一元二次方程提高题（八年级）一．选择题（共6小题）1．一元二次方程2x2﹣（m+1）x+1=x（x﹣1）化成一般形式后二次项的系数为1，一次项的系数为﹣1，则m的值为（）A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．22．满足（n2﹣n﹣1）n+2=1的整数n有几个（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个3．已知关于x的一元二次方程x2+ax+b=0有一个非零根﹣b，则a﹣b的值为（）A．1 B．﹣1 C．0 D．﹣24．关于x的方程m（x+h）2+k=0（m，h，k均为常数，m≠0）的解是x1=﹣3，x2=2，则方程m（x+h﹣3）2+k=0的解是（）A．x1=﹣6，x2=﹣1 B．x1=0，x2=5 C．x1=﹣3，x2=5 D．x1=﹣6，x2=25．x1、x2是一元二次方程3（x﹣1）2=15的两个解，且x1＜x2，下列说法正确的是（）A．x1小于﹣1，x2大于3 B．x1小于﹣2，x2大于3C．x1，x2在﹣1和3之间D．x1，x2都小于36．已知α是一元二次方程x2﹣x﹣1=0较大的根，则下面对α的估计正确的是（）A．0＜α＜1 B．1＜α＜1.5 C．1.5＜α＜2 D．2＜α＜3二．填空题（共11小题）7．已知关于x的方程是一元二次方程，则m=．8．关于x的两个方程x2﹣x﹣2=0与有一个解相同，则a=．9．当k取值为时，关于x的方程x2+kx﹣1=0与x2+x+（k﹣2）=0只有一个相同的实数根．10．在实数范围内定义运算“☆”，其规则为：a☆b=a2﹣b2，则方程（4☆3）☆x=13的解为x=．11．方程x2﹣|x|﹣1=0的根是．12．三角形的每条边的长都是方程x2﹣7x+10=0的根，则三角形的周长是．13．已知实数x满足，则=．14．关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣mx+1=0有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是．15．已知m、n是方程x2﹣2002x+2003=0的两根，则（n2﹣2003n+2004）与（m2﹣2003m+2004）的积是．16．设有x家公司参加一次商品交易会，每两家之间都签订一份合同，所有公司共签订45份合同，列方程得．17．如图，在宽为20m，长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为540m2，求道路的宽．如果设小路宽为x，根据题意，所列方程为．三．解答题（共12小题）18．用直接开平方法解下列方程（1）（3x﹣2）（3x+2）=8．（2）（5﹣2x）2=9（x+3）2．（3）﹣6=0 （4）（x﹣m）2=n．（n为正数）19．已知x3﹣a+3x﹣10=0和x3b﹣4+6x+8=0都是一元二次方程，求的值．20．先化简，再求值：，其中a是方程的解．21．设关于x的二次方程（k2﹣6k+8）x2+（2k2﹣6k﹣4）x+k2=4的两根都是整数．求满足条件的所有整数k的值．22．关于x的一元二次方程为（m﹣1）x2﹣2mx+m+1=0．（1）求出方程的根；（2）m为何整数时，此方程的两个根都为正整数？23．对于一元一次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1，x2，根据一元二次方程的解的概念知：ax2+bx+c=a（x﹣x1）（x﹣x2）=0．即ax2+bx+c=a（x﹣x1）（x﹣x2）这样我们可以在实数范围内分解因式．例：分解因式2x2+2x﹣1解：∵2x2+2x﹣1=0的根为即，∴=试仿照上例在实数范围内分解因式：3x2﹣5x+1．24．请先阅读例题的解答过程，然后再解答：解方程3x（x+2）=5（x+2）时，先将方程变形为3x（x+2）﹣5（x+2）=0，这个方程左边可以分解成两个一次因式的积，所以方程变形为（x+2）（3x﹣5）=0．我们知道，如果两个因式的积等于0，那么这两个因式中至少有一个等于0；反过来，如果两个因式有一个等于0，它们的积等于0．因此，解方程（x+2）（3x﹣5）=0，就相当于解方程x+2=0或3x﹣5=0，得到原方程的解为x1=﹣2，x2=．根据上面解一元二次方程的过程，王力推测：a﹒b＞0，则有或，请判断王力的推测是否正确？若正确，请你求出不等式＞0的解集，如果不正确，请说明理由．25．当a是什么整数时，ax2﹣8x+7=0与x2﹣4ax+4a2﹣4a﹣5=0的根都是整数？26．用两种方法解答：已知m、n是关于x的方程x2+（p﹣2）x+1=0两个实数根，求代数式（m2+mp+1）（n2+np+1）的值．27．已知关于x的方程（m2﹣1）x2﹣3（3m﹣1）x+18=0有两个正整数根（m是正整数）．△ABC的三边a、b、c满足，m2+a2m﹣8a=0，m2+b2m﹣8b=0．求：（1）m的值；（2）△ABC的面积．28．已知x1、x2是方程4x2﹣（3m﹣5）x﹣6m2=0的两根，且，求m的值．29．如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是Rt△ABC 和Rt△BED边长，易知，这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．请解决下列问题：（1）写出一个“勾系一元二次方程”；（2）求证：关于x的“勾系一元二次方程”必有实数根；（3）若x=﹣1是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形ACDE 的周长是6，求△ABC面积．30.某商店从厂家以每件18元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价，据市场调查，该商品的售价与销售量的关系是：若每件售价a元，则可卖出(a件，但物价部门限定每件商品加价不能超过进货价的25%，如果商店10320)计划要获利400元，则每件商品的售价应定为多少元？一元二次方程提高题（八年级）参考答案与试题解析一．选择题（共6小题）1．（2012秋•渠县校级月考）一元二次方程2x2﹣（m+1）x+1=x（x﹣1）化成一般形式后二次项的系数为1，一次项的系数为﹣1，则m的值为（）A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2【分析】整理为一般形式后，根据一次项的系数为﹣1，列方程求解即可．【解答】解：整理得：x2﹣mx+1=0，∵一次项的系数为﹣1，∴﹣m=﹣1，解得：m=1，故选B．【点评】解决本题的关键是得到整理后的相关式子．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．2．（2012•浙江校级自主招生）满足（n2﹣n﹣1）n+2=1的整数n有几个（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【分析】因为1的任何次幂为1，﹣1的偶次幂为1，非0数的0次幂为1，所以应分三种情况讨论n的值．【解答】解：（1）n2﹣n﹣1=1，解得：n=2或n=﹣1；（2），解得：n=0；（3），解得：n=﹣2．故选：A．【点评】本题比较复杂，解答此题时要注意1的任何次幂为1，﹣1的偶次幂为1，非0数的0次幂为1，三种情况，不要漏解．3．（2014•菏泽）已知关于x的一元二次方程x2+ax+b=0有一个非零根﹣b，则a ﹣b的值为（）A．1 B．﹣1 C．0 D．﹣2【分析】由于关于x的一元二次方程x2+ax+b=0有一个非零根﹣b，那么代入方程中即可得到b2﹣ab+b=0，再将方程两边同时除以b即可求解．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+ax+b=0有一个非零根﹣b，∴b2﹣ab+b=0，∵﹣b≠0，∴b≠0，方程两边同时除以b，得b﹣a+1=0，∴a﹣b=1．故选：A．【点评】此题主要考查了一元二次方程的解，解题的关键是把已知方程的根直接代入方程进而解决问题．4．（2014•内江）关于x的方程m（x+h）2+k=0（m，h，k均为常数，m≠0）的解是x1=﹣3，x2=2，则方程m（x+h﹣3）2+k=0的解是（）A．x1=﹣6，x2=﹣1 B．x1=0，x2=5 C．x1=﹣3，x2=5 D．x1=﹣6，x2=2【分析】利用直接开平方法得方程m（x+h）2+k=0的解x=﹣h±，则﹣h﹣=﹣3，﹣h+=2，再解方程m（x+h﹣3）2+k=0得x=3﹣h±，所以x1=0，x2=5．【解答】解：解方程m（x+h）2+k=0（m，h，k均为常数，m≠0）得x=﹣h±，而关于x的方程m（x+h）2+k=0（m，h，k均为常数，m≠0）的解是x1=﹣3，x2=2，所以﹣h﹣=﹣3，﹣h+=2，方程m（x+h﹣3）2+k=0的解为x=3﹣h±，所以x1=3﹣3=0，x2=3+2=5．故选：B．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法：形如x2=p或（nx+m）2=p （p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．如果方程化成x2=p的形式，那么可得x=±；如果方程能化成（nx+m）2=p（p≥0）的形式，那么nx+m=±．5．（2014•枣庄）x1、x2是一元二次方程3（x﹣1）2=15的两个解，且x1＜x2，下列说法正确的是（）A．x1小于﹣1，x2大于3 B．x1小于﹣2，x2大于3C．x1，x2在﹣1和3之间D．x1，x2都小于3【分析】利用直接开平方法解方程得出两根进而估计无理数的大小得出答案．【解答】解：∵x1、x2是一元二次方程3（x﹣1）2=15的两个解，且x1＜x2，∴（x﹣1）2=5，∴x﹣1=±，∴x2=1+＞3，x1=1﹣＜﹣1，故选：A．【点评】此题主要考查了直接开平方法解方程以及估计无理数的大小，求出两根是解题关键．6．（2014•荆州）已知α是一元二次方程x2﹣x﹣1=0较大的根，则下面对α的估计正确的是（）A．0＜α＜1 B．1＜α＜1.5 C．1.5＜α＜2 D．2＜α＜3【分析】先求出方程的解，再求出的范围，最后即可得出答案．【解答】解：解方程x2﹣x﹣1=0得：x=，∵a是方程x2﹣x﹣1=0较大的根，∴a=，∵2＜＜3，∴3＜1+＜4，∴＜＜2，故选：C．【点评】本题考查了解一元二次方程，估算无理数的大小的应用，题目是一道比较典型的题目，难度适中．二．填空题（共11小题）7．（2011•东台市校级模拟）已知关于x的方程是一元二次方程，则m=﹣2．【分析】根据一元二次方程式的定义可得m2﹣m﹣4=2，m﹣3≠0，求m的解即可．【解答】解：由题意可得m2﹣m﹣4=2，且m﹣3≠0，解得m=﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．解答时要先观察方程特点，再依据以上四个方面的要求进行有针对性的判断和计算．8．（2007•呼和浩特）关于x的两个方程x2﹣x﹣2=0与有一个解相同，则a=﹣5．【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值，即用这个数代替未知数所得式子仍然成立；先解方程x2﹣x﹣2=0，将它的根分别代入方程，去掉不符合题意的根，求出a的值．【解答】解：解方程x2﹣x﹣2=0得：x=2或﹣1；把x=2或﹣1分别代入方程，当x=2时x﹣2=0，方程不成立；当x=﹣1时，得到，解得a=﹣5．【点评】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义；本题注意分式方程中分母不为0．9．（2013秋•渝水区校级月考）当k取值为0时，关于x的方程x2+kx﹣1=0与x2+x+（k﹣2）=0只有一个相同的实数根．【分析】两个方程有一个相同的实数根，则设相同的实数根为a，代入到两方程进行解答，可求出k的值．求出k值后要验证两方程是否是只有一个相同的实数根．【解答】解：设相同实根是a 则a2+ka﹣1=0，a2+a+k﹣2=0 相减得（k﹣1）a﹣1﹣k+2=0，即（k﹣1）a=k﹣1若k=1，则两个方程都是x2+x﹣1=0，有两个相同的根，不合题意所以k不等于1．所以a==1 即相同实根是x=1，代入方程12+k×1﹣1=0，k=0，符合k为非负数，所以k=0．故答案为：0．【点评】考查了一元二次方程的解，此题有两个关键点，一个是要设出两个方程的相同实数根，代入运算．另外一根为验证所求得的k值是否符合题意．为易错题．10．（2008•孝感）在实数范围内定义运算“☆”，其规则为：a☆b=a2﹣b2，则方程（4☆3）☆x=13的解为x=±6．【分析】按照题中给出的规则运算．其规则为：a☆b=a2﹣b2．【解答】解：其规则为：a☆b=a2﹣b2，则方程（4☆3）☆x=13解的步骤为：（42﹣32）☆x=13，7☆x=13，49﹣x2=13，x2=36，∴x=±6．【点评】此题是典型的新定义题型，解题的关键是要根据所给的规则把数或字母代入相应的位置，进行计算．该题中用到了直接开平方法解方程，所以要熟悉直接开平方法．11．（2011春•桐城市月考）方程x2﹣|x|﹣1=0的根是或．【分析】分x＞0和x＜0两种情况进行讨论，当x＞0时，方程x2﹣x﹣1=0；当x ＜0时，方程x2+x﹣1=0；分别求符合条件的解即可．【解答】解：当x＞0时，方程x2﹣x﹣1=0；∴x=；当x＜0时，方程x2+x﹣1=0；∴x=，∴x=；故答案为或．【点评】本题考查了一元二次方程的解法﹣公式法，要特别注意分类讨论思想的运用．12．（2013•瑞昌市校级模拟）三角形的每条边的长都是方程x2﹣7x+10=0的根，则三角形的周长是12或6或15．【分析】方程左边的多项式利用十字相乘法分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求出解，利用三角形的三边关系判断，求出三角形周长即可．【解答】解：方程x2﹣7x+10=0，分解因式得：（x﹣2）（x﹣5）=0，解得：x=2或x=5，三角形三边长为2，2，5（舍去）；2，5，5；2，2，2；5，5，5，则周长为12或6或15．故答案为：12或6或15【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，利用此方法解方程时，首先将方程整理为一般形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．13．（2012•金牛区三模）已知实数x满足，则=3．【分析】先设=y，代入后化为整式方程求解，即可求出答案．【解答】解：设=y，则原方程可变形为y2﹣y=6，解得y1=﹣2，y2=3，当y1=﹣2时，=﹣2，∵△=b2﹣4ac＞0∴此方程无解，当y2=3时，=3，∵△=b2﹣4ac＞0∴此方程有解，∴=3；故答案为：3．【点评】此题考查了用换元法解分式方程，是常用方法之一，它能够使方程化繁为简，化难为易，因此对能用此方法解的分式方程的特点应该加以注意，并要能够熟练变形整理．14．（2009•鄂尔多斯）关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣mx+1=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是m≠2且m≠1．【分析】若一元二次方程有两不等实数根，则根的判别式△=b2﹣4ac＞0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围．还要注意二次项系数不为0．【解答】解：∵方程为一元二次方程，∴（m﹣1）≠0，即m≠1，∵方程有两个不相等实数根，∴△=（﹣m）2﹣4（m﹣1）=（m﹣2）2＞0，∴m≠2，综合得m≠1且m≠2．故答案为：m≠1且m≠2．【点评】总结：（1）一元二次方程根的情况与判别式△的关系：①△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；②△=0⇔方程有两个相等的实数根；③△＜0⇔方程没有实数根．（2）一元二次方程的二次项系数不为0．15．（2005•盐亭县校级模拟）已知m、n是方程x2﹣2002x+2003=0的两根，则（n2﹣2003n+2004）与（m2﹣2003m+2004）的积是2．【分析】由题意得m2﹣2002m+2003=0则m2=2002m﹣2003；n2﹣2002n+2003=0，则n2=2002n﹣2003．而（n2﹣2003n+2004）×（m2﹣2003m+2004）=（2002n﹣2003﹣2003n+2004）（2002m﹣2003﹣2003m+2004）=（﹣n+1）（﹣m+1）=mn ﹣（m+n）+1，然后利用根与系数的关系即可求出其值．【解答】解：由题意得m2﹣2002m+2003=0，则m2=2002m﹣2003；又n2﹣2002n+2003=0，则n2=2002n﹣2003，∴（n2﹣2003n+2004）×（m2﹣2003m+2004）=（2002n﹣2003﹣2003n+2004）（2002m﹣2003﹣2003m+2004）=（﹣n+1）（﹣m+1）=mn﹣（m+n）+1=2003﹣2002+1=2．故填空答案：2．【点评】如果是这个方程的根，就一定适合这个方程；此题还利用根与系数的关系将所求代数式化简，然后才能利用根与系数的关系求出题目结果．16．（2014秋•武平县校级月考）设有x家公司参加一次商品交易会，每两家之间都签订一份合同，所有公司共签订45份合同，列方程得x（x﹣1）=45．【分析】根据每两家签订一份合同，共x家参与可知签订的合同数为：x（x﹣1），然后根据已知条件等于45即可列出方程．【解答】解：依题意得签订的合同数为1+2+3+…+x﹣1，∴x（x﹣1）=45．故填空答案：x（x﹣1）=45．【点评】本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，一元二次方程的解法的运用，解答时根据单循环问题的数量关系建立方程是关键．17．（2014秋•蓟县期中）如图，在宽为20m，长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为540m2，（32﹣x）=540．求道路的宽．如果设小路宽为x，根据题意，所列方程为（20﹣x）【分析】设小路宽为x米，利用平移把不规则的图形变为规则图形，如此一来，所有草坪面积之和就变为了（32﹣x）（20﹣x）米2，进而即可列出方程，求出答案．【解答】解：利用平移，原图可转化为右图，设小路宽为x米，根据题意得：（20﹣x）（32﹣x）=540．故答案为：（20﹣x）（32﹣x）=540．【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，这类题目体现了数形结合的思想，需利用平移把不规则的图形变为规则图形，进而即可列出方程，求出答案．另外还要注意解的合理性，从而确定取舍．三．解答题（共12小题）18．（2014•沈阳校级模拟）用直接开平方法解下列方程（1）（3x﹣2）（3x+2）=8．（2）（5﹣2x）2=9（x+3）2．（3）﹣6=0（4）（x﹣m）2=n．（n为正数）【分析】（1）计算整理，进一步利用直接开平方解方程；（2）直接开方，再按解一元一次方程的方法求解即可；（3）先移项，方程两边都乘3除以2，再直接开方；（4）直接开方得出答案即可．【解答】解：（1）（3x﹣2）（3x+2）=89x2﹣4=8x2=x=±解得：x1=，x2=﹣；（2）（5﹣2x）2=9（x+3）25﹣2x=3（x+3），5﹣2x=﹣3（x+3）解得：x1=﹣，x2=﹣14；（3）﹣6=0（x﹣4）2=9x﹣4=±3解得：x1=1，x2=7；（4）（x﹣m）2=nx﹣m=±解得：x1=m+，x2=m﹣．【点评】此题主要考查了直接开方法求一元二次方程的解，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x2=a（a≥0）的形式，利用数的开方直接求解．19．（2013秋•望城县期末）已知x3﹣a+3x﹣10=0和x3b﹣4+6x+8=0都是一元二次方程，求的值．【分析】因为x3﹣a+3x﹣10=0和x3b﹣4+6x+8=0都是一元二次方程，所以3﹣a=2．即：a=1；3b﹣4=2，即b=2．把a=1，b=2代入上式就可转化为利用平方差公式进行计算．【解答】解：3﹣a=2．即：a=1；3b﹣4=2，即b=2，=[]20022=（a﹣b）20022，把a=1，b=2代入，原式=（1﹣2）2002（1+）2=（1+）2=3+2．【点评】本题解决的关键是根据一元二次方程的定义求出a，b的值，然后逆用了积的乘方的运算性质．20．（2013•重庆模拟）先化简，再求值：，其中a 是方程的解．【分析】根据题意先解方程求出a﹣a2的值，然后把代数式化简，再把a﹣a2的值代入即可．【解答】解：∵a是方程的解，∴a2﹣a﹣=0，∴a﹣a2=﹣={}÷﹣a2=÷﹣a2=×﹣a2=a﹣a2，∴代数式的值为﹣．【点评】此题主要考查了方程解的定义和分式的运算，此类题型的特点是，利用方程解的定义找到相等关系，再把所求的代数式化简后整理出所找到的相等关系的形式，再把此相等关系整体代入所求代数式，即可求出代数式的值．21．设关于x的二次方程（k2﹣6k+8）x2+（2k2﹣6k﹣4）x+k2=4的两根都是整数．求满足条件的所有实数k的值．【分析】求出二根x1=，x2=，从中消去k得x1x2+3x1+2=0，分解得x1（x2+3）=﹣2．借助方程组得k=6，3，．【解答】解：原方程可化为（k﹣4）（k﹣2）x2+（2k2﹣6k﹣4）x+（k﹣2）（k+2）=0，[（k﹣4）x+（k﹣2）][（k﹣2）x+（k+2）]=0．∵（k﹣4）（k﹣2）≠0∴x1=，x2=；∴k﹣4=（x1≠﹣1）①k﹣2=（x2≠﹣1）②由①②消去k，得x1•x2+3x1+2=0．∴x1（x2+3）=﹣2．由于x1，x2都是整数．∴，，，即，，∴k=6，3，．经检验，k=6，3，满足题意．【点评】本题方程整理成关于x的一元二次方程的一般形式后，二次项系数不为0 是隐含的条件，应考虑．将参数k用方程两根表示并最终消去参数k是解题的关键．22．（2013•南充）关于x的一元二次方程为（m﹣1）x2﹣2mx+m+1=0．（1）求出方程的根；（2）m为何整数时，此方程的两个根都为正整数？【分析】（1）利用求根公式x=解方程；（2）利用（1）中x的值来确定m的值．【解答】解：（1）根据题意，得m≠1．∵a=m﹣1，b=﹣2m，c=m+1，∴△=b2﹣4ac=（﹣2m）2﹣4（m﹣1）（m+1）=4，则x1==，x2=1；（2）由（1）知，x1==1+，∵方程的两个根都为正整数，∴是正整数，∴m﹣1=1或m﹣1=2，解得m=2或3．即m为2或3时，此方程的两个根都为正整数．【点评】本题考查了公式法解一元二次方程．要会熟练运用公式法求得一元二次方程的解．23．（2013秋•山阳县校级期中）对于一元一次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1，x2，根据一元二次方程的解的概念知：ax2+bx+c=a（x﹣x1）（x﹣x2）=0．即ax2+bx+c=a（x﹣x1）（x﹣x2）这样我们可以在实数范围内分解因式．例：分解因式2x2+2x﹣1解：∵2x2+2x﹣1=0的根为即，∴=试仿照上例在实数范围内分解因式：3x2﹣5x+1．【分析】认真阅读材料，运用求根公式解得对应方程3x2﹣5x+1=0的解，再仿照材料中的例题分解因式．【解答】解：∵3x2﹣5x+1=0的根为即，∴=．【点评】本题主要考查了用求根公式法分解因式．要认真阅读材料，熟练运用求根公式解得对应方程的解，根据材料中给出的方法分解因式．从阅读材料中获取所需的解题方法是需要掌握的基本能力．24．（2004•乌鲁木齐）请先阅读例题的解答过程，然后再解答：代数第三册在解方程3x（x+2）=5（x+2）时，先将方程变形为3x（x+2）﹣5（x+2）=0，这个方程左边可以分解成两个一次因式的积，所以方程变形为（x+2）（3x ﹣5）=0．我们知道，如果两个因式的积等于0，那么这两个因式中至少有一个等于0；反过来，如果两个因式有一个等于0，它们的积等于0．因此，解方程（x+2）（3x﹣5）=0，就相当于解方程x+2=0或3x﹣5=0，得到原方程的解为x1=﹣2，x2=．根据上面解一元二次方程的过程，王力推测：a﹒b＞0，则有或，请判断王力的推测是否正确？若正确，请你求出不等式＞0的解集，如果不正确，请说明理由．【分析】先根据利用因式分解法求方程根的方法判断出王力的推测是正确的，再根据其范例及不等式的性质列出不等式组，求出其解集即可．【解答】解：王力的推测是正确的．∴∴（1）或（2）解不等式组（1）得：x；解不等式组（2）得：x；∴不等式的解集是x或x．【点评】此题是一道材料分析题，考查了同学们的阅读理解能力．对于分是不等式，应当根据“两数相除，同号得正”进行分析．25．（2015秋•简阳市期中）当a是什么整数时，ax2﹣8x+7=0与x2﹣4ax+4a2﹣4a ﹣5=0的根都是整数？【分析】这两个一元二次方程都有解，因而根与判别式△≥0，即可得到关于a 不等式，从而求得a的范围，再根据a是整数，即可得到a的可能取到的几个值，然后对每个值进行检验，是否符合使两个一元二次方程的解都是整数即可确定a 的值．【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2﹣8x+7=0与x2﹣4ax+4a2﹣4a﹣5=0有解，则a≠0，∴△≥0ax2﹣8x+7=0，∴△=64﹣28a≥0，即a≤；x2﹣4ax+4a2﹣4a﹣5=0，△=16a2﹣16a2+16a+20≥0，∴4a+5≥0，a≥﹣；∴﹣≤a≤，而a是整数，∴a=﹣1，a=0（舍去），a=1，a=2，①当a=﹣1时，方程ax2﹣8x+7=0为x2﹣8x+7=0，方程的解是x1=7，x2=1；x2﹣4ax+4a2﹣4a﹣5=0即x2+4x+3=0，方程的解是x1=﹣3，x2=﹣1；②当a=1时，方程ax2﹣8x+7=0为x2﹣8x+7=0，方程的解是x1=7，x2=1；x2﹣4ax+4a2﹣4a﹣5=0即x2﹣4x﹣5=0，方程的解是x1=﹣1，x2=5；③当a=2时，方程ax2﹣8x+7=0为2x2﹣8x+7=0，此时方程的解不为整数，故a=2舍去；综合上述：当a是﹣1或1时，ax2﹣8x+7=0与x2﹣4ax+4a2﹣4a﹣5=0的根都是整数．【点评】解答此题要知道一元二次方程根的情况与判别式△的关系，首先根据根的判别式确定a的范围是解决本题的关键．26．（2001•宁夏）用两种方法解答：已知m、n是关于x的方程x2+（p﹣2）x+1=0两个实数根，求代数式（m2+mp+1）（n2+np+1）的值．【分析】本题主要是利用韦达定理来计算．已知m、n是关于x的方程x2+（p﹣2）x+1=0两个实数根，有四个等式可供使用：m+n=2﹣p①，mn=1②，m2+（p ﹣2）m+1=0③，n2+（p﹣2）n+1=0④．通过变形方法，合理地选择解题方法．【解答】解：∵m、n是x2+（p﹣2）x+1=0的根，∴m+n=2﹣p，mn=1．方法一：m2+（p﹣2）m+1=0，n2+（p﹣2）n+1=0．即m2+pm+1=2m，n2+pn+1=2n．原式=2m×2n=4mn=4．方法二：（m2+mp+1）（n2+np+1）=（m2+mp）（n2+np）+m2+mp+n2+np+1=m2n2+m2np+mpn2+mnp2+m2+mp+n2+np+1=1+mp+np+p2+m2+n2+mp+np+1=2+p2+m2+n2+2（m+n）p=2+p2+m2+n2+2（2﹣p）p=2+p2+m2+n2+4p﹣2p2=2+（m+n）2﹣2mn+4p﹣2p2+p2=2+（2﹣p）2﹣2+4p﹣2p2+p2=4﹣4p+p2+4p﹣p2=4．【点评】本题主要是通过根与系数的关系来求值．注意把所求的代数式转化成m+n=2﹣p，mn=1的形式，正确对所求式子进行变形是解题的关键．27．（2015•黄冈中学自主招生）已知关于x的方程（m2﹣1）x2﹣3（3m﹣1）x+18=0有两个正整数根（m是正整数）．△ABC的三边a、b、c满足，m2+a2m﹣8a=0，m2+b2m﹣8b=0．求：（1）m的值；（2）△ABC的面积．【分析】（1）本题可先求出方程（m2﹣1）x2﹣3（3m﹣1）x+18=0的两个根，然后根据这两个根都是正整数求出m的值．（2）由（1）得出的m的值，然后将m2+a2m﹣8a=0，m2+b2m﹣8b=0．进行化简，得出a，b的值．然后再根据三角形三边的关系来确定符合条件的a，b的值，进而得出三角形的面积．【解答】解：（1）∵关于x的方程（m2﹣1）x2﹣3（3m﹣1）x+18=0有两个正整数根（m是整数）．∵a=m2﹣1，b=﹣9m+3，c=18，∴b2﹣4ac=（9m﹣3）2﹣72（m2﹣1）=9（m﹣3）2≥0，设x1，x2是此方程的两个根，∴x1•x2==，∴也是正整数，即m2﹣1=1或2或3或6或9或18，又m为正整数，∴m=2；（2）把m=2代入两等式，化简得a2﹣4a+2=0，b2﹣4b+2=0当a=b时，当a≠b时，a、b是方程x2﹣4x+2=0的两根，而△＞0，由韦达定理得a+b=4＞0，ab=2＞0，则a＞0、b＞0．①a≠b，时，由于a2+b2=（a+b）2﹣2ab=16﹣4=12=c2故△ABC为直角三角形，且∠C=90°，S=．△ABC②a=b=2﹣，c=2时，因＜，故不能构成三角形，不合题意，舍去．③a=b=2+，c=2时，因＞，故能构成三角形．S△ABC=×（2）×=综上，△ABC的面积为1或．【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系以及勾股定理等知识点，本题中分类对a，b的值进行讨论，并通过计算得出三角形的形状是解题的关键．28．（2010•山东模拟）已知x1、x2是方程4x2﹣（3m﹣5）x﹣6m2=0的两根，且，求m的值．【分析】首先根据根与系数的关系可以得到两根之和与两根之积用m表示的形式，也可以根据两根之积得到x1x2≤0，从而可以去掉已知等式的绝对值符号，然后结合根与系数的关系即可求出m的值．【解答】解：∵a=4，b=5﹣3m，c=﹣6m2，∴△=（5﹣3m）2+4×4×6m2=（5﹣3m）2+96m2，∵5﹣3m=0与m=0不能同时成立．△=（5﹣3m）2+96m2＞0则：x1x2≤0，又∵，∴，又∵，，∴，∴，解得：m1=1，m2=5．【点评】此题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．29．（2016•濉溪县三模）如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是Rt△ABC和Rt△BED边长，易知，这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．请解决下列问题：（1）写出一个“勾系一元二次方程”；（2）求证：关于x的“勾系一元二次方程”必有实数根；（3）若x=﹣1是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形ACDE 的周长是6，求△ABC面积．【分析】（1）直接找一组勾股数代入方程即可；（2）通过判断根的判别式△的正负来证明结论；（3）利用根的意义和勾股定理作为相等关系先求得c的值，根据完全平方公式求得ab的值，从而可求得面积．【解答】（1）解：当a=3，b=4，c=5时勾系一元二次方程为3x2+5x+4=0；（2）证明：根据题意，得△=（c）2﹣4ab=2c2﹣4ab∵a2+b2=c2∴2c2﹣4ab=2（a2+b2）﹣4ab=2（a﹣b）2≥0即△≥0∴勾系一元二次方程必有实数根；（3）解：当x=﹣1时，有a﹣c+b=0，即a+b=c∵2a+2b+c=6，即2（a+b）+c=6∴3c=6∴c=2∴a2+b2=c2=4，a+b=2∵（a+b）2=a2+b2+2ab∴ab=2∴S=ab=1．△ABC【点评】此类题目要读懂题意，根据题目中所给的材料结合勾股定理和根的判别式解题．。