《实数》一、知识梳理1.平方根（1）算术平方根的定义：一个正数x的平方等于a,即_____，那么这个正数x就叫做a 的________.0的算术平方根是_____。

（2）平方根的定义：如果一个数x的平方等于a，即_____，那么这个数x就叫做a的_______。

（3）平方根的性质：一个正数有_____个平方根，它们________；0只有_____个平方根，它是_____；负数_____平方根。

（4）开平方：求一个数a的________的运算，叫做开平方。

2.立方根（1）立方根的定义：如果一个数x的_____等于a，即_____，那么这个数x就叫做a的立方根。

（2）立方根的性质：每个数a都只有_____个立方根。

正数的立方根是_____；0的立方根是_____；负数的立方根是_____。

（3）开立方：求一个数a的________的运算叫做开立方。

3.实数（1）无理数的定义：无限不循环小数叫做_____。

（2）实数的定义：_____和_____统称实数。

（3）实数的分类：①按定义分：________________________；②按性质分：________________________。

（4）实数与数轴上的点的对应关系：_____与数轴上的点是_____对应的。

（5）有关概念：在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的意义_____。

4.实数的运算：（1）实数的加、减、乘、除、乘方运算和_______一样，而且有理数的运算律对__________仍然适用。

（2）两个非负数的算术平方根的积等于这两个数积的算术平方根，算术平方根的商等于这两个数商的算术平方根，用式子表示为__________；__________。

二、考点例析考点1 平方根、立方根的定义与性质例1 （1）下列各数是否有平方根？若有，求出其平方根；若没有，说明理由。

①625 ②（－2）2 ③（－1）3（2）下列各数是否有立方根？若有，求出其立方根。

①271②－343 ③－22 分析：（1）要判断一个对象有无平方根，首先要对这个对象进行转化，直到能看出它的符号，然后依据平方根的性质进行判断。

（2）因为正数、0、负数均有立方根，所以所给各数都有立方根。

解：（1）①因为625>0，故其平方根有两个，即±625=±25；②因为（－2）2=4>0，故其平方根有两个，即±2)2(-=±2；③因为（－1）3=－1<0, 故其不存在平方根。

（2）由立方根的性质可知，所给各数均有立方根。

①312713=； ②73433-=- ； ③－22的立方根34-。

说明：只有非负数才有平方根，这一点同学们一定要牢固掌握。

考点2 实数的分类与性质 例2 下列各数中：－41，7，3.14159, －π,310,－34,0,0.⋅3,38,16,2.121122111222…其中有理数有__________________________； 无理数有__________________________。

分析：对于38、16等应先化简再判断。

解：有理数：－41，3.14159,0,0.3,38,16无理数有：7,－π,310,－34,2.12112111222…… 说明：本题考查有理数和无理数的概念，要正确判断一个数属于哪一类，理解各数的意义是关键。

例3 12-的相反数是；11-的绝对值是；－12181的倒数是。

分析：如果a 表示一个正实数，那么－a 就表示一个负实数，a 与－a 互为相反数；0的相反数依然是0。

一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。

非零实数a 的倒数是a1。

解：12-的相反数是1－2；11-的绝对值是11；－12181=－119，所以－12181的倒数是－911。

说明：解决此问题要牢记实数的性质，实数范围内一个数的相反数、倒数、绝对值的意义和在有理数范围内的意义是一样的。

考点3 实数的运算例4 （1）计算：2233910.008117816125⨯--÷-（2）化简)22(28+-得（ ）（A ）－2 （B ）22- （C ）2 （D ）224-分析：有理数的运算法则、性质、运算律等在实数范围内仍然适用，本例根据运算顺序直接计算即可。

解：（1）原式=0.2×)51(22545-÷-=41757541)5(154551=+=-⨯-⨯； （2）)22(28+-8222=--22222=--=－2。

故选（A ）。

说明：在实数范围内进行加、减、乘、除、乘方和开方运算，运算顺序依然是从高级到低级。

值得注意的是，在进行开方运算时，正实数和零可以开任何次方，负实数能开奇次方，但不能开偶次方。

考点4 非负数例5 已知x ，y 为实数，且213(2)0x y -+-=，则x y -的值为（ ）.（A ）3 （B ）－3 （C ）1 （D ）－1分析：本题主要考查非负数的性质及其应用，非负数，即不是负数，也即正数和零，常见的非负数主要有三种：实数的绝对值、实数的算术平方根、实数的偶次方。

它有一个非常重要的性质：若干个非负数的和为0，这几个非负数均为零。

利用这个性质可解本题，解：由题意，得10x -=，20y -=，即1x =，2y =，所以1x y -=-。

故选（D ）。

说明：非负数是中考常考的知识点，同学们应从其意义入手，理解并掌握它。

考点5 数形结合题例6 已知实数 a 、b 在数轴上的位置如图所示：试化简：｜a －b ｜－｜a ＋b ｜ 分析：要化简｜a －b ｜－｜a ＋b ｜，需根据数轴上a 、b 的位置判断a －b 和a+b 的符号。

解：因为a>0，b<0，且∣a ∣<∣b ∣，所以a －b>0，a+b<0， 所以原式=（a －b ）+（a+b ）=a －b+a+b=2a说明：数形结合是解决数学问题常用的思想方法，解题时必须通过所给图形抓住相关数的信息。

考点6 探究题例7 阅读下列解题过程：()()()()()()221545415454545454⨯--===-++--()()()()()()221656516565656565⨯--===-++--请回答下列问题：（1）、观察上面的解题过程，请直接写出式子：11n n =++ ()2n ≥（2）、利用上面所提供的解法，请化简：1111121324354109++++++++++ba分析：通过阅读解题过程不难发现，每个式子的结果都等于分母中两个式子的差。

解：（1）11n n =++n n -+1。

（2）原式=91045342312-+⋅⋅⋅+-+-+-+-=110-。

说明：这类题目需要我们细心观察及思考，探究其中的规律，寻找解决问题的途径。

三、易错点例析1、对平方根、算术平方根、立方根的概念与性质理解不透理解不透平方根、算术平方根、立方根的概念与性质，往往出现以下错误：求一个正数的平方根时，漏掉其中一个，而求立方根时，又多写一个；求算术平方根时前面加上“±”成了平方根等等。

例1 （1）求641的平方根 （2）求81的算术平方根 错解：（1）25425416==；（2）81的算术平方根是9 错解分析：错解（1）中混淆了平方根和算术平方根；错解（2）中81=9，81的算术平方根其实是9的算术平方根，而9的算术平方根是3。

正确解法：（1）25425416±=±=±；（2）81的算术平方根是3。

例2 求64与－27的立方根。

错解：64的立方根是±4，－27没有立方根。

错解分析：64的立方根是4，只有一个，认为64的立方根有两个且互为相反数，是与正数的平方根相混淆；－27的立方根是－3，错误地认为－27没有立方根是与负数没有平方根相混淆。

正确解法：因为43=64，所以64的立方根是4。

因为（－3）3=－27，所以－27的立方根是－3。

2、忽略平方根成立的条件只有非负数才能开平方，这一条件解题时往往被我们忽略。

例3 当m 取何值时，2m -有意义？错解：不论m 取何值时，2m -都无意义。

错解分析：考虑不全，漏掉了m=0时的情况。

正确解法：当m=0时，－m 2=0，此时2m -有意义。

3、实数分类时只看表面形式对实数进行分类不能只看表面形式，应先化简，再根据结果去判断。

例4 下列各数－2、3π、3.14159、－9、35-、（－7）2、51、38中无理数有．错解：无理数有3π、－9、35-、（－7）2、38。

错解分析：这种错误认为带根号的数都是无理数。

其实能化简的应先化简，－9=－3，（－7）2=7，38=2，所以它们是有理数。

正确解法：无理数有3π、35-。

4、运算错误在进行实数的运算时要注意运算法则与公式的正确应用，千万不要忽略公式的应用条件。

例5 化简（1）5a a 9- （2）)25()9(-⨯- 错解：（1）5a a 9-=5a a 3-=2；（2）)25()9(-⨯-=)25()9(-⨯-=（－3）×（－5）=15 错解分析：（1）中合并同类二次根式时丢掉了a 从而出错；（2）中忽略了公式b a b a ⋅=⋅的应用条件，即a≥0，b≥0，因为负数没有平方根，虽然最后结果正确，但解法是错误的。

正确解法：（1）5a a 9-=5a a 3-=2a ； （2）)25()9(-⨯-=259⨯=259⨯=3×5=15。

Ａ Ｂ3-5四、考点链接中考中对于实数一章的考查，其题型主要有选择题、填空题、解答题。

近几年题型变化比较大，创设了一些新的情境，考查学生灵活运用所学知识的能力，这也是近几年考查的热点和趋势。

下面是2007年各省市关于实数的中考题的归类说明。

1、利用平方根、算术平方根、立方根的定义与性质解题（1）（资阳市）如果某数的一个平方根是－6，那么这个数为________． （2）（安顺市）16的平方根是 ． （3）(南京市)14的算术平方根是（ ） Ａ．12- Ｂ．12 Ｃ．12±Ｄ．116（4）(遵义市)8的立方根是 ． （5）(永州市)30.001＝________。

（6）（南宁市）若2(1)10x +-=，则x 的值等于（ ）A ．1±B ．2±C ．0或2D ．0或2-分析：本组题目主要考查平方根、算术平方根、立方根的定义与性质，其中（6）小题与方程相结合，可由2(1)10x +-=得（x+1）2=1，又由（±1）2=1得x+1=±1，再进一步求出x 即可。

解：（1）36；（2）±2；（3）选B ；（4）2；（5）0.1；（6）选D 2、考查实数的有关概念及实数大小的比较 （7）(金华市)2的相反数是 ．（8）（旅顺口）如图，在数轴上，A B ，两点之间表示整数的点有个．（9）（江西省）在数轴上与表示3的点的距离最近的整数点所表示的数是 ． （10）(河北省)比较大小：750．（填“＞”、“＝”或“＜”）（11）(广州市)下列各数中，最小．．的数是（ ） A ．－2 B ．－1 C ．0 D ．2 (12)(中山市)在三个数0.5、35、31-中，最大的数是（ ）。