F合 O'
mg FN
速 圆 mg
r F合O
周 运
火车 转弯
FN
θ
动
F合
θ
mg
mg
圆台筒
R O
滚
Made by Liven
筒
转盘
Made by
Liven
F静
FN
O
r
mg
五 竖直平面内的圆周运动:
竖直平面内的圆周运动是典型的 变速圆周运动，时常与动能定理、 机械能守恒相结合,中学物理中只 研究物体在最高点与最低点的两 种情况.主要有以下两种类型：
C．一定改变
D．可能不变
•从动力学角度看：(曲线运动的条件） 合外力方向（或加速度方向）跟速度方
向不在同一条直线上。
v 凸
轨迹 凹F
•两种典型的曲线运动： 1.平抛运动 2.圆周运动
质点仅在恒力F的作用下，由O点运动到A点的轨迹如 图所示，在A点时速度的方向与x轴平行，则恒力F的方 向可能沿（ ）
v
=
Δl Δt
ω=
Δθ
Δt
v
=
2πr
T
n =f =
ω=
2π
T
单位：rad/s；
1 T
v = rω
同轴转动，齿轮传动，皮带轮传动时角速度与线速度 的关系。
例5：如图所示装置中，三个轮的半径分别为 r、2r、4r，b点到圆心的距离为r，求图中a、 b、c、d各点的线速度之比、角速度之比。
线速度之比:
运动?
二 运动的合成与分解
运动的合成与分解
复杂运动
平行四边形法则
简单运动
运动的合成与分解要注意_等__时__性_和_独__立_性___
两种典型的模型:
1.小船过河问题 (1)最短时间过河
(2)最短位移过河(一般只 涉及船速大于水速情况)
2.滑轮小船问题
v⊥
?
θ
线速度的大小不变 变加速曲线运动
曲线运动的条件
运动的合成
曲线运动的研究方法
曲线运动
运动的分解
主要是正交 分解
重点, 难点
典型的曲线 运动模型
会分析实例
平抛运动 圆周运动
水平匀速圆周运动
重点, 难点
离心现象
竖直平面圆周运动
只要求掌握最 高点和最低点
的分析
几
O圆
种
锥
常 FT θ
摆
见
FN r
F静
的 匀
A
B
O
对A： T1
对B：
T2
T2 T1-T2=m ω2rOA ①
T2=m ω2rOB ②
r r OA = OB/2
③
T1/T2=3/2
[练习题2]一小球用长为L的细 绳悬挂于O点，为使小球能绕 O点在竖直面内做圆周运动， 则小球的最低点处至少需要获
得多大的水平速度v0 ？
解：设小球在最高点所须的最
（2）分解位移
【例题】在倾角为 的斜面顶端A处以速度 水平抛 出一小球，落在斜面上的某一点B处，设空气阻力不计 求:(1)小球从A运动到B处所需的时间和位移。
(2) 从抛出开始计时，经过多长时间小球离斜面的距离 达到最大？
如图为平抛运动轨迹 的一部分，已知条件 如图所示。 求v0 和 vb 。
a
例1.下列关于曲线运动的描述中，正确的是 ()
A.曲线运动可以是匀速运动 B.曲线运动一定是变速运动 C.曲线运动可以是匀变速运动
D.曲线运动的加速度可能为零 E．曲线运动一定是变加速运动 F．圆周运动一定是匀变速运动 G．变力作用下的物体一定做曲线运动
物体做曲线运动时，其加速度（ ）
A．一定不等于零 B．一定不变
的分析
三 平抛运动规律及应用
1、条件： ①具有水平初速度； ②只受重力。
2、性质： 匀变速曲线运动
3、处理方法：
分解为水平方向的匀速直线运动和 竖直方向的自由落体运动。
平 抛
O
v0 O′ A
θα
速度方向的反向延长线
x
与水平位移的交点 O′
运
l
动B
有什么特点？ P (x,y)
α vx = v0 决定平抛运动在空中的
当v= gr 时，FN=0；
当v＞ gr 时，杆对小球有指向圆心的拉力，其大小随速度的
增大而增大.
以上两种类型在最低点的情况相同:
F拉－mg=mv2/r 或 FN－mg=mv2/r
常见的竖直平面内的圆周运动:
v
N
水
G
流
汽车过拱形桥
星
[练习题1]质量相等的小球A、B分别固定在轻杆的中点及端点， 当棒在光滑的水平面上绕O点匀速运动（如图所示）时，求棒 的OA段及AB段对球的拉力之比。
小速度（临界值）为v，则
g=mv2/L ① V= Lg ②
又机械能守恒,故有 2mgL=mv02/2－ mv2/2 ③
由① ② ③三式可得
V0= 5Lg
④
v
mg
O T
L
v0
mg
离 心 运 离心运动：0 ≤F合＜Fn 动 与 向 匀速圆周运动：F合= Fn 心 运 动 向心运动：F合＞Fn
注意：这里的F合为沿着半径（指向圆心）的合力
v
v∥
注意：沿绳的方向上各点 的速度大小相等
v
Made by Liven
θ?
? θ
v
v
?
曲线运动的条件
运动的合成
曲线运动的研究方法
曲线运动
运动的分解
主要是正交 分解
重点, 难点
典型的曲线 运动模型
会分析实例
平抛运动 圆周运动
水平匀速圆周运动
重点, 难点
离心现象
竖直平面圆周运动
只要求掌握最 高点和最低点
1.如图所示：无支撑物的小球在竖直平面内最高点情况.
(1)临界条件：小球达最高点时绳子的拉力(或轨gr道的弹力)刚 好等于0，小球在最高点的向心力全部由重力来提供，这时 有mg=mv2min/r，式中的vmin是小球通过最高点的最小速度， 通常叫临界速度vmin= gr . (2)能通过最高点的条件：v≥vmin. (3)不能通过最高点条件v＜vmin。
曲线运动复习课
曲线运动的条件
运动的合成
曲线运动的研究方法
曲线运动
运动的分解
主要是正交 分解
重点, 难点
典型的曲线 运动模型
会分析实例
平抛运动 圆周运动
水平匀速圆周运动
重点, 难点
离心现象
竖直平面圆周运动
只要求掌握最 高点和最低点
的分析
一 曲线运动的特点及条件
•从运动学角度看： 1.运动方向时刻改变，是变速运动。 2.质点的速度方向沿轨道的切线方向。 3.变速运动一定有加速度。
=5 rad/s； 匀速直线运动
(2).若使物体在竖直平面内做圆周运动,当它经过 最低点时能将绳子拉断的线速度至少是多少?拉 断绳子后的小球将做什么运动?
v=1.12 m/s； 平抛运动
匀速圆周运动
1 特征：轨迹为圆，速率不变，方向时刻改变的变速运动。 2 所受的合外力指向圆心。
3、匀速圆周运动的特点及性质
2.如图所示：有支撑物的小球在竖直平面内最高点情况.
(1)临界条件：由于硬杆和管壁的支撑作用，小球恰好能到最高点
的临界速度vmin=0.
gr
(2)当v=0时，轻杆对小球有竖直向上的支持力FN，其大小等于小
球的重力，即FN=mg；
当0＜v＜ gr 时，杆对小球的支持力的方向竖直向上，大小随
速度增大而减小，gr其取值范围是:0＜FN＜mg；
A．小球水平抛出时的
初速度大小为
B．小球在t时间内的位移方向
与水平方向的夹角为
C．若小球初速度增大，则平抛运动的时间变长 D．若小球初速度增大，则θ减小
2．斜面问题 （1）分解速度 【例题】如图所示，以水平初速度
飞行一段时间后，垂直撞在倾角为
体完成这段飞行的时间和位移。
抛出的物体， 的斜面上，求物
h1
b
h2 x
c x
曲线运动的条件
运动的合成
曲线运动的研究方法
曲线运动
运动的分解
主要是正交 分解
重点, 难点
典型的曲线 运动模型
会分析实例
平抛运动 圆周运动
水平匀速圆周运动
重点, 难点
离心现象
竖直平面圆周运动
只要求掌握最 高点和最低点
的分析
四、圆周运动 1、描述圆周运动快慢的物理量： 线速度v 、角速度ω 、转速n 、频率f 、周期T
心 力
Fn=
m
v2 r
=
mvω
=
mrω2
=
m
4Tπ22r
3、向心力的来源： 沿半径方向的合力
来源：一个力或几个力的合力、或某一个 力的分力，是效果力。
例6：一根长为0.5m的细绳,当它受到5N的拉力会 被拉断,现在它的一端拴着一个质量为0.4㎏的小 球,以另一端为中心,使小球在光滑的水平面上做 匀速圆周运动,问: (1).绳子被拉断时,小球的角速度至少为多大?拉断 绳子后的小球将做什么运动?
y
vy v
飞行时间与水平位移的 因素分别是什么？
水平方向 竖直方向
合运动
偏向角
位移
速度
x = v0 t y = 21g t 2
vx = v0 vy＝gt
l = x2 +
l = v02 + vy2
tan y2 g t tan2tanta n g t
2v0
v0
如图所示，从某高度水平抛出一小球，经过时间t到达 地面时，速度与水平方向的夹角为θ，不计空气阻力， 重力加速度为g。下列说法正确的是