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例4
第五章 向量代数与空间解析几何
设平面与 x , y , z 三轴分别交于 P (a ,0,0) 、
Q(0, b,0) 、R(0,0, c )（其中a 0 ，b 0 ，c 0 ） ，
求此平面方程.
解
设平面为 Ax By Cz D 0,
aA D 0, 将三点坐标代入得 bB D 0, cC D 0,
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第五章 向量代数与空间解析几何
四、小结
平面的方程ຫໍສະໝຸດ 三点式方程. 一般方程. 截距式方程.
点法式方程.
（熟记平面的几种特殊位置的方程） 两平面的夹角.（注意两平面的位置特征） 点到平面的距离公式.
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解
y 3z 1 0 4 x 2 y 2z 1 0 4 x 2 y 2z 2 0
| 1 0 2 1 1 3 | (1) cos ( 1)2 22 ( 1)2 12 32 1 1 cos 两平面相交，夹角 arccos . 60 60
A( x x0 ) B( y y0 ) C ( z z0 ) 0
平面的点法式方程
其中法向量 n { A, B, C }, 已知点 ( x0 , y0 , z0 ).
平面上的点都满足上述方程，不在平面上的点都 不满足上述方程，上述方程称为该平面的方程， 该平面称为上述方程的图形．
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第五章 向量代数与空间解析几何
第四节
一、平面的点法式方程
平
面
z
n
M
垂直平面的非零向量就叫 做该平面的法向量（简称 法向）．
M0
o
y
法向量的特征：
x
垂直于平面内的任一向量．
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第五章 向量代数与空间解析几何
已知平面 上一点M 0 ( x0 , y0 , z0 )和垂直于平面 的非零向量n { A, B , C }, 求平面 的方程。
和3 x 2 y - 12 z 5 0的平面方程。
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第五章 向量代数与空间解析几何
二、平面的一般方程 由平面的点法式方程
A( x x0 ) B( y y0 ) C ( z z0 ) 0 Ax By Cz ( Ax0 By0 Cz 0 ) 0
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第五章 向量代数与空间解析几何 ( 2) n1 {2,1, 1}, n2 {4, 2,2} 2 1 1 , 两平面平行 4 2 2
M (1,1,0) 1 M (1,1,0) 2
两平面平行但不重合．
2 1 1 ( 3) , 4 2 2 两平面平行 M (1,1,0) 1 M (1,1,0) 2
D
Ax By Cz D 0 平面的一般方程
法向量 n { A, B, C }.
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第五章 向量代数与空间解析几何
平面一般方程的几种特殊情况：
(1) D 0, 平面通过坐标原点；
(2) A, B, C中有一个为0时
D 0, 平面通过 x 轴； A 0, D 0, 平面平行于 x 轴； 类似地可讨论 B 0, C 0 情形.
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第五章 向量代数与空间解析几何
按照两向量夹角余弦公式有
cos
| A1 A2 B1 B2 C1C 2 | A1 B1 C1 A2 B2 C 2
2 2 2 2 2 2
两平面夹角余弦公式 两平面位置特征：
(1) 1 2 A1 A2 B1 B2 C1C 2 0;
D A , a D D B , C . b c
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第五章 向量代数与空间解析几何
D D D 将A , B , C , a b c
代入所设方程得
x y z 1 平面的截距式方程 a b c
x 轴上截距
y 轴上截距
z 轴上截距
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定义
第五章 向量代数与空间解析几何
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第五章 向量代数与空间解析几何
求平面点法式方程的关键： 已知平面上的一点及该平面的法向量。
例1 求过点A(1,1,1)且垂直于点A的向径OA的 平面方程。
例2 求过点M1 (1,1, 1), M 2 ( 2, 2,2), M 3 (1, 1,2) 的平面方程。
练习 求过点(1,1,1), 且垂直于平面x - y z 7
两平面重合.
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第五章 向量代数与空间解析几何
例 6 设 P0 ( x 0 , y0 , z 0 ) 是平面 Ax By Cz D 0 外一点，求 P0 到平面的距离.
解
d
| Ax0 By0 Cz0 D | A2 B 2 C 2
. 点到平面距离公式
例7 求平面x y - 2 z - 1 0和2 x 2 y - 4 z 5 0 的距离。 问 求平面2 x y z - 3 0和2 x 2 y z 1 0 的角平分面方程。
(3) A, B, C中有两个为0时
A B 0, 平面平行于xoy 坐标面；
类似地可讨论 A C 0, B C 0 情形.
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第五章 向量代数与空间解析几何
例3 求过z轴和点A(1,1,1)的平面方程。
练习
设平面过原点及点(6,-3,2), 且与平面 4 x - y 2 z 8垂直，求此平面方程。
三、两平面的夹角 两平面法向量之间的夹角称为两平面的夹角. （通常取锐角）
n2
n1
1 : A1 x B1 y C1 z D1 0,
2

2 : A2 x B2 y C 2 z D2 0, n1 { A1 , B1 , C1 }, n2 { A2 , B2 , C 2 }, 1
A1 B1 C1 . ( 2) 1 // 2 A2 B2 C 2
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第五章 向量代数与空间解析几何
例5 研究以下各组里两平面的位置关系：
(1) x 2 y z 1 0, ( 2) 2 x y z 1 0, ( 3) 2 x y z 1 0,