例.题 设 P是球内 ,A ,B 一 ,C 是 定 球 点 面上 , A三 P B 个 BP 动 CC点 P A,
2 以 P,A P,B P为 C 棱作平 ,记行 P 与 相六 对面 的 Q 体 ,求 顶 Q 点 点 的 为 轨
－－ (北 － 京 2大 0考 0学 7研 ) 题
参考解答 : 设球面的半径为
由 (1 ), ( 2 ), 得
cos
AB , AC

b2 c2 a2 ,
(2)
2 bc

2S bc
2


b2
c2 2 bc
a2
2


1,
即
16 S 2 ( 2 bc ) 2 ( b 2 c 2 a 2 ) 2
[ 2 bc ( b 2 c 2 a 2 )][ 2 bc ( b 2 c 2 a 2 )]
[( b c ) 2 a 2 ][ a 2 ( b c ) 2 ]
( b c a )( b c a )( a b c )( a b c )
2 p ( 2 p 2 a )( 2 p 2 b )( 2 p 2 c ),
即
S 2 p ( p a )( p b )( p c ).
其中 a,b,c为三角形的 ,p三 1(a边 b长 c),S为三角形.的面积 2
参考解答 : 设 | AB | c , | AC | b , | BC | a . 由 S 1 | AB AC |, 得 2
sin AB , AC 2 S ,
(1)
bc
由 CB AB AC , 得 CB CB AB AC AB AC , 即
2 2

y
2 1
y
2 2

z
2 1
z
2 2

R2 R2
(1)

x
2 3

y
2 3

z
2 3

R2
此外 ,由 PA PB PC , 得
( x1 x 0 )( x 2 x 0 ) ( y1 y 0 )( y 2 y 0 ) ( z1 z 0 )( z 2 z 0 ) 0
参考证明:
必要性. 若A, B, C共线 AB // AC
存在实数 , 使得 AB AC,即
OB OA OC OA ,亦即
( 1)OA OB OC 0. 充分性. 若存在不全为零的数 , ,使得 0,并且
OA OB OC 0. 将 ( )代入上式 ,得

4( y

2 y0) y0

4(z

2 z0 )z0

6
(
x
2 0

y
2 0

z
2 0
),
整理，得
此即点 Q 的轨迹方程 .
x2

y2

z2

3R 2

2
(
x
2 0

y
2 0

z
2 0
),
例题. 证明:对任意三个共面r向 1,r2量 ,r3,有
r1 r1 r1 r2
r1 r3
r2 r1 r2 r2

y

y0

y1

y2

y3

3
y
，即
0

y

2
y0

y1
y2

y3
(3)

z

z0

z1

z2

z3

3z0

z

2 z0

z1

z2

z3
利用 (1), ( 2 ), ( 3 ) 式 , 可得
(x

2 x0)2

(y

2 y0)2

(z

2 z0 )

3R 2

4(x

2 x0)x0
R , 并设 P ( x 0 , y 0 , z 0 ), A ( x1 , y 1 , z1 ), B ( x 2 , y 2 , z 2 ), C ( x 3 , y 3 , z 3 ), Q ( x , y , z ). 由题意 , 有
x
2 0

y
2 0

z
2 0

R 2 且有


x x
2 1
r2 r3 0.
r3 r1 r3 r2
r3 r3
参考证明 : 三个向量 r1, r2 , r3共面的充分必要条件是 存在不全为零的数
r1 r2 r3 0,
(1)
将 r1, r2 , r3分别与 (1)式左右两端做内积 , 得

r1 r2

r1 r1
即

x
1
x
2
x1x3

( x1 ( x1

x2 )x0 x3 ) x0

x
2 0
x
2 0

y1 y2 y1 y3
( y1 ( y1
y2) y0 y3) y0
y
2 0

y
2 0

z1 z 2

( z1

z2 ) z0

z
2 0

0
z1 z 3

( z1

z3 ) z0

z
2 0

0
(2)

x
2
x
3
(x2

x3 ) x0

x
2 0

y2 y3
(y2

y3) y0

y
2 0

z2 z3
(z2

z3 ) z0

z
2 0

0
由 PQ PA PB PC , 得
x x0 x1 x2 x3 3 x0
x 2 x0 x1 x2 x3
OA OC OB OC 0,
即CA CB 0,由于, ,不全为零 ,因此, 不全为零 ,故A, B,C共线.
例 题 . 利用向量方法 形证 面明 积三 的 (H角 海 er)o公 伦 n 式 : S2 p(pa)(pb)(pc),


r1 r2 r2 r2
Xiamen University
空间解析几何
第三讲
空间解析几何
一、向量代数
例题 . 证明 : 三点 A , B , C 共线的充分必要条件为 使得 0 , 并且
: 存在不全为零的数
其中 O 是任意点 .
OA OB OC 0 ,
, , ,

(
x
1

x 0 )( x 3

x0)
( y1

y 0 )(
)( z 3

z0 )

0
( x 2 x 0 )( x 3 x 0 ) ( y 2 y 0 )( y 3 y 0 ) ( z 2 z 0 )( z 3 z 0 ) 0