习 题 三1.正常情况下，某炼铁炉的铁水含碳量()24.55,0.108X N .现在测试了5炉铁水，其含碳量分别为4.28,4.40,4.42,4.35,4.37.如果方差没有改变，问总体的均值有无显著变化？如果均值没有改变，问总体方差是否有显著变化()0.05α=？解 由题意知，()24.55,0.108X N ，5n =，511 4.3645i i x x ===∑，0.05α=，()5220110.095265i i s x μ==-=∑.1)当00.108σ=已知时，①设统计假设0010: 4.55,: 4.55H H μμμμ==≠=. ②当0.05α=时，0.975121.96uu α-==，临界值120.1081.960.09475c unασ-==⨯=， 拒绝域为000{}{0.0947}K x c x μμ=->=->.③004.364 4.550.186x K μ-=-=∈，所以拒绝0H ，接受1H ，即认为当方差没有改变时，总体的均值有显著变化.2)当0 4.55μ=已知时，①设统计假设2222220010:0.108,:0.108H H σσσσ==≠=. ②当0.05α=时，临界值()()()()222210.02520.975122111150.1662,5 2.566655c n c n n n ααχχχχ-======， 拒绝域为222202122220000{}{2.56660.1662}ssssK c c σσσσ=><=><或或.③202200.095268.16700.108sK σ==∈，所以拒绝0H ，接受1H ，即均值没有改变时，总体方差有显著变化.2.一种电子元件，要求其寿命不得低于1000h .现抽取25件，得其均值950x h =.已知该种元件寿命()2,100X N μ ，问这批元件是否合格()0.05α=？解 由题意知，()2,100X N μ ，25n =，950x =，0.05α=，0100σ=.①设统计假设0010:1000,:1000H H μμμμ≥=<=. ②当0.05α=时，0.05 1.65u u α==-，临界值()1001.653325c u nασ==⨯-=-， 拒绝域为000{}{33}K x c x μμ=-<=-<-.③00950100050x K μ-=-=-∈，所以拒绝0H ，接受1H ，即认为这批元件不合格. 3.某食品厂用自动装罐机装罐头食品，每罐标准质量为500g ，现从某天生产的罐头中随机抽测9罐，其质量分别为510,505,498,503,492,502,497,506,495（单位：g ），假定罐头质量服从正态分布.问1)机器工作是否正常()0.05α=？2)能否认为这批罐头质量的方差为25.5()0.05α=？解 设X 表示用自动装罐机装罐头食品每罐的质量（单位：g ）.由题意知()2500,X N σ ，方差2σ未知. 9n =，911500.88899i i x x ===∑，0.05α=，()()222111133.6111118nni i i i s x x x x n ===-=-=-∑∑，()52201130.66679i i s x μ==-=∑1)①设统计假设0010:500,:500H H μμμμ==≠=.②()()0.9751218 2.306tn t α--==，临界值()12 5.79751 2.306 4.45649s c t n n α-=-=⨯=， 拒绝域为000{}{ 4.4564}K x c x μμ=->=->.③00500.88895000.8889x K μ-=-=∉，所以接受0H ，拒绝1H ，即认为机器工作正常.2)当0500μ=已知时，①设统计假设2222220010: 5.5,: 5.5H H σσσσ==≠=. ②当0.05α=时，临界值()()()()222210.02520.975122111190.3,9 2.113399c n c n n n ααχχχχ-======， 拒绝域为22220212222{}{2.11330.3}ssssK c c σσσσ=><=><或或.③2022030.66671.013785.5sK σ==∉，所以接受0H ，拒绝1H ，即为这批罐头质量的方差为25.5.4.某部门对当前市场的鸡蛋价格情况进行调查，抽查某市20个集市上鸡蛋的平均售价为()3.399元/500克，标准差为()0.269元/500克.已知往年的平均售价一直稳定 ()3.25元/500克左右，问该市场当前的鸡蛋售价是否明显高于往年()0.05α=？解 由题意知，()23.25,X N σ，20n =， 3.399x =，0.05α=，0.269s =.①设统计假设0010: 3.25,: 3.25H H μμμμ≤=>=. ②当0.05α=时，()()10.95119 1.729t n t α--==，临界值()10.2691 1.7290.106719s c t n n α-=-=⨯=， 拒绝域为000{}{0.1067}K x c x μμ=->=->③003.399 3.250.149x K μ-=-=∈，所以拒绝0H ，接受1H ，即认为市场当前的鸡蛋售价是明显高于往年.5.已知某厂生产的维尼纶纤度()2,0.048X N μ ，某日抽测8根纤维，其纤度分别为1.32,1.41,1.55,1.36,1.40,,1.50,1.44,1.39，问这天生产的维尼纶纤度的方差2σ是否明显变大了()0.05α=？解 由题意知()2,0.048X N μ ，8n =，811 1.421258i i x x ===∑，0.05α=，()()22211110.0122118n ni i i i s x xx x n ===-=-=-∑∑.①设统计假设2222220010:0.048,:0.048H H σσσσ==>=.②当0.05α=时，临界值()()2210.951117 2.0117c n n αχχ-=-==-，拒绝域为2202200{}{ 2.01}s s K c σσ=>=>.③202200.012215.29950.048s K σ==∈，所以拒绝0H ，接受1H ，即这天生产的维尼纶纤度的方差2σ明显变大了.6.某种电子元件，要求平均寿命不得低于2000h ，标准差不得超过130h .现从一批该种元件中抽取25个，测得寿命均值为1950h ，标准差148s h =.设元件寿命服从正态分布。

试在显著性水平0.05α=下，确定这批元件是否合格.解 设X 表示这批元件的寿命，由题意知()22000,130X N ，25n =，1950x =，0.05α=，148s =.1)①设统计假设0010:2000,:2000H H μμμμ≥=<=.②当0.05α=时，()()0.05124 1.711t n t α-==-，临界值()()1481 1.71150.645625s c t n n α=-=⨯-=-， 拒绝域为000{}{50.6456}K x c x μμ=-<=-<-.③001950200050x K μ-=-=-∉，所以接受0H ，拒绝1H ，即认为这批元件平均寿命不得低于2000h .2)①设统计假设2222220010:130,:130H H σσσσ≤=>=.②当0.05α=时，临界值()()2210.9511124 1.5175124c n n αχχ-=-==-， 拒绝域为2202200{}{1.5175}s s K c σσ=>=>.③220220148 1.2961130s K σ==∉，所以接受0H ，拒绝1H ，即认为这批元件标准差不超过130h . 所以这批元件合格.7.设12,,,n X X X 为来自总体(),4X N μ 的样本，已知对统计假设0:1;H μ=1: 2.5H μ=的拒绝域为{}02K X =>.1)当9n =时，求犯两类错误的概率α与β；2)证明：当n →+∞时，0,0αβ→→.解 1)(),4X N μ ，01:1,: 2.5,H H μμ=={}02K X =>，9n =.{}1212199 1.522X P X P αμ⎧⎫--=>==>=⎨⎬⎩⎭()1 1.50.0668=-Φ=，{} 2.52 2.52 2.5990.7522X P X P βμ⎧⎫--=≤==≤=-⎨⎬⎩⎭()()0.7510.750.2266=Φ-=-Φ=.2)(),4X N μ ，01:1,: 2.5,H H μμ=={}02K X =>.{}()1212110,2222X n n P X P n n n αμ⎧⎫⎛⎫--⎪⎪=>==>==-Φ→→+∞ ⎪⎨⎬ ⎪⎪⎪⎩⎭⎝⎭， {}()2.52 2.52 2.510,2244X n n P X P n n n βμ⎧⎫⎛⎫--⎪⎪=≤==≤=-=-Φ→→+∞ ⎪⎨⎬ ⎪⎪⎪⎩⎭⎝⎭8.设需要对某一正态总体(),4X N μ 的均值进行假设检验01:15;:15H H μμ=<取检验水平0.05α=，试写出检验0H 的统计量和拒绝域.若要求当1H 中的13μ=时犯第Ⅱ类错误的概率不超过0.05β=，估计所需的样本容量n . 解 01~(,4),:15;:15X N H H μμμ=<. 拒绝域为{}015K X c =-<，统计量为2 3.301.65c u nn nασ==-⨯=-. 3.302 3.30151313n P X P X n n βμ⎛⎫-⎛⎫=-≥-==-≥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1313 1.651 1.650.0522X X P n n P n n ⎛⎫⎛⎫--=≥-=-≤-≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，20.95( 1.65)0.95, 1.65 1.65, 3.30, 3.311n n u n n Φ-≥-≥=≥≥=.所需的样本容量11n =.9.设12,,,n X X X 来自总体()2,X N μσ 的样本，20σ为已知，对假设00:H μμ=，11:H μμ=，其中01μμ≠，试证明()()22011210n u u αβσμμ--=+-. 解 由题意知()2,X N μσ ，且20σ为已知，故01c u nασ-=，拒绝域为001K x u nασμ-=>+.01 X βμμμ=≤P(+c =)101110() X P n u n αμμμμμσσ---=≤-=1010()u n αμμσ--=Φ-，所以 1011u u n βαμμσ---+=，()()2210112nu u αβμμσ---+=，即()()22011210n u u αβσμμ--=+-. 10.设1217,,,X X X 为来自总体()20,X N σ样本，对假设2201:9,: 3.319HH σσ==的拒绝域{}204K s =<.求犯第Ⅰ类错误的概率α和犯第Ⅱ错误的β. 解 由题意知()20,X N σ，{}2202499s P W K ασσ⎧⎫=∈==<⎨⎬⎩⎭，()24117917c αχ==，查表得0.025α=； {}220243.319 3.314s P W K βσσ⎧⎫=∉==≥⎨⎬⎩⎭，()2141173.31417c βχ-==，查表得0.25β=. 11.设总体的密度函数为()1,01,;0, .x x f x θθθ-⎧<<=⎨⎩其他，统计假设0:=1H θ，1:=2H θ.现从总体中抽取样本12,X X ，拒绝域02134K X X ⎧⎫=≤⎨⎬⎩⎭，求：犯两类错误的概率,αβ.解 当0:=1H θ成立时，()1,01,;0, .x f x θ<<⎧=⎨⎩其他{}0213114P W K P X X αθθ⎧⎫=∈==≤=⎨⎬⎩⎭1314321040.2510.250.75ln 0.75x dx dx =-=+⎰⎰；当1:=2H θ成立时，()2,01,;0, .x x f x θ<<⎧=⎨⎩其他{}0213224P W K P X X βθθ⎧⎫=∉==>=⎨⎬⎩⎭1314312210433994ln 0.7544168x x x dx dx =⨯+⋅=+⎰⎰. 12.设总体()2,X N μσ，根据假设检验的基本原理，对统计假设：()()20011101):,:H H μμμμμμσ==>已知；()200102):,:H H μμμμσ≥<未知，试分析其拒绝域.解 1)因为()2,X N μσ ，所以2,X N n σμ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ，即()0,1X N n μσ- ， 当2σ已知时，10X P u H n αμασ-⎧⎫-⎪⎪>=⎨⎬⎪⎪⎩⎭，即10u P X n ασμα-⎧⎫>+=⎨⎬⎩⎭， 所以拒绝域为100u K X n ασμ-⎧⎫=>+⎨⎬⎩⎭.2)因为()2,X N μσ ，所以2,X N n σμ⎛⎫ ⎪⎝⎭，即()0,1X N n μσ- ， 当2σ未知时,用2S 作为2σ的近似，则()1X t n S nμ-- ，()01X P t n H S n αμα⎧⎫-⎪⎪<-=⎨⎬⎪⎪⎩⎭，即()01St n P X n αμα-⎧⎫<+=⎨⎬⎩⎭，所以拒绝域为()001st n K X n αμ-⎧⎫=<+⎨⎬⎩⎭. 13.设总体()2,X N μσ根据假设检验的基本原理，对统计假设：()222200101):,:H H σσσσμ=>已知；()222200102):,:H H σσσσμ≤>未知，试分析其拒绝域.解1) 因为()2,X N μσ，当μ已知时，()222nSn χσ，()22102nS P n H αχασ-⎧⎫⎪⎪>=⎨⎬⎪⎪⎩⎭，即()22201P S n n ασχα-⎧⎫>=⎨⎬⎩⎭， 所以拒绝域为()222001K S n n ασχ-⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭. 2) 因为()2,X N μσ，当μ未知时，()()22211n S n χσ-- ，()()2210211n S P n H αχασ-⎧⎫-⎪⎪>-=⎨⎬⎪⎪⎩⎭，即()()2220111P S n n ασχα-⎧⎫⎪⎪>-=⎨⎬-⎪⎪⎩⎭， 所以拒绝域为()()22200111K S n n ασχ-⎧⎫⎪⎪=>-⎨⎬-⎪⎪⎩⎭. 14.从甲乙两煤矿各取若干个样品，得其含灰率()%为 甲：24.3,20.8,23.7,21.3,17.4， 乙：18.2,16.9,20.2,16.7假定含灰率均服从正态分布且2212σσ=.问甲、乙两煤矿的含灰率有无显著差异()0.05α=？解 设,X Y 分别表示甲乙两煤矿的含灰率.由题意知：2212(,),(,)X N Y N μσμσ .5,4,21.5,18n m x y ====，22127.505, 2.59333s s ==.问甲、乙两煤矿的含灰率有无显著差异，因此，可进行以下假设检验。