必修5 数列 单元测试题一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．)1．S n 是数列{a n }的前n 项和，log 2S n ＝n (n ＝1,2,3，…)，那么数列{a n }( )A ．是公比为2的等比数列B ．是公差为2的等差数列C ．是公比为12的等比数列 D ．既非等差数列也非等比数列2．一个数列{a n }，其中a 1＝3，a 2＝6，a n ＋2＝a n ＋1－a n ，则a 5＝( )A ．6B ．－3C ．－12D ．－63．首项为a 的数列{a n }既是等差数列，又是等比数列，则这个数列前n 项和为( )A ．a n －1B ．NaC ．a nD ．(n －1)a4．设{a n }是公比为正数的等比数列，若a 1＝1，a 5＝16，则数列{a n }的前7项和为( )A ．63B ．64C ．127D ．1285．已知－9，a 1，a 2，－1四个实数成等差数列，－9，b 1，b 2，b 3，－1五个实数成等比数列，则b 2(a 2－a 1)的值等于( )A ．－8B ．8C ．－98D.986．在－12和8之间插入n 个数，使这n ＋2个数组成和为－10的等差数列，则n 的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．57．已知{a n }是等差数列，a 4＝15，S 5＝55，则过点P (3，a 3)，Q (4，a 4)的直线的斜率为( )A ．4 B.14C ．－4D ．－148．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＋a 17＝10，则S 19＝( )A ．55B ．95C ．100D ．1909．S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 2＋a 4＋a 15是一个确定的常数，则在数列{S n }中也是确定常数的项是( )A ．S 7B ．S 4C ．S 13D ．S 1610．等比数列{a n }中，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝31，a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝62，则通项是( )A ．2n －1B ．2nC ．2n ＋1D ．2n ＋211．已知等差数列{a n }中，|a 3|＝|a 9|，公差d <0，则使其前n 项和S n 取得最大值的自然数n 是( )A ．4或5B ．5或6C ．6或7D ．不存在12．若a ，b ，c 成等比数列，则方程ax 2＋bx ＋c ＝0( )A ．有两个不等实根B ．有两相等的实根C ．无实数根D ．无法确定二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．2，x ，y ，z,18成等比数列，则x ＝________.14．若数列{a n }满足a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧2a n ，0≤a n ≤1，a n －1，a n>1，且a 1＝67，则a 2013＝________.15．一个数列的前n 项和为S n ＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n ＋1n ，则S 17＋S 33＋S 50＝____________.16．设等比数列{a n }的公比q ＝12，前n 项和为S n ，则S 4a 4＝________.三、解答题(本大题共6个小题，共70分．)17．(10分)设S n 为数列{a n }的前n 项和，已知a 1≠0,2a n －a 1＝S 1·S n ，n ∈N *.(1)求a 1，a 2，并求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{na n }的前n 项和．18．(12分)已知等比数列{a n}，首项为81，数列{b n}满足b n＝log3a n，其前n项和为Sn.(1)证明{b n}为等差数列；(2)若S11≠S12，且S11最大，求{b n}的公差d的X围．19．(12分)等差数列{a n}的各项均为正数，a1＝3，前n项和为S n，{b n}为等比数列，b1＝1，且b2S2＝64，b3S3＝960.(1)求a n与b n；(2)证明：1S1＋1S2＋…＋1Sn<34.20．(12分)等比数列{a n}中，已知a1＝2，a4＝16.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若a3，a5分别为等差数列{b n}的第3项和第5项，试求数列{b n}的通项公式及前n项和S n.21．(12分)已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝2n2＋n，n∈N*，数列{b n}满足a n n∈N*.＝4log2b n＋3，(1)求a n，b n；(2)求数列{a n·b n}的前n项和T n.22．(12分)已知数列{a n}满足a1＝1，a n－2a n－1－2n－1＝0(n∈N*，n≥2)．(1)求证：数列{an2n}是等差数列；(2)若数列{a n}的前n项和为S n，求S n.必修5 数列单元测试题答案一、选择题1.解析由log2S n＝n，得Sn＝2n，a1＝S1＝2，a2＝S2－S1＝22－2＝2，a3＝S3－S2＝23－22＝4，…由此可知，数列{a n}既不是等差数列，也不是等比数列．答案 D2.解析a3＝a2－a1＝6－3＝3，a4＝a3－a2＝3－6＝－3，a5＝a4－a3＝－3－3＝－6. 答案 D3解析由题意，知a n＝a(a≠0)，∴S n＝na. 答案 B4解析a5＝a1q4＝q4＝16，∴q＝2.∴S7＝1－271－2＝128－1＝127. 答案 C5解析 a 2－a 1＝－1－－93＝83，b 22＝(－1)×(－9)＝9，∴b 2＝－3，∴b 2(a 2－a 1)＝－3×83＝－8. 答案 A6解析 依题意，得－10＝－12＋82(n ＋2)，∴n ＝3. 答案 B 7解析由a 4＝15，S 5＝55，得⎩⎨⎧a 1＋3d ＝15，5a 1＋5×42d ＝55.解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝4.∴a 3＝a 4－d ＝11.∴P (3,11)，Q (4,15)．k PQ ＝15－114－3＝4. 答案 A8解析 S 19＝a 1＋a 192×19＝a 3＋a 172×19＝102×19＝95. 答案 B 9解析 a 2＋a 4＋a 15＝a 1＋d ＋a 1＋3d ＋a 1＋14d ＝3a 1＋18d ＝3(a 1＋6d )＝3a 7，∴a 7为常数．∴S 13＝a 1＋a 132×13＝13a 7为常数． 答案 C10解析 ∵a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝q (a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5)，∴62＝q ×31，∴q ＝2.∴S 5＝a 11－251－2＝31.∴a 1＝1，∴a n ＝2n －1. 答案 A11解析 由d <0知，{a n }是递减数列，∵|a 3|＝|a 9|，∴a 3＝－a 9，即a 3＋a 9＝0.又2a 6＝a 3＋a 9＝0，∴a 6＝0. ∴S 5＝S 6且最大． 答案 B12解析 a ，b ，c 成等比数列，∴b 2＝ac >0. 而Δ＝b 2－4ac ＝ac －4ac ＝－3ac <0.∴方程ax 2＋bx ＋c ＝0无实数根． 答案 C二、填空题13．解析 设公比为q ，则由2，x ，y ，z,18成等比数列．得18＝2q 4，∴q ＝?à 3. ∴x ＝2q ＝?à2 3. 答案 ?à2 314. 解析 由题意，得a 1＝67，a 2＝127，a 3＝57，a 4＝107，a 5＝37，a 6＝67，a 7＝127，?-，∴a2013＝a3＝57. 答案5715．解析S17＝－8＋17＝9，S33＝－16＋33＝17，S50＝－25，∴S17＋S33＋S50＝1. 答案 116．解析S4a4＝a1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝⎛⎭⎪⎫124⎝⎛⎭⎪⎫1－12a1⎝⎛⎭⎪⎫123＝15. 答案15三、解答题17．解(1)令n＝1，得2a1－a1＝a21，即a1＝a21，∵a1?ù0，∴a1＝1，令n＝2，得2a2－1＝S2＝1＋a2，解得a2＝2.当n?Y2时，由2a n－1＝S n,2a n－1＝S n－1两式相减得2a n－2a n－1＝a n，即a n＝2a n－1，于是数列{a n}是首项为1，公比为2的等比数列，即a n＝2n－1.∴数列{a n}的通项公式为a n＝2n－1.(2)由(1)知，na n＝n?¤2n－1.记数列{n?¤2n－1}的前n项和为B n，于是Bn＝1＋2×2＋3×22＋?-＋n?á2n－1，①2B n＝1×2＋2×22＋3×23＋?-＋n?á2n.②①－②得－B n＝1＋2＋22＋?-＋2n－1－n?¤2n＝2n－1－n?¤2n. 从而B n＝1＋(n－1)·2n.18．解(1)证明：设{a n}的公比为q，则a1＝81，an＋1an＝q，由a n>0，可知q>0，∵b n＋1－b n＝log3a n＋1－log3a n＝log3an＋1an＝log3q(为常数)，∴{bn}是公差为log3q的等差数列．(2)由(1)知，b1＝log3a1＝log381＝4，∵S 11?ùS 12，且S 11最大，∴⎩⎪⎨⎪⎧ b 11≥0，b 12<0，即⎩⎪⎨⎪⎧b 1＋10d ≥0，b 1＋11d <0.⎩⎨⎧d ≥－b 110＝－25，d <－b 111＝－411.∴－25?üd <－411.19．解 (1)设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ，则d >0，q ?ù0，a n ＝3＋(n －1)d ，b n ＝q n －1，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧ b 2S 2＝6＋d q ＝64，b 3S 3＝9＋3dq 2＝960.解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝2，q ＝8，或⎩⎨⎧d ＝－65，q ＝403，(舍去)．故a n ＝2n ＋1，b n ＝8n －1.(2)证明：由(1)知S n ＝3＋2n ＋12?án ＝n (n ＋2)，1S n ＝1n n ＋2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2，∴1S 1＋1S 2＋?-＋1S n ＝11×3＋12×4＋13×5＋?-＋1n n ＋2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －1n ＋2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2＝34－2n ＋32n ＋1n ＋2∵2n ＋32n ＋1n ＋2>0 ∴1S 1＋1S 2＋?-＋1S n <34.20．解 (1)设{a n }的公比为q ，由已知，得16＝2q 3，解得q ＝2，∴a n ＝a 1q n －1＝2n .(2)由(1)得a 3＝8，a 5＝32，则b 3＝8，b 5＝32.设{b n }的公差为d ，则有⎩⎪⎨⎪⎧ b 1＋2d ＝8，b 1＋4d ＝32，解得⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝－16，d ＝12.从而b n ＝－16＋12(n －1)＝12n －28.所以数列{b n}的前n项和S n＝n－16＋12n－282＝6n2－22n.21．解(1)由S n＝2n2＋n，得当n＝1时，a1＝S1＝3；当n?Y2时，a n＝S n－S n－1＝4n－1.∴a n＝4n－1(n∈N*)．由a n＝4log2b n＋3＝4n－1，得b n＝2n－1(n∈N*)．(2)由(1)知a n?¤b n＝(4n－1)·2n－1，n∈N*，∴T n＝3＋7×2＋11×22＋?-＋(4n－1)×2n－1，2T n＝3×2＋7×22＋?-＋(4n－5)×2n－1＋(4n－1)×2n.∴2T n－T n＝(4n－1)×2n－[3＋4(2＋22＋?-＋2n－1]＝(4n－5)2n＋5.故T n＝(4n－5)2n＋5.22．解(1)∵a n－2a n－1－2n－1＝0，∴an2n－an－12n－1＝12，∴{an2n}是以12为首项，12为公差的等差数列．(2)由(1)，得an2n＝12＋(n－1)×12，∴a n＝n?¤2n－1，∴S n＝1·20＋2·21＋3·22＋?-＋n?¤2n－1①则2S n＝1·21＋2·22＋3·23＋?-＋n?¤2n②①－②，得－S n＝1＋21＋22＋?-＋2n－1－n?¤2n＝1·1－2n1－2－n?¤2n＝2n－1－n?¤2n，∴S n＝(n－1)·2n＋1.。