经济应用数学复习LG GROUP system office room 【LGA16H-LGYY-LGUA8Q8-LGA162】《经济应用数学》第六次实时答疑一、函数1．函数的定义，两个变量之间的关系，构成函数的两个要素是它的定义域和对应法则。

会求函数定义域的求法2．函数的几个特性: 单调性, 奇偶性, 周期性和有界性奇函数偶函数=奇函数 奇函数奇函数=偶函数 偶函数偶函数=偶函数奇函数[奇函数]=奇函数 奇函数[偶函数]=偶函数 偶函数[偶函数]=偶函数3．基本初等函数的性质及图形特点 4．初等函数，复合函数的构成 单调性，奇偶性，有界性，周期性。

重点掌握单调性的定义和奇偶性的判定。

f (x ) = f (x )为奇函数 图形关于原点对称 f (x ) = f (x )为偶函数 图形关于 y 轴对称 1．幂函数 a y x =要记住最常见的几个幂函数的定义域及图形2.指数函数 )1,0(,≠>=a a a y x 定义域：),(+∞-∞，值域：),0(+∞，图形过（0，1）点，a>1时，单调增加；a<1时，单调减少。

今后x e y =用的较多。

3.对数函数 )1,0(,log ≠>=a a x y a 定义域：),0(+∞，值域：),(+∞-∞ ，与指数函数互为反函数，图形过（1，0）点，a>1时，单调增加；a<1时，单调减少。

x x x x e ln log ,lg log 10== 4.三角函数),(,sin +∞-∞=x y ，奇函数、有界函数、周期函数)2(π； ),(,cos +∞-∞=x y ，偶函数、有界函数、周期函数)2(π；sin tan cos x y x x ==， .2,1,0,2±±=+≠k k x ππ的一切实数，奇函数、周期函数)(π；cos cot sin xy x x==， ,2,1,0,±±=≠k k x π的一切实数，奇函数、周期函数)(π； 例1．设x e x f =)(且0>x ，求(ln )f x -。

解 1ln ln 1(ln )xxf x ee x--===2．设1()1xf x x-=+, 求[()]f f x 解：111(1)1[()]11111xx x x f f x x x x x x--+--+===-++-++3．设()f x 的定义域为(,0)-∞，求函数(ln )f x 的定义域。

解：ln 0x <，1x <，所以(ln )f x 的定义域为(0,1)4．函数⎪⎩⎪⎨⎧-≤<<--≤≤=2,202,20,)(x x x x x x f 的定义域为5．判断下列函数的奇偶性.A ．sin(cos )xB.ln(xC.1tan ln1xx x+- D.sin x e F ．2sin x A ，C ，F 为偶函数；B 为奇函数；D 为非奇非偶函数 二、极限与连续 极限的计算方法 1) 极限运算法则（1）0lim[()()]lim ()lim ()x x x x x x f x g x f x g x →→→±=±（2）0lim[()()]lim ()lim ()x x x x x x f x g x f x g x →→→= 0lim ()lim ()x x x x cf x c f x →→=（3）000lim ()()lim ()lim ()x xx x x x f x f x g x g x →→→= （0lim ()0x x g x B →=≠） （4）0lim[()]n n x x f x A →= （n 为正整数）（5）0lim x x →=2) 消去零因子法3) 两个重要极限 0sin lim 1x x x →= 10lim(1)x x x e →+= 1lim 1xx e x →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭4) 无穷小与无穷大的关系 5) 利用函数的连续性计算 例 求下列极限1．2221lim212x x x x →∞+-=- 2．22211lim 313x x x x →∞-+=+ 3．112220lim(12)lim[(12)]x x x x x x e ---→→-=-=4．223339(3)(3)3lim lim lim 656(2)(3)2x x x x x x x x x x x x →-→-→---+-===+++++ 5．233sin(3)sin(3)1limlim 6(3)(2)5x x x x x x x x →→--==-+-+6．设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+=<=0,11sin 0,0,sin 1)(x x x x k x x x x f 且)(x f 在0=x 处连续，则=k 17．设函数1,0(),0x f x xx k ≠=⎨=⎪⎩在0x =处连续，则常数12k =三、导数与微分1. 导数的定义：函数增量与自变量增量比的极限 记号：()(), ,, df x dy f x y dx dx ''，0000()(), |, , x x x x x x df x dyf x y dx dx===''2. 导数的几何意义：曲线在一点切线的斜率)(x f y =在0x 点的导数)(0x f '是曲线)(x f y =在点),(00y x M 处切线的斜率。

所以)(x f y =在),(00y x 处的切线方程为 ))((000x x x f y y -'=-；法线方程为 )()(1000x x x f y y -'-=- 3. 导数的运算法则：四则运算法则，复合函数的运算法则()0c '=， 1()x x ααα-'=， x a a x x ln )(=', x x e e =')(, ax x a ln 1)(log =', xx 1)(ln =', x x cos )(sin ='， (cos )sin x x '=-, 21(tan )cos x x '=, 21(cot )sin x x'=-, v u v u '±'='±)(， v u v u uv '+'=')(， ()cu cu ''=，2(0)u u v uv v v v '''-⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭ (),()y f u u x ϕ==，()()dy dy duf u x dx du dxϕ''=⋅=⋅ 4. 微分的概念：()()dy df x f x dx '== 例1．求曲线2x y e +=在(2,1)-点处的切线方程。

解 2x y e +'=，2|1x y =-'=，12y x -=+，3y x =+ 2．设)(u f 可导，则2(sin )2sin cos ()df x x xf u dx'= 3．设2(1)x y x e -=+，求y ''.解：22(1)x x y xe x e --'=-+ 4．设()cos f x x =，求y '' 解：sin y x '=-， cos y x ''=- 5．设12x y x -=+，求dy解：22ln 2x x y x --'=- (22ln 2)x x dy x dx --=- 四、导数的应用 1. 函数的单调性：2. 函数的极值（最大值最小值）：3. 导数在经济分析中的应用：弹性()()p pE q p q p '=⋅，边际分析 例1． 求函数32()39f x x x x =--的单调区间及极值。

解 函数的定义域为(,)-∞+∞，2369y x x '=--，令0y '=得驻点121,3x x =-=函数在(,1)-∞-， (3,)+∞ 单调增加，在(1,3)-单调减少，当1x =-时取得极大值5y =，3x =时取得极小值27y =-2．欲做一个底为正方形，容积为108m 3的长方体开口容器，怎样做所用材料最省？设底面正方形边长为x ，用料为y ，则2221084324y x x x x x=+⋅⋅=+24322y x x'=-，令0y '=得6x =，有唯一的驻点，由实际问题最小值存在，所以，当正方形边长为6m 时用料最省。

3．某商品的需求函数为2()1502q p p =-，其需求弹性为22275p p--。

五、不定积分1．原函数的概念 ()()F x f x '=2. 不定积分的定义 ()()f x dx F x C =+⎰3. 不定积分的性质性质1 ⎰=')(])([x f dx x f 或 ⎰=dx x f dx x f d )(])([ ⎰+='c x f dx x f )()( 或 ⎰+=c x f x df )()( 性质2 ⎰⎰=dx x f k dx x kf )()( （k 是常数，0≠k ） 性质3 ⎰⎰⎰+=+dx x g dx x f dx x g x f )()()]()([ 4. 积分的计算 1) 直接积分法2) 换元积分法：凑微分法3) 分部积分法 ⎰⎰-=vdu uv udv ⎰⎰'-='vdx u uv dx v u 1．求2sin x x 的一个原函数. 解：222211sin sin cos 22x x dx x dx x C ==-+⎰⎰ 2． 1xxe dx e +⎰解：(1)ln(1)111x x x xx x x e de d e dx e C e e e+==+++++⎰⎰⎰ 3．2sin cos d x x x ⎰解： 22 sin cos d sin sin x x x xd x =⎰⎰31sin 3x C =+4．2ln x dx x⎰解：22ln 1ln 1ln 1ln x x x dx xd dx C x x x x x+=-=-+=-+⎰⎰⎰5． 2(1)x x e dx -+⎰解： 222(1)(1)(1)2x x x x x e dx x de x e xe dx ----+=-+=-++⎰⎰⎰ 六、定积分及其应用1. 定义 01()lim ()nbi i a i f x dx f x λξ→==∆∑⎰2. 几何意义 曲边梯形各部分面积的代数和。

3. 性质性质1 [()()]()()bbbaaaf xg x dx f x dx g x dx ±=±⎰⎰⎰性质2 ()()b baakf x dx k f x dx =⎰⎰性质3 （定积分对区间的可加性）对任何三个不同的数,,a b c ，有 4. 积分上限函数及其导数()()xax f t dt Φ=⎰，()()()xad x f t dt f x dx 'Φ==⎰ 2520sin 1d t dt dx t +⎰5. 微积分基本公式 ()()()()|bb a af x dx F b F a F x =-=⎰6. 定积分计算 1）微积分基本公式2）换元法 ()[()]()ba f x dx f t t dt βαϕϕ'=⎰⎰注意：用x =(t )把变量x 换成新变量t 时，积分限也相应的改变，即“换元必换限”.3）分部积分法 ()()()()()()b bba aau x v x dx u x v x v x u x dx ''=-⎰⎰记住两个结论：(1) 如果f (x )是偶函数，则0()2()aaaf x dx f x dx -=⎰⎰(2) 如果f (x )是奇函数，则()0a af x dx -=⎰，如131cos d 0x x x -=⎰，121tan d 0x x x -=⎰1．⎰+101dx e e xx解：1100ln(1)ln(1)ln 21xx x e dx e e e=+=+-+⎰ 2．2222 0 0sin cos d sin sin x x x xd x ππ=⎰⎰23220 011sin sin sin |33xd x x ππ===⎰3．求由曲线1,,2y x y x x===所围成的图形的面积。