与 A的行数 3 相同,乘积BA有意义, BA是 2×2 矩阵,且
BA 10
2 1
51
2 1 2
3 2 0
114
54 .
结论 AB≠BA (完)
练习7 已知
A
1
2
24
,
2 B 3
46 ,求乘积AB和BA.
解
2 42 4 1632 AB1 2368 16 .
2 42 4 0 0 BA3 61 20 0.
(ka ) 到的矩阵，称为数k与矩阵A的乘积，记作 kA
i j m×n
即
ka11 ka12 ka1n
kA
ka21 kam1
ka22 kam2
ka2n ຫໍສະໝຸດ kamnm×n1 2 3 例如,已知矩阵A 1 4 2 ,则数3与矩阵A的乘积,
记作3A,为
3 5 1
1 2 3 31 32 33 3A 31 4 23(1) 34 3(2)
c 3.矩阵C中的元 i j 恰是矩阵A的第 i 行与矩阵B的第 j 列(此
处B只有一列)相对应的元乘积之和.如 c21 1 261 3 8,
即 c2 1a 2 1b 1 1a 2 2b 2,1
这是矩阵A与矩阵B进行乘法运算的过程.
矩阵 设 A是 m×s 矩阵, B是 s×n 矩阵, 即
乘法
a11
a23b2335017表运5示往两第个三季个度 城第市二的个供产应地量
因此,矩阵A与矩阵B对应位置的元相加,即用矩阵
(完)
C3205 003205003200001275502355001270502205001255=00A+B
200200300300450300220180
便可以表示三个产地两个季度(第一和
由于两个矩阵相加就是矩阵的对应元相加,由数字 相加所具有的性质可直接验证矩阵加法具有下述性质:
(1)交换律 A + B = B + A ;
(2)结合律 ( A + B ) + C = A + ( B + C ) ;
(3) A + O = A .
(a ) 负矩阵 若把矩阵A i j m×n中的各元变号,则得到矩阵 (a )i j m×n 称为矩阵A的负矩阵, 记作－A,即若
3215
因为矩阵B的列数2与矩阵A的行
12 8 . 数3不相等,故乘积BA无意义.
10 11
(完)
练习6
已知 A
2 2
1
3 2 0
,B10
2 1
51
求乘积AB和BA.
,
解 由于A的列数 2 与B的行数 2 相同,乘积AB有意义,
2 AB 1
2
AB是 3×3 矩阵,且
1.矩阵A (a i ) j 3×2的列数(2列)与矩阵B (b i )j 2×1的行数
(2行)相等,这是矩阵A与矩阵B可以作乘法运算的条件;
2.所求得的矩阵C (c i )j 3×1是3×1矩阵,其行数恰是矩阵A
的行数,其列数恰是矩阵B的列数,这是矩阵A与矩阵B相乘的结
果.矩阵A与矩阵B相乘记作AB,即AB=C;
6 8
红 黄
依题设,所求金额为
(未完待续)
案例3 分析
超市一 10×6＋15×8＝180(百元); 超市二 12×6＋13×8＝176(百元);
超市三 8×6＋14×8＝160(百元).
案例3
分析(续)
红黄
10 15 超市一
A (a i j)3×2 12 13 超市二
B
(b
i
j)2×1
A和矩阵B给定: 同型矩阵
300 200 250 200 250 175 200 250 A250 300 350 250, B300 250 175 150.
200 300 450 220 200 300 300 180
问这两个季度三个产地运往四个城市的供应量各是多少?
a 矩阵A的 a 元记作 i j
AB≠BA
结论
不能推出
AB=O
A=O 或 B=O. (完)
练求乘习积8 A已B知和AAC.51
解
1
3 2
0
00 ,
B
1 0 3
0 2, 0
1 C 0
4
0 2, 5
AB51
3 2
00
0 3
2 0
5 1
64 .
j
)m×n
c21 cm1
c22 cm2
c2n c mn
.
A第 i 行上的元
a11 a12
A
a21
ai1
am1
a22
ai 2
am2
a1s
a2s
ais
ams
aai,a1ibB+i2+s1bbj2sjj
b11 b21 bs1
b12 b1 j b1n
b22 b2 j b2 n
23 表示第一
季度由第二个 产地运往第个
城市的供应量
b23表示第二
季度由第二个 产地运往第个 城市的供应量
矩阵B的
b 元记作 ij
(未完待续)
案例1
分析 300 200 250 200
250 175 200 250
A250 300 350 250, B300 250 175 150.
200 300 450 220 相加 200 300 300 180
bs2
bs j
bsn
B第 j 列上的元
矩阵C的第i 行第j 列的元是矩阵A的第i 行与矩阵B的第 j 列
的对应元乘积之和
即
c ij a i1 b 1 j a i2 b 2 j a ib ss.j
(i=1, 2, …, m； j=1,2, …, n)
练习5
已知 A
2 4
3
1 0 , 1
3
2 0
10
2 1
51
3 2 0
7 0 4
13 (未完待续)
11 . 2
2031 2231 2(1)35 (1)021(1)221(1)(1)25
2001 2201 2(1)05
练习6
(续解)
2 3
已知 A 1 2 ,
2 0
0 2 1 求乘积AB和BA. B1 1 5 , 解 由于B的列数 3
100×350, 即100 a12
(未完待续)
案例2 若每吨产品每千米的运费为100元,
分析(续)
里程 销地
(km)
Ⅰ
ⅡⅢ
Ⅳ
550350500350产地
A 400330650700
甲 乙
550 350 500 350 400 330 650 700
从两个产地到四个销地的运费,若用矩阵表示,可写成如下形式:
6 8
红 黄
超市一
8 14 超市三
10×6＋15×8＝180(百元);
该消费金额若用矩
超市二 12×6＋13×8＝176(百元); 阵表示,并记作 C, 有
超市三 8×6＋14×8＝160(百元).
C
(c
i
j
)
3×1
106158 126138
180 176
(完) 86148 160
这种矩阵的运算称为矩阵的乘法运算. 下面来看该运算的要点:
(完) Ⅲ
3 40 0 12 0 09757 0000 34 004840 6050 30 400500113100126200115500甲 乙
案例2
二. 数乘矩阵
某产品从甲、乙两个产地运往Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、 Ⅳ四个 销地,若每吨产品每千米的运费为100元,运输里程表为下表,
试用矩阵表示从两个产地运往四个地区的运费各为每吨多少元?
案例3
某公司采购员到三个装修超市去购买红、黄两种
颜料.三个超市颜料的价格(百元/桶)可用矩阵A表示为
红黄
10 15 超市一
在每个超市购买两种颜料的
数量(桶)可用矩阵B表示为
A (a i j)3×2 12 13 超市二
8 14 超市三
B (b i j)2×1
求在各个超市购买红、黄两种颜料所消费的金额.
3A34 36 12 18 ,3A－2B12 18 16 2
31 3(3) 3 9
3 9 0 8
22 2(1) 4 2 2B28 2(1)16 2,
20 2(4) 0 8
5 13
4 3
20 1
.
(完)
练习4
已知矩阵
A
3
1
1
5
5
4
,
B
7 5
5 1
3 且A+2X=B, 2 ,求矩阵X.
1 10 0 5 40 05 01 10 00 0 3 30 03 51 10 00 0 5 60 00 51 10 00 0 3 70 05 0 (完0 0)
为了简单,可记作
550350500350
100A10040033065070.0
数乘矩阵
(a ) 用数k乘矩阵A
i j m×n 中的每一个元所得
教学建议
学习目标
第六章 矩阵与线性方程组
§ 6.1 矩阵的概念 § 6.2 矩阵运算 § 6.3 矩阵的初等行变换与矩阵的秩 § 6.4 线性方程组的消元解法
§6.2 矩阵运算
一. 矩阵的加法 二. 数乘矩阵 三. 矩阵的乘法
一. 矩阵的加法
案例1
某种物资(单位:t)从三个产地运往四个城市销售, 2019年第一、第二季度的供应方案分别由矩阵
个季度的供应情况用矩阵B表示,即