1.（2018•卷Ⅱ）设函数f(x)=5−|x+a|−|x−2|a=1f(x)≥0（1）当时，求不等式的解集；f(x)≤1a（2）若，求的取值范围2.（2013•辽宁）已知函数f（x）=|x﹣a|，其中a＞1（1）当a=2时，求不等式f（x）≥4﹣|x﹣4|的解集；（2）已知关于x的不等式|f（2x+a）﹣2f（x）|≤2的解集{x|1≤x≤2}，求a的值．3.（2017•新课标Ⅲ）[选修4-5：不等式选讲]已知函数f（x）=|x+1|﹣|x﹣2|．（Ⅰ）求不等式f（x）≥1的解集；（Ⅱ）若不等式f（x）≥x2﹣x+m的解集非空，求m的取值范围．4.（2017•新课标Ⅱ）[选修4-5：不等式选讲]已知a＞0，b＞0，a3+b3=2，证明：（Ⅰ）（a+b）（a5+b5）≥4；（Ⅱ）a+b≤2．5.（2017•新课标Ⅰ卷）[选修4-5：不等式选讲]已知函数f（x）=﹣x2+ax+4，g（x）=|x+1|+|x﹣1|．（10分）（1）当a=1时，求不等式f（x）≥g（x）的解集；（2）若不等式f（x）≥g（x）的解集包含[﹣1，1]，求a的取值范围．6.（2017•新课标Ⅱ）[选修4-5：不等式选讲]已知a＞0，b＞0，a3+b3=2，证明：（Ⅰ）（a+b）（a5+b5）≥4；（Ⅱ）a+b≤2．7.（2018•卷Ⅰ）已知f(x)=|x+1|−|ax−1|a=1f(x)>1（1）当时，求不等式的解集x∈(0,1)f(x)>x a（2）若时，不等式成立，求的取值范围8.（2018•卷Ⅰ）已知f(x)=|x+1|-|ax-1|（1）当a=1时,求不等式f(x)>1的解集（2）若x∈(0,1)时不等式f(x)>x成立,求a的取值范围9.（2017•新课标Ⅲ）[选修4-5：不等式选讲]已知函数f（x）=|x+1|﹣|x﹣2|．（1）求不等式f（x）≥1的解集；（2）若不等式f（x）≥x2﹣x+m的解集非空，求m的取值范围．10.（2014•新课标II ）设函数f （x ）=|x+ |+|x ﹣a|（a ＞0）．1a （1）证明：f （x ）≥2；（2）若f （3）＜5，求a 的取值范围． 11.（2015·福建)选修4-5：不等式选讲已知，函数的最小值为4． a >0,b >0,c >0,f (x )=|x +a |+|x -b |+c （1）求的值；a +b +c （2）求的最小值．14a2+19b 2+c 212.（2014•新课标I ）若a ＞0，b ＞0，且+ =．1a 1b ab （1）求a 3+b 3的最小值；（2）是否存在a ，b ，使得2a+3b=6？并说明理由．13.（2017•新课标Ⅲ）已知函数f （x ）=lnx+ax 2+（2a+1）x ．（12分） （1）讨论f （x ）的单调性； （2）当a ＜0时，证明f （x ）≤﹣ ﹣2．34a 14.（2017•新课标Ⅲ）已知函数f （x ）=x ﹣1﹣alnx ．（Ⅰ）若 f （x ）≥0，求a 的值；（Ⅱ）设m 为整数，且对于任意正整数n ，（1+）（1+ ）…（1+ ）＜m ，求m 的最小值．1212212n 15.（2018•卷Ⅲ）设函数 f(x)=|2x +1|+|x −1|（1）画出 的图像y =f(x)（2）当 时， ，求 的最小值。

x ∈[0,+∞)f(x)≤ax +b a +b 16.（2013•福建）设不等式|x ﹣2|＜a （a ∈N *）的解集为A ，且32∈A,12∉A（1）求a 的值（2）求函数f （x ）=|x+a|+|x ﹣2|的最小值． 17.（2013•新课标Ⅰ）（选修4﹣5：不等式选讲）已知函数f （x ）=|2x ﹣1|+|2x+a|，g （x ）=x+3．（1）当a=﹣2时，求不等式f （x ）＜g （x ）的解集；（2）设a ＞﹣1，且当时，f （x ）≤g （x ），求a 的取值范围．x ∈[−a 2,12)18.（2016•全国）选修4—5：不等式选讲已知函数f (x )= ∣x - ∣+∣x + ∣，M为不等式f (x ) ＜2的解集.1212（1）求M ；（2）证明：当a ,b ∈M 时，∣a +b ∣＜∣1+ab ∣。

19.（2016•全国）[选修4-5：不等式选讲]已知函数f （x ）=|2x ﹣a|+a ． （1）当a=2时，求不等式f （x ）≤6的解集；（2）设函数g （x ）=|2x ﹣1|，当x ∈R 时，f （x ）+g （x ）≥3，求a 的取值范围．20.（2012•新课标）已知函数f （x ）=|x+a|+|x ﹣2|（1）当a=﹣3时，求不等式f （x ）≥3的解集；（2）若f （x ）≤|x ﹣4|的解集包含[1，2]，求a 的取值范围． 21.（2012•辽宁）选修4﹣5：不等式选讲已知f （x ）=|ax+1|（a ∈R ），不等式f （x ）≤3的解集为{x|﹣2≤x≤1}． （1）求a 的值； （2）若恒成立，求k 的取值范围．|f(x)−2f(x2)|≤k答案解析部分一、解答题1.【答案】（1）a=1时，时，由f（x）={6−2x,x≥22,−1﹤x﹤24+2x,x≤−1当x≥2时，由f（x）≥0得：6-2x≥0，解得：x≤3；当-1＜x＜x时，f（x）≥0；当x≤-1时，由f（x）≥0得：4+2x≥0，解得x≥-2所以f（x）≥0的解集为{x|-2≤x≤3}（2）若f（x）≤1，即恒成立5−|x+a|−|x−2|≤1也就是x∈R，恒成立|x+a|+|x−2|≥4|x+a|+|x−2|≥|a+2|当x=2时取等，所以x∈R，等价于|x+a|+|x−2|≥4|a+2|≥4解得：a≥2或a≤-6所以a的取值范围(-∞，-6] ∪[2，+∞）【解析】【分析】（1）由绝对值不等式的解法易得；（2）由绝对值几何意义转化易得.2.【答案】（1）解：当a=2时，f（x）≥4﹣|x﹣4|可化为|x﹣2|+|x﹣4|≥4，当x≤2时，得﹣2x+6≥4，解得x≤1；当2＜x＜4时，得2≥4，无解；当x≥4时，得2x﹣6≥4，解得x≥5；故不等式的解集为{x|x≥5或x≤1}（2）解：设h（x）=f（2x+a）﹣2f（x），则h（x）=由|h（x）|≤2得，又已知关于x的不等式|f（2x+a）﹣2f（x）|≤2的解集{x|1≤x≤2}，所以，故a=3．【解析】【分析】（1）当a=2时，f （x ）≥4﹣|x ﹣4|可化为|x ﹣2|+|x ﹣4|≥4，直接求出不等式|x ﹣2|+|x ﹣4|≥4的解集即可．（2）设h （x ）=f （2x+a ）﹣2f （x ），则h （x ）=．由|h （x ）|≤2解得 {−2a,x ≤04x −2a,0＜x＜a2a,x ≥a，它与1≤x≤2等价，然后求出a 的值．a −12≤x ≤a +123.【答案】解：（Ⅰ）∵f （x ）=|x+1|﹣|x ﹣2|= ，f （x ）≥1，{−3，x <−12x −1，−1≤x ≤23，x >2∴当﹣1≤x≤2时，2x ﹣1≥1，解得1≤x≤2；当x ＞2时，3≥1恒成立，故x ＞2；综上，不等式f （x ）≥1的解集为{x|x≥1}．（Ⅱ）原式等价于存在x ∈R 使得f （x ）﹣x 2+x≥m 成立，即m≤[f （x ）﹣x 2+x]max ， 设g （x ）=f （x ）﹣x 2+x ．由（1）知，g （x ）= ，{−x 2+x −3，x ≤−1−x 2+3x −1，−1<x <2−x 2+x +3，x ≥2当x≤﹣1时，g （x ）=﹣x 2+x ﹣3，其开口向下，对称轴方程为x=＞﹣1，12∴g （x ）≤g （﹣1）=﹣1﹣1﹣3=﹣5；当﹣1＜x ＜2时，g （x ）=﹣x 2+3x ﹣1，其开口向下，对称轴方程为x= ∈（﹣1，2），32∴g （x ）≤g （）=﹣ + ﹣1=；32949254当x≥2时，g （x ）=﹣x 2+x+3，其开口向下，对称轴方程为x=＜2，12∴g （x ）≤g （2）=﹣4+2=3=1；综上，g （x ）max =，54∴m 的取值范围为（﹣∞，]．54【解析】【分析】（Ⅰ）由于f （x ）=|x+1|﹣|x ﹣2|= ，解不等式f （x ）≥1可分﹣1≤x≤2{−3，x <−12x −1，−1≤x ≤23，x >2与x ＞2两类讨论即可解得不等式f （x ）≥1的解集；（Ⅱ）依题意可得m≤[f （x ）﹣x 2+x]max ， 设g （x ）=f （x ）﹣x 2+x ，分x≤1、﹣1＜x ＜2、x≥2三类讨论，可求得g （x ）max =，从而可得m 的取值范围．544.【答案】证明：（Ⅰ）由柯西不等式得：（a+b ）（a 5+b 5）≥（ + ）2=（a 3+b 3）2≥4，a ⋅a 5b ⋅b 5当且仅当 = ，即a=b=1时取等号，ab 5ba 5（Ⅱ）∵a 3+b 3=2，∴（a+b ）（a 2﹣ab+b 2）=2，∴（a+b ）[（a+b ）2﹣3ab]=2，∴（a+b ）3﹣3ab （a+b ）=2，∴=ab ，(a +b)3−23(a +b)由均值不等式可得：=ab≤（）2 ，(a +b)3−23(a +b)a +b 2∴（a+b ）3﹣2≤ ，3(a +b)34∴（a+b ）3≤2，14∴a+b≤2，当且仅当a=b=1时等号成立．【解析】【分析】（Ⅰ）由柯西不等式即可证明，（Ⅱ）由a 3+b 3=2转化为=ab ，再由均值不等式可得：=ab≤（）2 ， 即可得到(a +b)3−23(a +b)(a +b)3−23(a +b)a +b 2（a+b ）3≤2，问题得以证明．145.【答案】（1）解：（1）当a=1时，f （x ）=﹣x 2+x+4，是开口向下，对称轴为x=的二次函数，12g （x ）=|x+1|+|x ﹣1|= ，{2x，x >12，−1≤x ≤1−2x，x <−1当x ∈（1，+∞）时，令﹣x 2+x+4=2x ，解得x= ，g （x ）在（1，+∞）上单调递增，f （x ）在（1，+∞）17−12上单调递减，∴此时f （x ）≥g （x ）的解集为（1， ]；17−12当x ∈[﹣1，1]时，g （x ）=2，f （x ）≥f （﹣1）=2．当x ∈（﹣∞，﹣1）时，g （x ）单调递减，f （x ）单调递增，且g （﹣1）=f （﹣1）=2．综上所述，f （x ）≥g （x ）的解集为[﹣1，]；17−12（2）（2）依题意得：﹣x 2+ax+4≥2在[﹣1，1]恒成立，即x 2﹣ax ﹣2≤0在[﹣1，1]恒成立，则只需，解得﹣1≤a≤1，{12−a ⋅1−2≤0(−1)2−a(−1)−2≤0故a 的取值范围是[﹣1，1]．【解析】【分析】（1.）当a=1时，f （x ）=﹣x 2+x+4，g （x ）=|x+1|+|x ﹣1|= ，分{2x，x >12，−1≤x ≤1−2x，x <−1x ＞1、x ∈[﹣1，1]、x ∈（﹣∞，﹣1）三类讨论，结合g （x ）与f （x ）的单调性质即可求得f （x ）≥g （x ）的解集为[﹣1，]；17−12（2.）依题意得：﹣x 2+ax+4≥2在[﹣1，1]恒成立⇔x 2﹣ax ﹣2≤0在[﹣1，1]恒成立，只需 ，{12−a ⋅1−2≤0(−1)2−a(−1)−2≤0解之即可得a 的取值范围．6.【答案】证明：（Ⅰ）由柯西不等式得：（a+b ）（a 5+b 5）≥（ + ）2=（a 3+b 3）2≥4，a ⋅a 5b ⋅b 5当且仅当 = ，即a=b=1时取等号，ab 5ba 5（Ⅱ）∵a 3+b 3=2，∴（a+b ）（a 2﹣ab+b 2）=2，∴（a+b ）[（a+b ）2﹣3ab]=2，∴（a+b ）3﹣3ab （a+b ）=2，∴=ab ，(a +b)3−23(a +b)由均值不等式可得：=ab≤（）2 ，(a +b)3−23(a +b)a +b 2∴（a+b ）3﹣2≤ ，3(a +b)34∴（a+b ）3≤2，14∴a+b≤2，当且仅当a=b=1时等号成立．【解析】【分析】（Ⅰ）由柯西不等式即可证明，（Ⅱ）由a 3+b 3=2转化为 =ab ，再由均值不等式可得：=ab≤（）2 ， 即可得到(a +b)3−23(a +b)(a +b)3−23(a +b)a +b2 ≤2，问题得以证明．14(a+b)37.【答案】（1）解：当 时， ，即 故不等式 a =1f(x)=|x +1|−|x −1|f(x)={−2,x ≤−1,2x,−1<x <1,2,x ≥ 1.{x|x 〉1}（2）解：当 时 成立等价于当 时 成立．x ∈(0,1)|x +1|−|ax −1|>x x ∈(0,1)|ax −1|<1若 ，则当 时 ；a ≤0x ∈(0,1)|ax −1|≥1若 ， 的解集为，所以，故 ．a >0|ax −1|<10<x <2a 2a≥10<a ≤2综上， 的取值范围为 ．a (0,2]【解析】【分析】(1)通过对x 分类讨论去掉绝对值,解不等式,求出解集;(2)不等式恒成立等价于f(x)-x>0对于 恒成立,即函数f(x)-x 的最小值大于0,由此求出a 的范围.x ∈(0,1)8.【答案】（1）解：当a=1时， f(x){−2,x <−12x,−1≤x <12,x ≥1当 时，-2＞1舍x <−1当 时，2x ＞1 −1≤x <1⇒x >12∴x ∈(12,1]当 时，2＞1,成立，综上所述 结果为 x >1f(x)>1(12,+∞)（2）解：∵ x ∈(0,1)∴ f(x)=x +1−|ax −1|>x ⇒|ax −1|<1⇒0<ax <2∵ax ＞0∴a ＞0.ax ＜2⇒a <(2x )min又 所以 x ∈(0,1)a ≤2综上所述a ∈(0,2]【解析】【分析】通过对x 分类讨论去掉绝对值,解不等式,求出解集;(2)不等式恒成立等价于f(x)-x>0对于恒成立,即函数f(x)-x 的最小值大于0,由此求出a 的范围.x ∈(0,1)9.【答案】（1）解：∵f （x ）=|x+1|﹣|x ﹣2|= ，f （x ）≥1，{−3，x <−12x −1，−1≤x ≤23，x >2∴当﹣1≤x≤2时，2x ﹣1≥1，解得1≤x≤2；当x ＞2时，3≥1恒成立，故x ＞2；综上，不等式f （x ）≥1的解集为{x|x≥1}．（2）原式等价于存在x ∈R 使得f （x ）﹣x 2+x≥m 成立，即m≤[f （x ）﹣x 2+x]max ， 设g （x ）=f （x ）﹣x 2+x ．由（1）知，g （x ）= ，{−x 2+x −3，x ≤−1−x 2+3x −1，−1<x <2−x 2+x +3，x ≥2当x≤﹣1时，g （x ）=﹣x 2+x ﹣3，其开口向下，对称轴方程为x=＞﹣1，12∴g （x ）≤g （﹣1）=﹣1﹣1﹣3=﹣5；当﹣1＜x ＜2时，g （x ）=﹣x 2+3x ﹣1，其开口向下，对称轴方程为x= ∈（﹣1，2），32∴g （x ）≤g （）=﹣ + ﹣1=；32949254当x≥2时，g （x ）=﹣x 2+x+3，其开口向下，对称轴方程为x=＜2，12∴g （x ）≤g （2）=﹣4+2=3=1；综上，g （x ）max =，54∴m 的取值范围为（﹣∞，]．54【解析】【分析】（1.）由于f （x ）=|x+1|﹣|x ﹣2|= ，解不等式f （x ）≥1可分﹣1≤x≤2{−3，x <−12x −1，−1≤x ≤23，x >2与x ＞2两类讨论即可解得不等式f （x ）≥1的解集；（2.）依题意可得m≤[f （x ）﹣x 2+x]max ， 设g （x ）=f （x ）﹣x 2+x ，分x≤1、﹣1＜x ＜2、x≥2三类讨论，可求得g （x ）max =，从而可得m 的取值范围．5410.【答案】（1）解：证明：∵a ＞0，f （x ）=|x+|+|x ﹣a|≥|（x+）﹣（x ﹣a ）|=|a+|=a+≥2=2，故不等式f （x ）≥2成立．（2）解：∵f （3）=|3+|+|3﹣a|＜5，∴当a ＞3时，不等式即a+＜5，即a 2﹣5a+1＜0，解得3＜a ＜．当0＜a≤3时，不等式即 6﹣a+＜5，即 a 2﹣a ﹣1＞0，求得＜a≤3．综上可得，a 的取值范围（，）【解析】【分析】（1）由a ＞0，f （x ）=|x+ |+|x ﹣a|，利用绝对值三角不等式、基本不等式证得f （x ）1a ≥2成立．（2）由f （3）=|3+ |+|3﹣a|＜5，分当a ＞3时和当0＜a≤3时两种情况，分别去掉绝对值，求1a11.【答案】（1）4（2）87【解析】【解答】1.因为,当且仅当f (x )=|x +a |+|x +b |+c ≥|(x +a )-(x +b )|+c =|a +b |+c 时，等号成立，又,所以,所以的最小值为，所-a ≤x ≤b a >0,b >0|a +b |=a +b f (x )a +b +c 以.a +b +c =4 2.由1知，由柯西不等式得a +b +c =4,即(14a 2+19b 2+c 2)(4+9+1)≥(a2×2+b3×3+c ×1)2=(a +b +c )2=16.d当且仅当,即时，等号成立所以的最小14a 2+19b 2+c 2≥8712a 2=13b 3=c1a =87,b =187,c =2714a 2+19b 2+c 2值为87.【分析】当的系数相等或相反时，可以利用绝对值不等式求解析式形如的函数的x f (x )=|x +a |+|x +b |最小值，以及解析式形如的函数的最小值和最大值，否则去绝对号，利用分段函f (x )=|x +a |-|x +b |数的图象求最值．利用柯西不等式求最值时，要注意其公式的特征，以出现定值为目标．12.【答案】（1）解：∵a ＞0，b ＞0，且+= ，∴= + ≥2，∴ab≥2，当且仅当a=b= 时取等号．∵a 3+b 3≥2≥2=4 ，当且仅当a=b=时取等号，∴a 3+b 3的最小值为 4 ．（2）解：∵2a+3b≥2=2 ，当且仅当2a=3b 时，取等号． 而由（1）可知，2≥2=4＞6，故不存在a ，b ，使得2a+3b=6成立．【解析】【分析】（1）由条件利用基本不等式求得ab≥2，再利用基本不等式求得a 3+b 3的最小值．（2）根据 ab≥4及基本不等式求的2a+3b ＞8，从而可得不存在a ，b ，使得2a+3b=6．13.【答案】（1）解：因为f （x ）=lnx+ax 2+（2a+1）x ，求导f′（x ）= +2ax+（2a+1）= =，（x ＞0），1x 2ax 2+(2a +1)x +1x (2ax +1)(x +1)x ①当a=0时，f′（x ）= +1＞0恒成立，此时y=f （x ）在（0，+∞）上单调递增；1x ②当a ＞0，由于x ＞0，所以（2ax+1）（x+1）＞0恒成立，此时y=f （x ）在（0，+∞）上单调递增；1因为当x ∈（0，﹣）时，f′（x ）＞0、当x ∈（﹣，+∞）时，f′（x ）＜0，12a 12a 所以y=f （x ）在（0，﹣ ）上单调递增、在（﹣，+∞）上单调递减．12a 12a 综上可知：当a≥0时f （x ）在（0，+∞）上单调递增，当a ＜0时，f （x ）在（0，﹣）上单调递增、在（﹣，+∞）上单调递减；12a 12a （2）证明：由（1）可知：当a ＜0时f （x ）在（0，﹣ ）上单调递增、在（﹣，+∞）上单调递减，12a 12a 所以当x=﹣时函数y=f （x ）取最大值f （x ）max =f （﹣）=﹣1﹣ln2﹣ +ln （﹣）．12a 12a 14a 1a 从而要证f （x ）≤﹣ ﹣2，即证f （﹣）≤﹣ ﹣2，34a 12a 34a 即证﹣1﹣ln2﹣ +ln （﹣ ）≤﹣ ﹣2，即证﹣（﹣）+ln （﹣）≤﹣1+ln2．14a 1a 34a 121a 1a 令t=﹣ ，则t ＞0，问题转化为证明：﹣ t+lnt≤﹣1+ln2．…（*）1a 12令g （t ）=﹣ t+lnt ，则g′（t ）=﹣ +，12121t 令g′（t ）=0可知t=2，则当0＜t ＜2时g′（t ）＞0，当t ＞2时g′（t ）＜0，所以y=g （t ）在（0，2）上单调递增、在（2，+∞）上单调递减，即g （t ）≤g （2）=﹣ ×2+ln2=﹣1+ln2，即（*）式成立，12所以当a ＜0时，f （x ）≤﹣ ﹣2成立．34a 【解析】【分析】（1.）题干求导可知f′（x ）=（x ＞0），分a=0、a ＞0、a ＜0三种情况讨(2ax +1)(x +1)x 论f′（x ）与0的大小关系可得结论；（2.）通过（1）可知f （x ）max =f （﹣）=﹣1﹣ln2﹣ +ln （﹣），进而转化可知问题转化为证明：当t ＞0时12a 14a 1a ﹣ t+lnt≤﹣1+ln2．进而令g （t ）=﹣ t+lnt ，利用导数求出y=g （t ）的最大值即可．121214.【答案】解：（Ⅰ）因为函数f （x ）=x ﹣1﹣alnx ，x ＞0，所以f′（x ）=1﹣ =，且f （1）=0．a x x −ax 所以当a≤0时f′（x ）＞0恒成立，此时y=f （x ）在（0，+∞）上单调递增，所以在（0,1）上f(x)<0,这与f （x ）≥0矛盾；当a ＞0时令f′（x ）=0，解得x=a ，所以y=f （x ）在（0，a ）上单调递减，在（a ，+∞）上单调递增，即f （x ）min =f （a ），又因为f （x ）min =f （a ）≥0，所以a=1；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知当a=1时f （x ）=x ﹣1﹣lnx≥0，即lnx≤x ﹣1，所以ln （x+1）≤x 当且仅当x=0时取等号，所以ln （1+ ）＜ ，k ∈N *,12k12k 所以，k ∈N * ．1+12k<e12k一方面，因为+ +…+ =1﹣＜1，1212212n12n 所以，（1+）（1+ ）…（1+ ）＜e ；1212212n 另一方面，（1+）（1+ ） (1)）＞（1+ ）（1+ ）（1+）=＞2，1212212n1212212313564同时当n≥3时，（1+）（1+ ）…（1+ ）∈（2，e ）．1212212n 因为m 为整数，且对于任意正整数n （1+）（1+ ）…（1+ ）＜m ，1212212n 所以m 的最小值为3．【解析】【分析】（Ⅰ）通过对函数f （x ）=x ﹣1﹣alnx （x ＞0）求导，分a≤0、a ＞0两种情况考虑导函数f′（x ）与0的大小关系可得结论；（Ⅱ）通过（Ⅰ）可知lnx≤x ﹣1，进而取特殊值可知ln （1+ ）＜ ，k ∈N * ． 一方面利用等比数列的12k12k 求和公式放缩可知（1+）（1+ ） (1)）＜e ；另一方面可知（1+）（1+ ）…（1+ ）1212212n 1212212n ＞2，且当n≥3时，（1+）（1+ ）…（1+ ）∈（2，e ）．1212212n 15.【答案】（1）解：f(x)={−3x,x <-12x +2,-12≤x ≤13x,x >1（2）解：由（1）中可得：a≥3，b≥2，当a=3，b=2时，a+b 取最小值，A所以a+b 的最小值为5.【解析】【分析】（1）画图像，分段函数;（2）转化为一次函数分析.16.【答案】（1）解：因为，所以且，解得，因为a ∈N * ， 所以a 的值为1．（2）解：由（1）可知函数f （x ）=|x+1|+|x ﹣2|≥|（x+1）﹣（x ﹣2）|=3， 当且仅当（x+1）（x ﹣2）≥0，即x≥2或x≤﹣1时取等号，所以函数f （x ）的最小值为3． 【解析】【分析】（1）利用，推出关于a 的绝对值不等式，结合a 为整数直接求a 的32∈A,12∉A值．（2）利用a 的值化简函数f （x ），利用绝对值三角不等式求出|x+1|+|x ﹣2|的最小值．17.【答案】（1）解：当a=﹣2时，求不等式f （x ）＜g （x ）化为|2x ﹣1|+|2x ﹣2|﹣x ﹣3＜0．结合图象可得，y ＜0的解集为（0，2），故原不等式的解集为（0，2）．（2）解：设a ＞﹣1，且当时，f （x ）=1+a ，不等式化为 1+a≤x+3，故 x≥a ﹣2对都成立．故﹣≥a ﹣2，解得 a≤，故a 的取值范围为（﹣1，]．【解析】【分析】（1）当a=﹣2时，求不等式f （x ）＜g （x ）化为|2x ﹣1|+|2x ﹣2|﹣x ﹣3＜0．设y=|2x ﹣1|+|2x ﹣2|﹣x ﹣3，画出函数y 的图象，数形结合可得结论．（2）不等式化即 1+a≤x+3，故 x≥a ﹣2对都成立．故﹣ ≥a ﹣2，由此解得a 的取值范围．x ∈[−a 2,12)a218.【答案】（1）解：当时， ，若 ；x <−12f(x)=12−x −x −12=−2x−1<x <−12当时，恒成立；−12≤x ≤12f(x)=12−x +x +12=1<2当时， ，若 ，．x >12f(x)=2x f(x)<212<x <1综上可得， M ={x|−1<x <1}（2）证明：当 时，有 ，a ， b ∈(−1 ， 1)(a 2−1)(b 2−1)>0即 ，a 2b 2+1>a 2+b 2则 ，a 2b 2++2ab +1>a 2+2ab +b 2则 ，(ab +1)2>(a +b)2即 ，|a +b|<|ab +1|证毕【解析】【分析】（1）分当x ＜时，当≤x≤时，当x ＞时三种情况，分别求解不等式，综合可得答案；（2）当a ，b ∈M 时，（a 2﹣1）（b 2﹣1）＞0，即a 2b 2+1＞a 2+b 2 ， 配方后，可证得结论．19.【答案】（1）解：当a=2时，f （x ）=|2x ﹣2|+2，∵f （x ）≤6，∴|2x ﹣2|+2≤6，|2x ﹣2|≤4，|x ﹣1|≤2，∴﹣2≤x ﹣1≤2，解得﹣1≤x≤3，∴不等式f （x ）≤6的解集为{x|﹣1≤x≤3}（2）解：∵g （x ）=|2x ﹣1|，∴f （x ）+g （x ）=|2x ﹣1|+|2x ﹣a|+a≥3，2|x ﹣ |+2|x ﹣ |+a≥3，12a2|x ﹣ |+|x ﹣ |≥，12a23−a 2当a≥3时，成立，当a ＜3时，|a ﹣1|≥＞0，123−a 2∴（a ﹣1）2≥（3﹣a ）2 ， 解得2≤a ＜3，∴a 的取值范围是[2，+∞）【解析】【分析】（1）当a=2时，由已知得|2x ﹣2|+2≤6，由此能求出不等式f （x ）≤6的解集．（2）由f （x ）+g （x ）=|2x ﹣1|+|2x ﹣a|+a≥3，得|x ﹣|+|x ﹣|≥，由此能求出a 的取值范围．本题考查含绝对值不等式的解法，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意不等式性质的合理运用．20.【答案】（1）解：当a=﹣3时，f （x ）≥3 即|x ﹣3|+|x ﹣2|≥3，即①，或②，或③．解①可得x≤1，解②可得x ∈∅，解③可得x≥4．把①、②、③的解集取并集可得不等式的解集为{x|x≤1或x≥4}（2）解：原命题即f （x ）≤|x ﹣4|在[1，2]上恒成立，等价于|x+a|+2﹣x≤4﹣x 在[1，2]上恒成立，等价于|x+a|≤2，等价于﹣2≤x+a≤2，﹣2﹣x≤a≤2﹣x 在[1，2]上恒成立．故当 1≤x≤2时，﹣2﹣x 的最大值为﹣2﹣1=﹣3，2﹣x 的最小值为0，故a 的取值范围为[﹣3，0]．【解析】【分析】（1）不等式等价于 ，或 ，或{x ≤23−x +2−x ≥3{2＜x＜33−x +x −2≥3，求出每个不等式组的解集，{x ≥3x −3+x −2≥3再取并集即得所求．（2）原命题等价于﹣2﹣x≤a≤2﹣x 在[1，2]上恒成立，由此求得求a 的取值范围．21.【答案】（1）解：由|ax+1|≤3得﹣4≤ax≤2∵不等式f （x ）≤3的解集为{x|﹣2≤x≤1}．∴当a≤0时，不合题意；当a ＞0时，，−4a ≤x ≤2a ∴a=2；（2）解：记，h(x)=f(x)−2f(x2)∴h （x ）= {1,x ≤−1−4x −3,−1＜x＜−12−1,x ≥−12∴|h （x ）|≤1∵恒成立，|f(x)−2f(x2)|≤k∴k≥1．【解析】【分析】（1）先解不等式|ax+1|≤3，再根据不等式f （x ）≤3的解集为{x|﹣2≤x≤1}，分类讨论，即可得到结论．（2）记 ，从而h （x ）=，求得|h （x ）|≤1，即可h(x)=f(x)−2f(x2){1,x ≤−1−4x −3,−1＜x＜−12−1,x ≥−12求得k 的取值范围．。