固体物理练习题其中带* 的为附加题第1讲晶体结构1.1画出下列晶体结构的原胞，说明他们的Bravais格子，并标出原胞中原子的坐标。

（1）面心立方金属、氯化钠、金刚石；（2）体心立方金属、氯化铯。

1.2利用钢球密堆模型，求致密度：（1）简单立方；（2）体心立方；（3）六方密堆；（4）金刚石结构。

1.3证明对于六角密堆积结构，理想的c/a比为（8/3）1/2≈1.633。

又：金属Na在273 K 因马氏体相变从体心立方转变为六角密堆积结构，假定相变时金属的密度维持不变，已知立方相的晶格常数a = 0.423 nm，设六角密堆积结构相的c/a维持理想值，试求其晶格常数。

1.4画出正四面体的所有基本对称操作。

1.5写出面心立方晶格的基矢，轴矢，配位数，致密度，体积1.6金刚石结构原子间的键间角与立方体的体对角线间的夹角相同，试用矢量分析方法证明这一夹角为109º28'。

1.7画出体心立方和面心立方晶格结构的金属在（100），（110）和（111）面上的原子排列。

1.8指出立方晶格（111）面与（110）面，（111）面与（100）面的交线的晶向。

1.9如将布拉维格子的格点位置在直角系中用一组数（n1，n2，n3）表示，证明（1）对于体心立方格子，n i全部为偶数或奇数；（2）对于面心立方格子，n i的和为偶数。

1.10 证明体心立方和面心立方格子互为正、倒格子。

1.11 对于密堆六方结构，原胞基矢为1232222a a a a c =+=-+=a i j a i j a k试求倒格子基矢，并画出第一Brillouin 区。

1.12 考虑晶格中的一个晶面hkl（1）证明倒格矢123h k l =++G b b b 垂直于这个晶面；（2）证明晶格中另个相邻平行晶面的间距为()2/d h k l π=G ，对于简单立方晶格有22222()/()d h k l a h k l =++。

1.13 证明第一Brillouin 的体积为3(2)/c V π，其中V c 是晶体原胞的体积。

1.14 * 试求面心立方结构，体心立方结构的结构因子，并讨论衍射的相消条件。

1.15 * 双原子线，设有A-B 键长为a /2，ABAB 排列……AB ，原子A 、B 的散射因子分别为f A ，f B ，X 射线束垂直作用于原子线。

（1）证明干涉条件为n λ = a cos θ，其中θ为衍射束与原子线之间的交角。

（2）倒格矢G = hb ，h 为整数，证明h 为奇数时衍射束的强度正比于│f A − f B │2，h 为偶数时正比于│f A + f B │2。

第2讲固体结合2.1试计算正负离子相间排列的二维正方晶格的马德隆常数。

（1.685）2.2假如离子晶体NaCl的离子电荷加倍，讨论对晶格常数、结合能以及体弹性模量的影响，假定排斥势保持不变。

2.3挤压KCl晶体，多大的压强可使它的晶格常数减小1 %？KCl晶体的晶格常数为R0=0.314 nm，马德隆常数α = 1.75，n=9。

2.4固态分子氢。

对于H2，由气相测量获得的Lennard-Jones参数为ε = 50⨯10-16 erg，σ = 0.296 nm，试计算H2晶体具有面心立方结构时的内聚能，要求结果以kJ/mol为单位给出。

把每个H2 分子作为球体处理。

内聚能的观测值为0.751 kJ/mol，比计算值小很多，因此量子修正在这里一定是很重要的。

2.5用Lennard-Jones势计算Ne在体心立方和面心立方结构中的结合能之比。

2.6由实验测得NaCl晶体的密度为2.16 g/cm3，它的弹性模量为2.41⨯1010 N/m。

试求NaCl 晶体的每对离子内聚能U c/N。

（已知马德隆常数M=1.7476，Na和Cl的原子量分别为23及35.45）2.7由气体分子的实验测得惰性气体Xe的伦纳德-琼斯势参数ε=0.02 eV, σ=0.398 nm。

在低温下Xe元素形成面心立方的晶体。

试求Xe晶体的晶格常数a，每个原子的内聚能U c/N 及体积弹性模量B m。

若对晶体施加压力P=6⨯105 N/m2。

试在近似假定体积弹性模量不变的情况下，计算这时晶体的晶格常数a将变成为多少?并求这时的内聚能U c/N将改变成多少？2.8* 原子轨道波函数2s、2p x、2p y、2p z相互正交、归一，请证明由3sp杂化后的未配对电子轨道122222222232222422221()21()21()21()2x y zx y zx y zx y zs p p ps p p ps p p ps p p pψϕϕϕϕψϕϕϕϕψϕϕϕϕψϕϕϕϕ⎧=+++⎪⎪⎪=+--⎪⎨⎪=-+-⎪⎪⎪=--+⎩也相互正交、归一：*(,1,2,3,4)ij ij d i j ψψτδ==⎰，如果已知在球面极坐标中，轨道波函数2s 、2p x 、2p y 、2p z可写成：22222222()()cos ()sin ()x yzsp p p R r R r R r R r ϕϕθϕϕθϕϕθ⎧=⎪⎪⎪=⎪⎪⎨⎪=⎪⎪⎪=⋅⎪⎩请求出杂化轨道ψ1、ψ2、ψ3、ψ4在球面坐标中的表达式。

并由此求出杂化轨道具有最大值的方向。

第3讲 晶格振动和晶体的热学性质3.1 证明长波下单原子链运动方程2112(2)n n n d um u u u dtβ+-=+- 可以化为连续介质弹性波动方程：22222u u vtx∂∂=∂∂。

3.2 考虑一双原子链的晶格振动，链上最近邻原子间的力常数交替的等于c 和10c ， 令原子量相同，且最近邻距为a /2，试求在q =0和q =π/a 处的ω(q )，并大略地画出色散关系。

本题模拟如H 2这样的双原子分子晶体。

3.3 考虑一个全同原子组成的平面方格子，用,l m u 记第l 列，第m 行的原子垂直于格平面的位移，每个原子质量为M ，最近邻原子的力常数为β。

（1）证明运动方程为2,1,1,,,1,1,2(2)(2)m l l m l m l m l m l m l m d u Mu u u u u u dtβ+-+-⎡⎤=+-++-⎣⎦。

（2）设解的形式为：,(0)exp ()l m x y u u i lq a mq a t ω⎡⎤=+-⎣⎦，这里a 是最近邻原子的间距，证明运动方程是可以满足的，如果222cos cos x y M q a q a ωβ=(--)，这就是问题的色散关系。

（3）证明独立解存在的q 空间区域是一个边长为2π/a 的正方形，这是平面方格子的第一布里渊区。

画出x q q =，而0y q =时，和x y q q =时的ω(q )图。

（4）对于1qa ，证明：21/2221/21/2()(/)x y a M q q a M q ωββ2=(/)+=。

（5）在第一布里渊区中画出一些等ω线，其中包括通过点(/,0)x y q a q π==的。

并请标出ω的极大点、极小点和鞍点。

3.4 在一维双原子晶格振动的情况中，证明在布里渊区边界q =±π/2a 处，声学支格波中所有轻原子m 静止，而光学支格波中所有重原子M 静止，画出这时原子振动的图像。

3.5 从一维双原子晶格色散关系出发，当m 逐渐接近M 和m =M 时，在第一布里渊区中，晶格振动的色散关系如何变化？试与一维单原子链的色散关系比较，并对结果进行讨论。

3.6 设晶体中每个振子的零点振动能是(ħω)/2，试用德拜模型求晶体的零点振动能。

3.7 设三维晶格的光学振动在q = 0附近的长波极限有20()q A q ωω=-，证明：频率分布函数1/20023/21()()40V f Aωωωωωπωω⎧-<⎪=⎨⎪>⎩。

3.8 应用德拜模型，计算一维、二维情况下晶格振动的频谱密度，德拜温度，晶格比热。

3.9 证明简谐振动对热膨胀没有贡献。

所以研究热膨胀需要考虑非谐效应。

3.10 具有简单立方布喇菲格子的晶体，原子间距为2Å，由于晶格有非线性相互作用，一个沿[100]方向传播，波矢为q [100]=1.3×1010m -1的声子同另一个波矢大小相等但沿[110]的方向传播的声子相互作用，合并成第三个声子。

试求合成后的声子的波矢。

第4讲 能带理论4.1 电子在周期场中的势能函数2221() w hen ;()20 w hen (1);m b x na na b x na b V x n a b x na b ω⎧⎡⎤---≤≤+⎪⎣⎦=⎨⎪-+≤≤-⎩，其中b a 4=，ω为常数，（1）画出此势能曲线，并求其平均值；（2）用近自由电子近似模型求出晶体的第一个以及第二个禁带的宽带。

4.2 对于单价原子构成的三维简单立方单原子晶格，（1）在空晶格近似下，用简约布里渊区图示，画出沿[100]方向的前4个能带，并标出每个能带的简并度。

（2）如果晶体受到均匀的流体静压强，情况如何？ （3）如仅在[100]方向受到单轴应力，情况又如何？ 4.3 对原子间距分别a 的同种原子构成的二维密堆积结构 （1）求出前3个布里渊区；（2）求出每原子有一个电子时的费米波矢； （3）给出第一布里渊区内接圆的半径；（4）求出内接圆为费米圆时每原子的平均自由电子数；（5）平均每原子有两个自由电子时，画出扩展布里渊区中费米面的图形。

4.4 设有一一维晶体的电子能带可写成2271()(cos cos 2)88E k ka ka ma=-+，其中a 是晶格常数，试求 （1）能带宽度；（2）电子在波矢k 状态时的速度； （3）能带底部和顶部电子的有效质量。

4.5 设电子的等能面222222112233()/2/2/2k k m k m k m ε=++ ，外加磁场相H 对于椭球主轴的方向余弦为α，β，γ （1）写出电子的运动方程（2）证明电子绕磁场回旋的频率**/c c eB m ω=，其中123123[()/()]c m m m m m m m αβγ-=++4.6 一维周期场中电子的波函数()kx ψ应当满足布洛赫定理。

若晶格常数是a ，电子的波函数为（1）()sinkx x aψπ=；（2）3()coskx x i aψπ=；（3）()()kl x f x la ψ∞=-∞=-∑（f 是某个确定的函数），试求电子在这些状态的波矢。

4.7 用紧束缚方法处理面心立方晶体的S 态电子，若只计最近邻的相互作用，试导出其能带为0()4cos cos cos cos cos cos 222222y y x z z x k a k a k a k a k a k a E k E A J ⎡⎤=--++⎢⎥⎣⎦，并求能带底部的有效电子质量。