原点沿 x 方向放缩 Sx 倍，沿 y 方 向放缩Sy倍。其中Sx和Sy称为比 例系数。
P'(4,3) P(2,1)
x ' xs x y '6-2
比例变换(Sx=2,Sy=3)
比例变换
推导： x’=Sx*X,y’=Sy*Y
x'
y ' 1 x
y 1 T2 D x
复合变换具有形式：
P' P T P (T1 T2 T3 Tn ) P T1 T2 T3 Tn (n 1)
Y
Y
Y
X
X
X (b)关于y轴对称
(c)关于原点对称
(a)关于x轴对称
对称变换
对称变换后的图形是原图形关于某一轴线或原点的镜像。
Y
Y
X (d)关于x=y对称
(e)关于x=-y对称
X
对称变换
X
(1)关于x轴对称
Y
(a)关于x轴对称
Y
P(x,y) X P'(x,-y) (a)关于x轴对称
1 0 0 0 1 0 0 0 1
矩阵：
S x 0 0
0 Sy 0
0 0 1
a b y 1 c d l m
p q s
比例变换
Sx=Sy>1 原图 原图 Sx<Sy
Sx=Sy<1
Sx>Sy
(a)
Sx=Sy比例 图6-3
(b) 比例变换
Sx<>Sy比例
比例变换
整体比例变换：
对称变换
X
(2)关于y轴对称
(b)关于y轴对称
Y
P'(-x,y)
p(x,y) X
1 0 0 0 1 0 0 0 1
(b)关于y轴对称
Y
对称变换
X
(3)关于原点对称
(c)关于原点对称
P(x,y) X
1 0 0 0 1 0 0 0 1
0 0 1
(1)沿x方向错切
(2)沿y方向错切 (3)两个方向错切
二维图形几何变换的计算
几何变换均可表示成 P’ = P * T 的形式： 1. 点的变换 2. 直线的变换 3. 多边形的变换 4. 曲线的变换
4.1.3 复合变换
复合变换是指：

图形作一次以上的几何变换，变换结果是每次的变换矩阵相乘。 任何一复杂的几何变换都可以看作基本几何变换的组合形式。
矩阵：逆时针旋转θ角
顺时针旋转θ角?
cos sin 0
sin cos 0
0 0 1
旋转变换
简化计算（θ很小）
x'
y ' 1 x
1 0 y 1 1 0 0 0 1
对称变换
对称变换后的图形是原图形关于某一轴线或原点的镜像。
平移变换
平移是指将p点沿直线路径从一个坐标位置移到另一个坐标位置的重定位过程。
平移是一种不产生变形而移动物体的
刚 体 变 换 （ rigid-body transformation）
P' T P Tx Ty
x' x Tx y' y Ty
Y
X 图6-1 平移变换
平移变换
1 0 0 0 1 0 0 0 s
a b y 1 c d l m p q s
问题：S>1时缩还是放？
x'
y ' 1 x
y 1 T2 D x
y/s
[x’ y’ 1]=[x y s]=[x/s
s/s]
旋转变换

基本几何变换都是相对于坐标原点和坐标 轴进行的几何变换
二维变换矩阵
x'
y ' 1 x
y 1 T2 D x
a b y 1 c T1 d l T2 m
p q T3 s T4
T1：比例、旋转、对称、错切 T2：平移 T3：投影 T4：整体缩放
P'(-y,-x)
0 1 0 1 0 0 0 0 1
(e)关于x=-y对称
错切变换
错切变换，也称为剪切、错位变换，用于产生弹性物体的变 形处理。
Y
Y
Y
(a)
X 原图
(b)
沿x方向错切
X
(c)
X
图6-7 错切变换
沿y方向错切
错切变换
其变换矩阵为：
1 d b 1 0 0
图6-4 旋转变换
旋转变换
推导：
x'
y ' 1 x
y 1 T2 D x
a b y 1 c d l m
p q s
y’= rsin(a+θ) X’ = rcos(a+θ) = rcosacosθ-rsinasinθ = rcosasinθ+rsinacosθ = x cos θ-y sinθ = x sin θ+y cosθ
二维旋转是指将p点绕坐标原点转动某个角度（逆时针为正， 顺时针为负）得到新的点p’的重定位过程。 X’ = rcos(a+θ) = rcosacosθ-rsinasinθ = x cos θ-y sinθ
P' r θ r
α
Y
P X
y’= rsin(a+θ) = rcosasinθ+rsinacosθ = x sin θ+y cosθ
推导： x’=x+Tx,y’=y+Ty
x'
y ' 1 x
y 1 T2 D x
a b y 1 c d l m
p q s
矩阵：
1 0 0 1 Tx Ty
0 0 1
Tx，Ty称为平移矢量
比例变换
比例变换是指对 p点相对于坐标
第4章 图形变换(二维)
提出问题：
如何对二维图形进行方向、尺寸和形状 方面的变换
如何方便地实现在显示设备上对二维图
形进行观察
基本概念
几何变换
图形的几何变换是指对图形的几何信息经过平移、比 例、旋转等变换后产生新的图形，是图形在方向、尺
寸和形状方面的变换。
二维图形几何变换
平移变换 旋转变换 比例变换
(c)关于原点对称
Y
Y
对称变换
(4)关于y=x轴对称
x=y p(x,y) p'(y,x) X (d)关于x=y对称
Y
X (d)关于x=y对称
0 1 0 1 0 0 0 0 1
Y
对称变换
(5)关于y=-x轴对称
(e)关于x=-y对称
Y
X
x=-y
Y
P(x,y) X