高一第二学期期末检测题
数学
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题的四个选项中只有一个是正确的，把正确选项的代号填涂在答题卡的指定位置上。
1.如果a<b<0，则下列不等式成立的是 A.
1a <1b B.a 2<b 2 C.a 3<b 3 D.ac 2<bc 2 2.若向量,a b r r 的夹角为60°，且2,3a b ==r r ，则2a b -=r r A.27 B.14 C.13 D.8
3.在等比数列{a n }中，若a 2，a 9是方程x 2－2x －6＝0的两根，则a 4·a 7的值为
A.6
B.1
C.－1
D.－6
4.已知向量(cos ,sin ),(2,1)a b θθ==-r r ，且a b ⊥r r ，则tan()4
πθ-的值是 A.13 B.－3 C.3 D.－13
5.已知集合A ＝{x ｜x 2－x －2<0}，12
B {x log x 1}≥＝－，则A ∪B ＝
A.(－1，2)
B.(－1，2］
C.(0，1)
D.(0，2)
6.等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 9＝S 4，则S 13＝
A.13
B.7
C.0
D.1
7.已知a 、b 、c 分别是△ABC 的内角A 、B 、C 的对边，若c b
<cosA ，则△ABC 的形状为 A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形
8.已知β为锐角，角α的终边过点(3，4)，2sin()2
αβ＋＝，则cosβ＝ A.3210 B.210 C.210 D.210或210
9.在△ABC 中，已知∠BAC ＝90°，AB ＝6，若D 点在斜边BC 上，CD ＝2DB ，则AB AD ⋅u u u r u u u r 的值为
A.6
B.12
C.24
D.48
10.已知圆内接四边形ABCD 各边的长度分别为AB ＝5，BC ＝8，CD ＝3，DA ＝5，则AC 的长为
A.6
B.7
C.8
D.9
11.《九章算术》中有如下问题：今有蒲生一日，长三尺，莞生一日，长1尺。
蒲生日自半，莞生日自倍。
问几何日而长等？意思是：今有蒲第一天长高3尺，莞第一天长高1尺，以后蒲每天长高前一天的一半，莞每天长高前一天的2倍。
若蒲、莞长度相等，则所需时间为
(结果精确到0.1.参考数据：lg2＝0.3010，lg3＝0.4771。
)
A.2.6天
B.2.2天
C.2.4天
D.2.8天
12.在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，cosC ＝19，且acosB ＋bcosA ＝2，则△ABC 面积的最大值为 A.5 B.85 C.43 D.5 第Ⅱ卷(非选择题 共90分) 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分，请把答案填在答案题卡上。
13.已知两个正实数x 、y 满足212x y
＋＝，且恒有x ＋2y －m>0，则实数m 的取值范围是 。
14.已知两点A(2，1)、B(1，1＋3)满足1AB (sin cos )()222
ππαβαβ∈u u u r ＝，，、－，，则α＋β＝ 。
15.如图，O 在△ABC 的内部，且OA OB
3OC 0u u u r u u u r u u u r r ＋＋＝，则△ABC 的面积与△AOC 的面积的比值为 。
16.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，满足：a 2＝2a 1，且S n ＝
n 2a n ＋1(n≥2)，则数列{a n }的通项公式为 。
三、解答题：本大题共6小题，满分70分。
解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。
17.(本小题满分10分)
(1)设0<x<32
，求函数y ＝x(3－2x)的最大值； (2)解关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a<0。
在等差数列{a n }中，2a 9＝a 12＋13，a 3＝7，其前n 项和为S n 。
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)求数列{n 1S }的前n 项和T
n ，并证明T n <34。
19.(本小题满分12分)
在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，设S 为△ABC 的面积，满足S ＝
3(a 2＋c 2－b 2)。
(1)求角B 的大小；
(2)若边b ＝32
，求a ＋c 的取值范围。
20.(本小题满分12分)
设函数()2f x 2cos x cos(2x )3
π
＝－－。
(1)求f(x)的周期和最大值；
(2)已知△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c 。
若3f (A)2π－＝，b ＋c ＝2，求a 的最小值。
21.(本小题满分12分)
如图，在△ABC 中，cosC ＝
35
，角B 的平分线BD 交AC 于点D ，设∠CBD ＝θ，其中tanθ＝2－1。
(1)求sinA 的值； (2)若CA CB
21⋅u u u r u u u r ＝，求AB 的长。
已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2a n －2。
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)令n n 1n 2b na log a ＝＋，数列{b n }的前n 项和为T n ，若不等式(n －1)(S n ＋2)－T n <t ＋
219n 32
对任意n ∈N *恒成立，求实数t 的取值范围。