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行列式测试题(有答案)

第九讲行列式单元测试题点评一、填空题(每小题2分,满分20分)1.全体3阶排列一共有6 个,它们是123,132,213,231,312,321;2. 奇排列经过奇数次对换变为偶排列,奇排列经过偶数次对换变为奇排列;3. 行列式D和它的转置行列式D'有关系式D D'=;4. 交换一个行列式的两行(或两列),行列式的值改变符号;5. 如果一个行列式有两行(或两列)的对应元素成比例,则这个行列式等于零;6. 一个行列式中某一行(列)所有元素的公因子可以提到行列式符号的外边;…7. 把行列式的某一行(列)的元素乘以同一数后加到另一行(列)的对应元素上,行列式的值不变;8. 行列式的某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式的乘积之和等于零;9.111212221122; 00nnnnnna a aa aa a aa=10.当k=22±时,542k k k =。

二、判断题(每小题3分,满分24分)1.1)(,)(31221±==k i i i i k i i i n n ππ则若 (∨)的符号的一般项则设n n j i j i j i nnn n nna a a a a a a a a a a a D2211D ,.2212222111211=.)1()(21n j j j π-是(×)3. 若n(n>2)阶行列式D=0,则D 有两行(列)元素相同. (×) 4.若n 阶行列式D 恰有n 个元素非0,则D ≠0. (×) 5.对于线性方程组,只要方程个数等于未知数个数,就可以直接使用克莱姆法则求解。

(×).6.若行列式D 的相同元素多于2n n -个,则D=0. (×)7.111213132333212223122223313233112131a a a a a a a a a a a a a a a a a a = (×)阶行列式主对角线上元素乘积项带正号,副对角线上元素乘积项带负号。

(×) 三、单项选择题(每小题4分,满分20分) 1.位于n 级排列12111k k n i i i i i -+中的数1与其余数形成的反序个数为( A )(A )k-1 (B) n-k-1 (C) k n C (D) 2n C k -2.设12n i i i 是奇排列,则121n n i i i i -是(C )(A )奇排列; (B ) 偶排列;(C )奇偶性不能仅由n 的奇偶性确定的排列; (D )奇偶性仅由n 的奇偶性确定的排列。

:3.一个不等于0的n 阶行列式中非零元素个数至少为(D );22()(1)()()(1)()A n n B n C n D n --4.以下数集作成数环的是( C )(1)S={}Z ∈; (2) S={}0a a Q ≠∈;(3)S={},a b Z +∈; (4)S={},a a b Q +∈.(A )(1)、(3) (B )(2)、(4) (C )(3)、(4) (D )(1)、(4)5.行列式000000a e bf gc h d中元素f 的代数余子式是( C ) ()()()()d e d e a eaeA B C gD gfgfh dh d --四、计算下列各题(每小题5分,满分20分) 、1.计算()π(2k)1(2k-1)2(k+1)k ;)2(1)](12)(1)(1)(1)k k k k k k k k +=++++-++-11121314352111052.,13132413设求的值.D A A A A --=+++----3.计算行列式D=222333444345345345345的值。

222222223333333344444444111112345634523456345234563452345634532)42)52)62)43)53)63)54)64)65==----------解((((((((((4.计算行列式 12311100220011n nn n--=---n D 的值。

^1111053133-=-11121314A A A A +++解 4.=21231110000220000011123101000(1)022n n n n D n n n n n n--==-----+-将第至列都加到第一列解五、证明下列各题(满分16分)1212,F F F F 1.设均为数域,证明也是数域。

(5分)/2.已知a,b,c 均不为0,证明cx az b bz cy a ⎪+=⎨⎪+=⎩有唯一解。

(5分)证明 因为方程组的系数行列式020(,,00b a D c a abc a b c c b==-≠均不为)所以有克莱姆法则知,方程组有唯一解。

3.设a,b,c 是一个三角形的三边,证明000.00a b ca c bb c a c b a <(6分)证明 ;011000010101010101a b ca b ca c bc bac b b cbca ca c aba c cb a b a b a a bc---==------(a+b+c)(a+b+c).====-ac-b b-c -a c-b b-c(a+b+c)c-a-ba-c (a+b+c)c-c a-b b-a a-b-c b a-c-b-111=(a+b+c)(a-(b+c))c-c a-b b a-c -b -100(a+b+c)(a-(b+c))c0a+c-b ba+b-c(a+b+c)(a-(b+c))(a+b-c)(a+c-b)<0(因为a,b,c 是三角形的三边)本讲作业:(一)解答下列各题1.计算行列式1231131211231n x n D x nx +=++110,(1)|.2),,[(1)]()2)[(1)]|1=2)[(1)]n n n nn n n x D x D x x n D x i x j i j x x n D D x D x x n -==------≠------解当时,所以同理(均为的因式。

又与各不相同,所以(x-1)( 但的展开式中最高次项的系数为,所以(x-1)(2.计算n 阶行列式5100065100065000005100065D =12111156560,5A231,223194,93-2.n n n n n n n n n D D D x A B D B n A B A B D ----++=--+=+=⎧=+=⎨+=⎩=-=⇒=2解由于按第一列展开有 ,作特征方程 x 解此方程得二根2,3,令 ,令可得 解得012110121210312313.(1)()(),22(),cos sin .n n n n n n n n ii i a a a a a a a a D a a a a f f f a a a a f x a x i n n εεππε--------=====+∑证明 其中0121211012242(1)210312(1)(1)(1)12301111111n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a εεεεεεεεε------------⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭证明作矩阵乘积2122112422(1)112(1)2(1)(1)121242(1)12(1)(1)((1)()()()(1)()()()(1)()()()(1)()()()1111111n n n n n n n n n n n n n n n n f f f f f f f f f f f f f f f f εεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεε---------------⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎪⎝⎭=11)(1)()()n f f f εε--⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭两边取行列式即得所征。

222222222222222212312(1)(1)1(2)2341n n n n n n ---说明:此行列式称为循环行列式,以后见到以下类型的行列式计算,可直接利用这一结果。

例如计算行列式 D=(二)阅读教材P49-60,并回答什么是矩阵、矩阵的相等矩阵有哪些运算和性质有哪些特殊矩阵和特殊性质。

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