ≤≤-⎪⎭⎫ ⎝⎛+++4-=x x x x x f .利用这个展开式,我们可以求出几个特殊级数的和.当0=x 时,0)0(=f ,于是又这个展开式得出.513118222+++=π设,4131211222++++=σ,4131211,614121,851311222322222221 +-+-=+++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+++=σσπσ因为.44212σσσσ+==所以.243212πσσ==,624822221πππσσσ=+=+=又.1264222213πππσσσ=-=-=正弦级数和余弦级数当)(x f 为奇函数时,nx x f cos )(是奇函数,nx x f sin )(是偶函数,故).,3,2,1(sin )(2),,2,1,0(0====⎰n nxdxx f b n a n n ππ(8)即知奇函数的傅里叶级数是只含有正弦项的正弦级数.sin 1∑∞=n nnx b(9)当)(x f 为偶函数时,nx x f cos )(是偶函数,nx x f sin )(是奇函数,故).,3,2,1(0),,2,1,0(cos )(2====⎰n b n nxdx x f a n n ππ(10)即知偶函数的傅里叶级数是只含有余弦项的余弦级数.cos 210∑∞=+n nnx ba (11)例 4 设)(x f 是周期为π2的周期函数,它在),[ππ-上的表达式为x x f =)(.将)(x f 展开成傅里叶级数. 解 首先所给函数满足收敛定理的条件,它在点),2,1,0()12( ±±=+=k k x π处不连续,因此)(x f 的傅里叶级数在点π)12(+=k x 处收敛于,02)(2)()(=-+=-++-ππππf f在连续点))12((π+≠k x x 处收敛于)(x f .和函数的图形如图9-4所示图9-4其次若不计),2,1,0()12( ±±=+=k k x π,则)(x f 是周期为π2的奇函数.显然,此时(8)式仍成立.按公式(8)有),2,1,0(0 ==n a n ,而ππππππ20sin cos sin sin )(⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-2=2=2=⎰⎰n nx n nx x nxdxx nxdx x f b n).,3,2,1()1(2cos 21=-=-=+n n n nn π将求得的n b 代入正弦级数(9),得)(x f 的傅里叶级数展开式为).,3,;(sin )1(3sin 312sin 21sin 2)(1ππ±±≠∞<<-∞⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-+-=+x x nx n x x x x f n 对于定义在区间],0[π上并且满足收敛定理的条件的函数)(x f ,我们在开区间)0,(π-内补充函数)(x f 的定义,得到定义在],(ππ-上的函数)(x F ,使它在),(ππ-上成为奇函数(偶函数).按这种方式拓广函数定义域的过程称为奇延拓(偶延拓).然后将奇延拓(偶延拓)后的函数展开成傅里叶级数,这个级数必定是正弦级数(余弦级数).再限制x 在],0(π上,此时)()(x f x F ≡,这样便得到)(x f 的正弦级数(余弦级数)展开式.例6 将函数1)(+=x x f )0(π≤≤x 分别展开成正弦级数和余弦级数.解 先求正弦级数.为此对函数)(x f 进行奇延拓(图9-5).按公式(8)有图9-5 图9-6⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+⋅=+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-=+==⎰⎰.,6,4,2,2,,5,3,1,22)cos )1(1(2sin cos )1(2sin )1(2sin )(220n nn nn n n nx n nx x nxdxx nxdx x f b n πππππππππππ将求得的n b 代入正弦级数(9),得⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-++-+=+ x x x x x 4sin 43sin )2(312sin 2sin )2(21πππππ)0(π<<x 在端点0=x 及π=x 处,级数的和显然为零,它不代表原来函数)(x f 的值.再求余弦级数,为此对对函数)(x f 进行偶延拓(图9-6).按公式(10)有⎪⎩⎪⎨⎧=-==-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=+=⎰.,5,3,1,4,,6,4,2,0)1(cos 2cos sin )1(2cos )1(22230n n n n n n nx n nx x nxdxx a n πππππππ222)1(220+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+=⎰πππππx xdx x a ;将求得的n a 代入余弦级数(11),得⎪⎭⎫⎝⎛+++-+=+ x x x x 5cos 513cos 31cos 412122ππ)0(π≤≤x .9.5.3 周期为l 2的周期函数的傅里叶级数定理 设周期为l 2的周期函数)(x f 满足收敛定理的条件,则它的傅里叶级数展开式为∑∞=∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++=10)(,sin cos 2)(n nn C x l x n b l x n a a x f ππ (1)其中⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫====⎰⎰--).,3,2,1(sin )(1),2,1,0(cos)(1lln ll n n dx l xn x f lb n dx lxn x f l a ππ(2))]}()([21)(|{+-+==x f x f x f x C当)(x f 为奇函数时,∑∞=∈=1),(sin)(n n C x lx n b x f π (3)其中).,3,2,1(sin)(20⎰==l n n dx lx n x f lb π (4)当)(x f 为偶函数时,∑∞=∈+=10),(cos2)(n n C x lx n a a x f π (5)其中).,2,1,0(cos)(20⎰==l n n dx lx n x f la π (6)证 作变量代换lxz π=,于是区间l x l ≤≤-就变换成ππ≤≤-z .设函数)()()(z F lzf x f ==π,从而)(z F 是周期为π2的周期函数,并且它满足收敛定理的条件,将)(z F 展开成傅里叶级数:∑∞=++=10),sin cos (2)(n n nnz b nz aa z F 其中.sin)(1,cos )(1⎰⎰--==ππππππnzdz z F b nzdz z F a n n在以上式子中令lxz π=,并注意到)()(x f z F =,于是有∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=10,sin cos 2)(n nn l x n b l x n a a x f ππ 而且⎰⎰--==lln lln dx lx n x f lb dx lx n x f la ππsin)(1,cos)(1.类似地,可以证明定理的其余部分.例7 设)(x f 是周期为4的周期函数,它在)2,2[-上的表达式为⎩⎨⎧<≤<≤-=20,,02,0)(x k x x f (常数).0≠k将)(x f 展开成傅里叶级数.解 这时2=l ,按公式(2)有;21021);0(02sin 2cos 2120202020k kdx dx a n x n n kdx xn k a n =+=≠=⎥⎦⎤⎢⎣⎡==⎰⎰⎰-πππ⎪⎩⎪⎨⎧===-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==⎰.,6,4,2,0,,5,3,1,2)cos 1(2cos 2sin21220n n n kn n k x n n k dx xn k b n ππππππ 将求得的系数n n b a ,代入(1)式,得.25sin 5123sin 312sin22)(⎪⎭⎫⎝⎛++++= x x x k k x f ππππ ),4,2,0;( ±±≠+∞<<-∞x x)(x f 的傅里叶级数的和函数的图形如图9-7所示.图9-79.5.4 在[-l , l ]上有定义的函数的傅里叶展开定义在[-l , l ]上的函数f (x )，可以通过延拓而成为一个在数轴上有对于的一个以2l 为周期的函数F (x )，从而可以展开成傅立叶级数，然后再将自变量限制回(-l , l ),即得f (x )的傅立叶展开式。