dl
0 I 2 R 2
14
例3 计算组合载流导体在 o 点的磁感应强度。 【解】o 点 B 由三段载流导体产生
Bo Bab Bbc Bcd
规定向里为正向
Bo Bab Bbc
a
R
0 I 0 I 4R 4 R
1 1 4R
20
（1）长直电流在环路内

L
B dl Bdl cos
L
B
d
I
Brd 0
L
2
0 I rd 0 I 2 r
r
dl

（2）长直电流在环路外

L
B dl B dl B dl
L1 L2
0 NI B 2r
24
例6 圆柱形载流导体半径为 R ，通有电流为 I ，电 流在导体横载面上均匀分布，求圆柱体内、外的磁 感应强度的分布。 【解】圆柱形载流导体内外磁场的磁力线是以轴线为 圆心、圆周平面与轴线垂直的圆，圆上各点B相等。 r<R 区域，作一半径为r 的圆为环路 r2 L B dl LBdl B2r 0 R 2 I
d 2
B
dl
L2
Brd Brd
L1 L2
I
d1
L1
B
0 I d 1 d 2 0 2
dl
21
11.4.2 安培环路定理的应用 计算具有高度对称性的磁场的磁感强度
环路选取原则 （1）B 的方向或者与环路方向一致，或者与环路 方向垂直； （2）与B方向一致的路上，各点 B 大小相等； （3）环路要经过所研究的场点。
i R
4
非静电力将单位正电荷从负极板移到正极板时所做 的功定义为电源的电动势 ( ) 1 qEk dl Ek dl () q 电动势是标量，但将电源内负极到正极的方向规定为 电动势的方向，电动势方向就是非静电场的方向。
电源在没有连接用电 器时的电动势就等于 电池两端的电势差。
d
c
23
例5 一环形载流螺线管，匝数为 N ，内径为 R1 ， 外径为 R2 ，通有电流 I ，求管内磁感应强度。 【解】环形载流螺线管内部的磁力线为与管同心的
圆环，且同一条磁力线上各点的磁感强度相等。 在管内作半径为 r 的环路，有：
B dl
L
Bdl B Ldl
L
B 2r 0 NI
8
应用毕奥-萨伐尔定律解题的思路 1. 分割电流元；
0 Id l r 3. 确定电流元的磁场 dB 4 r 3 4. 求 B 的分量 Bx 、By 、Bz ； 5. B Bx i B y j Bz k
2. 建立坐标系；
9
例1 用毕奥-萨伐尔定律计算“无限长”通电直导 线外任意一点P的磁感应强度。 【解】 电流元在P点产生的磁感应强度的大小为：
L
注意： 1 电流方向与环路方向满足右手 定时，电流 I 取正；反之取负。
I2
I1
例： I i 2 I1 I 2
L
19

L
B dl 0 I i
2 环流只与环路内的电流有关,与环路外电流无关， 但磁感强度与环路内外电流都有关。
3 环流为零并不一定说明环路上各点的磁感强度都 为 0。也不说明环路内无电流。 4 磁场是无源有旋场。 下面用长直电流的磁场来验证安培环路定理
2
P 点处的电流密度
dI ˆ J v d S
ˆ I P v
dS
dI
P点处电流密度矢量的大小， 等于通过该处垂直于载流子运 动方向单位面积的电流强度。
电流密度的另一表述 J n q v
v
正载流子定向移动速度
P v J qn dS=1
对于有限大的面积 S
I d I J d S
s s
3
电流强度等于电流密度的通量
11.1.2 电源 电动势 电源的作用就是能够在其两端保持恒定的电势差， 并对连接在电源上的用电器维持稳定的输出电流。
电源内部存在着非静电场，将负极板上的正电荷 移动到正极板上 。
非静电场的场强定义为单 位正电荷在场中所受的力 F Ek q
F非 F静
0 Idl sin dB 4 r2
各段电流元产生的磁感强度方向都 是指向纸内的，因此可直接积分
0 Idl sin B dB 4 r2
10
0 Idl sin B 4 r2
统一变量
sin cos , l a tan , dl a sec2 d , r a sec
每个运动电荷产生的磁感应强度为
dB 0 nqSdl v 0qv er er 1 B 2 dN 4π r nSdl 4π r 2
16
11.3 磁场的高斯定理
为了形象地描述磁场中磁感应强度分布，引入磁力线。 磁力线的特点: 1.闭合曲线 2.与电流相互套连 3.方向与电流的方向服从右手螺旋关系13讨论源自B0 I2R
sin3
1 载流圆环环心处 Bo
0 I
2R
I
0 I 2 载流圆弧圆心处 Bo 2 R 2
0 Idl r 由 dB 4 r 3
B dB
Idl
r

0 Idl dB 4 R 2
0 Idl 0 I 2 4 R 4 R 2
第 11 章 稳恒电流磁场
1
11.1 稳恒电流 电动势
11.1.1 稳恒电流 电流密度 电流强度（电流）：单位时间内通过某一截面的 电量称为通过该截面的电流强度，用 I 表示。 ΔQ dQ I lim Δt dt 对细导线用电流强度的概念就够了。 对大块导体，为描写导体内每一点的电流情况，还 需引入“电流密度矢量” 来进一步描写电流的分布。
整个物体的磁效应就是所有分子电流对外界磁效应的 总和。磁性物质的本质在于其分子电流的有序排列 。
6
11.2.1 磁场 磁感应强度 为了说明磁力的作用，也引入场的概念。 从运动电荷受力（洛仑兹力）定义磁场：
( F洛 )min B qv
磁感强度方向：为磁场中小磁针静止时N 极指向。 国际单位制中，磁感应强度的单位为T（特斯拉）。
7
11.2.2 毕奥-萨伐尔定律 实验发现：长为 dl 通有电流I 的电流元产生的 磁感应强度为 0 Idl sin dB 4 r2
Idl
0称为真空磁导率

0 10 7 ( T m A-1 ) 4
r
P
dB
再考虑方向，上式写成矢量形式为： 0 Idl r dB 毕奥-萨伐尔定律 3 4 r
磁通量 m sd m s B d S
磁场的高斯定理
Bd S 0
S
17
直线电流的磁力线分布
载流螺线管的磁力线分布
18
11.4 磁场的安培环路定理及应用
11.4.1 磁场的安培环路定理 真空中的安培环路定理：磁感应强度沿闭合回路的 线积分，等于环路所包围的电流代数和乘以 0。 B dl 0 I i
F非 F静
i R
5
11.2 稳恒电流的磁场
磁力是指磁体与磁体之间、电流与磁体之间或电流 与电流之间的相互作用力。
电流周围具有磁性，一个载流线圈的行为与磁铁的 行为一样。说明电与磁之间存在着内在的联系。 安培假说（1822年）: 一切磁现象都起源于电流。
磁铁的磁性是由于其中存在着微小的环形分子电流， 分子电流相当于一个基元磁铁都要产生磁效应。
0 I B r 2 2R
I
r
r
0 I B 2r
R
r>R 区域，同理有 B dl B 2r 0 I
L
25
例7 有一无限大平面导体薄板，自下而上均匀通有电 流，已知其面电流密度为i (即单位宽度上通有的电流 强度)．试求板外空间任一点磁感强度的大小和方向. 【解】由安培环路定理：
0 I cos a sec2 d B 4π (a sec ) 2
4πa
0 I
/2
/2
cos d

0 I
2π a
11
讨论 1 一段载流直导线的磁场
0 I cos1 cos 2 B 4 a
2
2 无限长载流直导线的磁场
I
0 I B 2 a
0 I
b
o
c
d
15
可以由毕奥-萨伐尔定律求运动电荷产生的磁场 设电流元内起导电作用的每个电荷带电量为q，导线 段的截面积为S，单位体积的电荷数密度为n，则该 电流元的载流子个数为dN=nSdl，电流强度可写为
I S v nq
该电流元产生的磁感应强度为 0 Idl er 0 ( Svnq)dl er 0 nqSdl v er dB 2 2 4π r2 4π r 4π r
22
例4 密绕载流螺线管通有电流为 I，线圈密度为 n， 求管内一点的磁感强度 。 【解】理想密绕螺线管，管内的磁场是均匀的，管 外近管壁处的磁场为 0 。 作闭合环路 abcda，则有：
B dl B dl Bab
b
0nabI
B 0nI
a
............... B a b
1 B 0 i 2
26
3 半无限长载流直导线的磁场
a
1
0 I B 4 a
12
例2 一载流圆环半径为R 通有电流为 I，求圆环轴线 上一点的磁感应强度 B。 0Idl 【解】建立坐标系，分割电流元 dB 4r 2 对称性分析可知： B 0