5.6 线性变换的标准形•方阵的相似标准形 5.6.1 弗罗贝尼乌斯标准形 5.6.2 贾柯勃逊标准形 5.6.3 若尔当标准形及其应用 一、若尔当标准形 二、中心化子的维数 三、最小多项式 四、幂的相似标准形与方阵的开方 5.6.4 实相似标准形 5.6.5 通用标准形 习题 5.6
5.7 线性变换的不变子空间 5.7.1 不变子空间的概念 5.7.2 线性变换的不变子空间与表示方阵化简 一、单个不变子空间与准上三角矩阵表示 二、不变子空间直和分解与准对角矩阵表示 5.7.3 不变子空间的类型
因式、完全相同的最大公因式；
(1′) 若[ f1(), f2 (), , fs ()]T 有限次初等行变换[g1(), g2 (), , gs ()]T ，则多 项式组(I)与(II)有完全相同的公因式、完全相同的最大公因式；
(2) [ f1(), f2 (), , fs ()] 可经过有限次初等列变换化为[d (), 0, , 0] 的形式， 其中 d () 是多项式组(I)的一个最大公因式；
一、 A 的值域 二、 A 的核 三、 B C( A ) 的值域 四、 B C( A ) 的核
五、特征子空间 六、根子空间 七、若尔当子空间 八、贾柯勃逊子空间 九、弗罗贝尼乌斯子空间 5.7.4 不变子空间的若干重要结论 一、不变子空间的维数 二、非减次线性变换的全体不变子空间
-1-
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若 A() 经过有限次初等列变换变成 B() ，则称 A() 与 B() 列相抵.
若 A() 经过有限次初等变换变成 B() ，则称 A() 与 B() 相抵，记作 A() B() .
矩阵之间的相抵关系、行相抵关系、列相抵关系均满足反身性、对称性、传递性，
都是等价关系.
例 2 设 f1(), f2 (), , fs () [] . (1) 若[ f1(), f2 (), , fs ()] 有限次初等列变换[g1(), g2 (), , gs ()] ，则多项 式组(I) { f1(), f2 (), , fs ()} 与(II) {g1(), g2 (), , gs ()} 有完全相同的公
也可以表为
1 2 2
A(
)
2 3 2
3 2 2
4 5 2
2 7
1 2
1 A() 2
3 2
4 1
7
3
0 1
5
0
2
A0
A1
A2 2
，
1
其中 A0 , A1, A2 32 分别为 0, 1, 2 次项系数矩阵. 也可由 A2 O ，得知 deg A() 2 . 注 数域 上的全体 m n 的 矩阵形成的集合可以表为以下两种形式：
的矩形表格
a11() a12 () a1n ()
A(
)
a21 (
)
a22 ()
a2n
(
)
，
am1
(
)
am2 ()
amn
(
)
则称 A() 为一个 m n 的 矩阵，称 m n 为 A() 的型，称 aij () 为 A() 的 (i, j) 元素
(i
1,
2, ,
m
;
j
1,
|
Ann () | .
矩阵与数字矩阵有相同的运算规律，如
Em Amn ()
Amn ()En
Amn () ，[ Amn ()Bns ()]T
BT ns
(
)
AT mn
(
)
，
|
AT nn
(
)
|
|
Ann ()
|，|
Ann ()Bnn
()
|
|
Ann ()
||
Bnn ()
|
.
例 1 数域 上的 3 2 的 矩阵
3.5 一元多项式矩阵
3.5 一元多项式矩阵
以数为元素的矩阵称为数字矩阵，以多项式为元素的矩阵称为多项式矩阵，以函数为元
素的矩阵称为函数矩阵. 本节将系统研究一元多项式矩阵.
3.5.1 矩阵的基本概念 一、 矩阵的概念及运算 定义 1 设 是一个数域， 是一个文字，由 m n 个取自 [] 的多项式排成的 m 行 n 列
2, ,
n )，称 deg
A( )
max
1≤i≤m , 1≤
j≤n
deg
aij
(
)
为
A() 的次数.
可以仿照数字矩阵的运算，如
Amn
Bmn ,
kAmn ,
AT mn
,
Amn Bns ,
|
Ann
| ，类似定义
矩阵的运算：Amn ()
Bmn (),
k() Amn (),
AT mn
(
),
Amn ()Bns (),
[]mn {[aij ()]mn | aij () [], i 1, 2, , m; j 1, 2, , n} ，
mn[] {A0 A1 As s | s ; A0 , A1, , As mn}. □
二、 矩阵的初等变换与初等 矩阵
定义 2 矩阵的以下三种变换：
(1) 对调第 i 行与第 j 行( i j )，记作 ri rj ；
(2) 第 i 行乘以非零数 k ，记作 ri k ； (3) 第 i 行加上第 j 行的 l() 倍( i j )，记作 ri l()rj ，
第 3 章 矩阵
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分别称为 矩阵的第 1、2、3 类初等行变换.
类似地有三类初等列变换： ci c j (i j) ， ci k (数 k 0 )， ci l()c j (i j) . 初等行变换与初等列变换统称为 矩阵的初等变换. 若 A() 经过有限次初等行变换变成 B() ，则称 A() 与 B() 行相抵.
(2′) [ f1(), f2 (), , fs ()]T 可经过有限次初等行变换化为[d (), 0, , 0]T 的形 式，其中 d () 是多项式组(I)的一个最大公因式.
例 3 (1) A() []mn 可经过有限次初等行变换化为
b11() b12 () b1n ()
0
0
形式，其中 b11() 是 A() 的第一列中各多项式的最大公因式； (2) A() 可经过有限次初等行变换化为行阶梯形 矩阵；
第 3 章 矩阵 3.5 一元多项式矩阵
3.5.1 矩阵的基本概念 一、 矩阵的概念及运算 二、 矩阵的初等变换与初等 矩阵 三、可逆 矩阵 四、 矩阵的秩与行列式因子组
3.5.2 矩阵的相抵标准形与不变因子组 3.5.3 矩阵的初等因子组
习题 3.5 第 5 章 线性变换